人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.3 对数教案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.3 对数教案，共7页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程，课外作业等内容，欢迎下载使用。

一、教学目标
1. 理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化；
2. 了解常用对数与自然对数的意义，理解对数恒等式并能运用于有关对数计算；
3. 通过转化思想方法的运用，培养学生转化的思想观念及逻辑思维能力。
二、教学重难点
1. 对数的概念、指数式与对数的互化
2. 由于对数符号是直接引入的，带有“规定”的性质，且这种符号比较抽象，不易为学生
接受，因此，对对数符号的认识会形成教学中的难点。
三、教学过程
（一）、创设问题情境
在4.2.1的问题1中，通过指数幂运算，我们能从 中求出经过x年后Ｂ地景区的游客人次为2001年的y倍．反之，如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍，3倍，4倍，…，那么该如何解决？
用我们现有的知识体系可以解决上述问题吗？
上述问题实际上就是从2=1.11x ，3=1.11x ， 4=1.11x ，…中分别求出x，即已知底数和幂的值，求指数．这是本节要学习的对数．
【对数的发明】
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（Napier，1550年~1617年）。他发明了供天文计算作参考的对数，并于1614年在爱丁堡出版了《奇妙的对数定律说明书》，公布了他的发明。恩格斯把对数的发明与解析几何的创始，微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就。
【设计意图】开门见山，通过对上节问题的提问和引伸，提出新问题，从而引出对数的概念。培养和发展逻辑推理和数学运算的核心素养。
（二）、探索新知
引入减法
问题：如果将ax=N中的x准确表示出来呢？
引入除法
（1）已知a+x=N，求x x=N-a
引入开方
（2）已知ax=N(a≠0),求x x=N÷a
引入什么
（3）已知xn=N,求x x=nN
（4）已知ax=N，求x ？
1.对数的概念
一般地，如果，那么数叫做以为底的对数（Lgarithm），记作：
— 底数，— 真数，— 对数式
说明： eq \\ac(○,1) 注意底数的限制，且；
eq \\ac(○,2) ；
注意：（1）lg只是记录对数的符号，类似于开根号，三角中的正余弦sin,cs等；
（2）对数是一个数，是指数式中指数的等价表达。
2．常用对数与自然对数
3．对数的基本性质
(1)负数和零没有对数．(2)lga 1＝0(a>0，且a≠1)．(3)lgaa＝1(a>0，且a≠1)．
思考：为什么零和负数没有对数？
[提示] 由对数的定义：ax＝N(a>0且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式x＝lgaN时，
不存在N≤0的情况．
1．思考辨析
(1)lgaN是lga与N的乘积．( )
(2)(－2)3＝－8可化为lg(－2)(－8)＝3.( )
(3)对数运算的实质是求幂指数．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．若a2＝M(a>0且a≠1)，则有( )
A．lg2M＝a B．lgaM＝2
C．lg22＝M D．lg2a＝M
B [∵a2＝M，∴lgaM＝2，故选B.]
【设计意图】通过对对数概念的解析，理解对数与指数的关系，进而理解对数的概念，发展学生数学抽象、数学建模和逻辑推理等核心素养；
（三）典例解析
例1 将下列指数形式化为对数形式,对数形式化为指数形式：
(1) 54＝625; (2)2－7＝eq \f(1,128)； (3) ( eq \f(1,2))m＝5.73
(4)lgeq \f(1,2)32＝－5；(5)lg 1 000＝3； (6)ln 10＝2.303
[解] (1) 由54＝625，可得lg5625＝4.
(2)由2－7＝eq \f(1,128)，可得lg2eq \f(1,128)＝－7.
(3) 由( eq \f(1,2))m＝5.73 ，可得lgeq \f(1,2) 5.73＝m，
(4)由lgeq \f(1,2) 32＝－5，可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－5＝32.
(5)由lg 1 000＝3，可得103＝1 000.
(6)由ln 10＝2.303，可得e2.303＝10.
[规律方法] 指数式与对数式互化的方法
将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；
将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式；
1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)3－2＝eq \f(1,9)； (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))－2＝16；(3)lgeq \f(1,3)27＝－3; (4)lgeq \r(x)64＝－6.
[解] (1)lg3eq \f(1,9)＝－2；(2)lgeq \f(1,4) 16＝－2；
(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))－3＝27；(4)(eq \r(x))－6＝64.
例2 求下列各式中的x的值：
(1)lg64x＝－eq \f(2,3)； (2)lgx 8＝6；
(3)lg 100＝x; (4)－ln e2＝x.
[解] (1)x＝(64)eq \s\up12(－\f(2,3))＝(43)eq \s\up12(－\f(2,3))＝4－2＝eq \f(1,16).
(2)x6＝8，所以x＝(x6)eq \s\up12(eq \f(1,6))＝8eq \s\up12(eq \f(1,6))＝(23) eq \s\up12(eq \f(1,6))＝2eq \s\up12(eq \f(1,2))＝eq \r(2).
(3)10x＝100＝102，于是x＝2.
(4)由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e－x＝e2，
所以x＝－2.
规律方法：要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解。
【设计意图】通过典例问题的分析，让学生进一步熟悉指数式与对数式的转化。深化对对数概念的理解。
[探究问题]
1．你能推出对数恒等式 (a>0且a≠1，N >0)吗？
提示：因为ax＝N，所以x＝lgaN，代入ax＝N可得.
2．如何解方程lg4(lg3x)＝0?
提示：借助对数的性质求解，由lg4(lg3x)＝lg41，得lg3x＝1，∴x＝3.
例3 设5lg5(2x－1)＝25，则x的值等于( )
A．10 B．13 C．100 D．±100
(2)若lg3(lg x)＝0，则x的值等于________.
思路探究：(1)利用对数恒等式求解；
(2)利用，求解．
(1)B (2)10 [(1)由得2x－1＝25，所以x＝13，故选B.
(2)由lg3(lg x)＝0得lg x＝1，∴x＝10.]
（2）lgaab＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数
【设计意图】通过问题探究进一步理解对数的概念，并推出对数的相关性质，发展学生数学运算和逻辑推理核心素养；
三、当堂达标
1．在b＝lg3(m－1)中，实数m的取值范围是( )
A．R B．(0，＋∞) C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
【答案】D [由m－1>0得m>1，故选D.]
2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
归纳总结:1.利用对数性质求解的2类问题的解法
（1）求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求lgalgbc的值，先求lgbc的值，
再求lgalgbc的值.
（2）已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“lg”后再求解.
2.性质与的作用
（1）的作用在于能把任意一个正实数转化为以a,为底的指数形式.
A．100＝1与lg 1＝0 B．27eq \s\up12(－\f(1,3))＝eq \f(1,3)与lg27eq \f(1,3)＝－eq \f(1,3)
C．lg39＝2与9eq \s\up12(eq \f(1,2))＝3 D．lg55＝1与51＝5
【答案】C [C不正确，由lg39＝2可得32＝9.]
3．若lg2(lgx9)＝1，则x＝________.
【答案】3 [由lg2(lgx9)＝1可知lgx9＝2，即x2＝9，∴x＝3(x＝－3舍去)．]
4． lg33＋3lg32＝________.
【答案】3 [lg33＋3lg32＝1＋2＝3.]
5．求下列各式中的x值：
(1)lgx27＝eq \f(3,2)； (2)lg2 x＝－eq \f(2,3)；
(3)x＝lg27eq \f(1,9)； (4)x＝lgeq \s\d8(\f(1,2))16.
【答案】(1)由lgx27＝eq \f(3,2)，可得xeq \s\up12(eq \f(3,2))＝27，
∴x＝27eq \s\up12(eq \f(2,3))＝(33)eq \s\up12(eq \f(2,3))＝32＝9.
(2)由lg2x＝－eq \f(2,3)，可得x＝2eq \s\up12(－\f(2,3))，∴x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up20(eq \f(2,3))＝eq \r(3,\f(1,4))＝eq \f(\r(3,2),2).
(3)由x＝lg27eq \f(1,9)，可得27x＝eq \f(1,9)，∴33x＝3－2，∴x＝－eq \f(2,3).
(4)由x＝lgeq \s\d8(\f(1,2))16，可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＝16，∴2－x＝24，∴x＝－4.
【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，巩固对数的概念及其性质，增强学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。
四、课外作业
1. 课时练 2.预习下节课内容