高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数教学设计

专题15对数（讲）

1．对数的概念

若ax＝N(a＞0，且a≠1)，则数x叫做以a为底N的对数，a叫做对数的底数，N叫做真数，记作x＝logaN.

[知识点拨]　对数式logaN可看作一种记号，表示关于x的方程ax＝N(a＞0，且a≠1)的解；也可以看作一种运算，即已知底为a(a＞0，且a≠1)，幂为N，求幂指数的运算，因此，对数式logaN又可看作幂运算的逆运算．

2．常用对数和自然对数

(1)常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lgN.

(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.71828…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为lnN.

3．对数与指数的关系

当a＞0，且a≠1时，ax＝N⇔x＝logaN.

4．对数的基本性质

(1)零和负数没有对数．

(2)loga1＝0(a＞0，且a≠1)．

(3)logaa＝1(a＞0，且a≠1)．

6．对数的运算性质

[知识点拨]　一般情况下，当a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0时，loga(MN)≠(logaM)(logaN)，loga(M＋N)≠logaM＋logaN，loga≠.

7．换底公式

logab＝(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0)．

[知识拓展]　(1)可用换底公式证明以下结论：

①logab＝；②logab·logbc·logca＝1；③loganbn＝logab；④loganbm＝logab；⑤logb＝－logab.

(2)对换底公式的理解：

换底公式真神奇，换成新底可任意，

原底加底变分母，真数加底变分子．

1．方程的解为________．

2．________.

3．已知3a=5b=m，且，则m的值为______．

4．______．

5．已知，，则_________．

重要考点一：指数式与对数式的互化

【典型例题】已知，则=_____

【题型强化】已知x，y为正数，若，则_________.

【收官验收】已知，则x=__________．

【名师点睛】

对数式logaN＝b是由指数式ab＝N变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值，而对数值b是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图：

并非所有指数式都可以直接化为对数式．如(－3)2＝9就不能直接写成log(－3)9＝2，只有a＞0且a≠1，N＞0时，才有ax＝N⇔x＝logaN.

重要考点二：对数定义与性质的应用

【典型例题】__________.

【题型强化】计算：的值是________．

【收官验收】已知，则_______．

【名师点睛】

对数性质在计算中的应用

(1)对数运算时的常用性质：logaa＝1，loga1＝0.

(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．

重要考点三：对数恒等式的应用

【典型例题】已知，，试用、表示________．

【题型强化】 ________.

【收官验收】化简计算__________．

【名师点睛】

运用对数恒等式时注意事项

(1)对于对数恒等式alogaN＝N要注意格式：

①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．

(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．

重要考点四：因忽视对数式的底数和真数的取值范围致误

【典型例题】若log(x－1)(3－x)有意义，则x的取值范围是________．

【题型强化】使对数有意义的的取值范围是__________．

【收官验收】对数表达式中的的取值范围是________

【名师点睛】

对数的真数与底数都有范围限制，不可顾此失彼．

重要考点五：再谈等价转化

【典型例题】（1）计算；

（2）已知，，求的值.

【题型强化】设，，均为正数，且.

（1）试求，，之间的关系.

（2）求使成立，且与最近的正整数（即求与的差的绝对值最小的整数）.

（3）比较，，的大小.

【收官验收】已知

（1）求的值；

（2）求的值.

【名师点睛】

指数式与对数式可以相互转化，利用这种转化关系可以求解指对方程与不等式及指数对数运算．将等式两端取同底的对数，是指数对数转化的另一种表现形式．

重要考点六：对数的运算法则

【典型例题】已知，求的值.

【题型强化】求下列各式的值：

（1）2log525＋3log264；

（2）；

（3）(lg5)2＋2lg2－(lg2)2.

【收官验收】计算下列各式的值:

(1); 

(2);

(3); 

(4).

【名师点睛】

对对数式进行计算、化简时，一要注意准确应用对数的性质和运算性质．二要注意取值范围对符号的限制．

重要考点七：运用对数的运算性质化简求值

【典型例题】已知log2(log3(log4x))＝0，且log4(log2y)＝1.求的值．

【题型强化】求的值.

【收官验收】计算：（1）已知，试用表示；

（2）.

【名师点睛】

灵活运用对数运算法则进行对数运算，要注意法则的正用和逆用．在化简变形的过程中，要善于观察、比较和分析，从而选择快捷、有效的运算方案进行对数运算．

重要考点八：换底公式的应用

【典型例题】设，求的值.

【题型强化】已知，求证：.

【收官验收】（1）证明对数换底公式：（其中且，且，）

（2）已知，试用表示.

【名师点睛】

关于换底公式的用途和本质：

(1)换底公式的主要用途在于将一般对数式化为常用对数或自然对数，然后查表求值，以此来解决对数求值的问题．

(2)换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法．

(3)在运用换底公式时，若能结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如logab＝；logaan＝n，logambn＝logab；lg2＋lg5＝1等，将会达到事半功倍的效果．

重要考点九：因忽视对数的真数大于零而致误

【典型例题】解下列对数方程：

（1）；

（2）.

【题型强化】解下列对数方程：

（1）；（2）；

（3）；（4）.

【收官验收】解下列对数方程：

（1）；（2）.

重要考点十：转化与化归思想的应用与综合分析解决问题的能力

【典型例题】（1）求的值.

（2）已知，，试用，表示

【题型强化】设，，、满足，用表示，并求当取何值时，取得最小值.

【收官验收】（1）已知，用a，b表示；

（2）已知，用a，b表示.

【名师点睛】

1.应用换底公式应注意的事项

(1)注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．

(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式，注意转化与化归思想的运用．

2．对数式的条件求值问题要注意观察所给数字特征，分析找到实现转化的共同点进行转化．

3．利用换底公式计算、化简、求值的一般思路：

思路一：用对数的运算法则及性质进行部分运算→换成同一底数．

思路二：一次性统一换为常用对数(或自然对数)→化简、通分、求值．