高一数学北师大版选修1-1 创新演练阶段质量检测第四章 §1 1.1 应用创新演练教案

1．函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调递增区间是(　　)

A．(1,2)　　　　　　　　　  B．(2，＋∞)

C．(－∞，1)∪(2，＋∞)    D．(－∞，1)，(2，＋∞)

解析：f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x2－3x＋2)，令f′(x)>0，则x>2或x<1，

故函数f(x)的增区间为(－∞，1)，(2，＋∞)．

答案：D

2．y＝8x2－ln x在和上分别是(　　)

A．增加的，增加的      B．增加的，减少的

C．减少的，增加的      D．减少的，减少的

解析：y′＝16x－＝，当x∈时，y′<0，函数在上是减少的，当x∈时，y′>0，函数在上是增加的．

答案：C

3．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)在(－∞，＋∞)上是减少的，则下列各式中成立的是(　　)

A．a>0，b2＋3ac≥0      B．a>0，b2－3ac≤0

C．a<0，b2＋3ac≥0      D．a<0，b2－3ac≤0

解析：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)．

∵函数为减少的，则f′(x)≤0恒成立．

∴a<0且Δ＝4b2－12ac≤0，

即b2－3ac≤0.

答案：D

4.设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图像如右图所示，则y＝f(x)的图像最有可能是(　　)

解析：由y＝f′(x)的图像可知，当x<0或x>2时，f′(x)>0；当0<x<2时，f′(x)<0，

∴函数y＝f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上为增加的，在(0,2)上为减少的．

答案：C

5．y＝x2ex的单调递增区间是________．

解析：y′＝2xex＋x2ex，令y′>0，即ex(2x＋x2)>0，

∴x>0或x<－2.

故函数的增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)．

答案：(－∞，－2)，(0，＋∞)

6．若函数f(x)＝x3＋ax＋8的单调减区间为(－5,5)，则a的值为________．

解析：f′(x)＝3x2＋a，∵f′(x)<0的解为－5<x<5，

∴3×52＋a＝0，∴a＝－75.

答案：－75

7．证明函数f(x)＝在区间(0,2)上是增加的．

证明：∵f(x)＝，

∴f′(x)＝＝，

由于0<x<2，所以ln x<ln 2<1，

故f′(x)＝>0，

即函数在区间(0,2)上是增加的．

8．已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)，若函数f(x)＝a·b在区间(－1,1)上是增加的，求t的取值范围．

解：由题意f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋t，

∴f′(x)＝－3x2＋2x＋t.

若f(x)在(－1,1)上是增加的，

则在(－1,1)上f′(x)≥0恒成立．

即t≥3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立．

考虑函数g(x)＝3x2－2x＝3(x－)2－.x∈(－1,1)显然g(x)<g(－1)，故t≥3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立⇔t≥g(－1)，即t≥5.

而当t＝5时，f′(x)在(－1,1)上满足f′(x)>0，即f(x)在(－1,1)上是增加的．故t的取值范围是[5，＋∞)．