高一数学北师大版选修1-1 创新演练阶段质量检测第四章 §1 1.2 应用创新演练教案

1.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(　　)

A．1个　　　　　　　　　 B．2个

C．3个       D．4个

解析：函数在极小值点附近的图像应有先减后增的特点，因此根据导函数的图像，应该在导函数的图像上找从x轴下方变为x轴上方的点，这样的点只有1个，所以函数只有1个极小值点．

答案：A

2．若函数f(x)＝x·2x在x0处有极小值，则x0等于(　　)

A.        B．－

C．－ln 2       D．ln 2

解析：f′(x)＝2x＋x·2xln 2，令f′(x)＝0，

得x＝－.

当x<－时f′(x)<0，当x>－时，f′(x)>0，

∴当x＝－时，函数f(x)取极小值．

答案：B

3．(2012·陕西高考)设函数f(x)＝xex，则(　　)

A．x＝1为f(x)的极大值点

B．x＝1为f(x)的极小值点

C．x＝－1为f(x)的极大值点

D．x＝－1为f(x)的极小值点

解析：求导得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f′(x)＝ex(x＋1)＝0，解得x＝－1，易知x＝－1是函数f(x)的极小值点．

答案：D

4．三次函数当x＝1时有极大值4，当x＝3时有极小值0，则此函数的解析式是(　　)

A．y＝x3＋6x2＋9x    B．y＝x3－6x2＋9x

C．y＝x3－6x2－9x    D．y＝x3＋6x2－9x

解析：设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，

则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，

由题意得f′(1)＝f′(3)＝0，f(1)＝4，f(3)＝0，

即

解得：a＝1，b＝－6，c＝9，d＝0.

答案：B

5．函数y＝x3＋x2－x＋1在x＝________处取极大值．

解析：y′＝3x2＋2x－1＝(3x－1)(x＋1)．

当－1<x<时，y′<0；当x>或x<－1时，y′>0.

∴函数在x＝－1处取极大值．

答案：－1

6．若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝________.

解析：∵f′(x)＝′

＝

＝.

又∵x＝1为函数的极值点，∴有f′(1)＝0.

∴1＋2×1－a＝0，即a＝3.

答案：3

7．已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求a、b的值．

解：∵f(x)在x＝－1时有极值0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，

∴即

解得或

当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3 (x＋1)2≥0，

所以f(x)在R上是增加的，无极值，故舍去．

当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．

当x∈(－∞，－3)时，f(x)为增加的；

当x∈(－3，－1)时，f(x)为减少的；

当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增加的．

所以f(x)在x＝－1时取得极小值，因此a＝2，b＝9.

8．设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．

(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值；

(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．

解：(1)f′(x)＝3x2－3a.

因为曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，

所以即解得a＝4，b＝24.

(2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)．

当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；

此时函数f(x)没有极值点．

当a>0时，由f′(x)＝0得x＝±.

当x∈(－∞，－)时，f′(x)>0；

当x∈(－，)时，f′(x)<0；

当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0.

函数的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)，递减区间为(－，)．

此时x＝－是f(x)的极大值点，x＝是f(x)的极小值点．