高中数学：2.2.5《导数的几何意义》教案（北师大版选修2-2）

第五课时  导数的几何意义（一）

一、教学目标：

1、通过函数的图像直观地理解导数的几何意义；

2、理解曲线在一点的切线的概念；

3、会求简单函数在某点处的切线方程。

二、教学重点：了解导数的几何意义

教学难点：求简单函数在某点出的切线方程

三、教学方法：探析归纳，讲练结合

四、教学过程

（一）、复习：导数的概念及求法。

（二）、探究新课

设函数在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为，如右图所示，它是过A（x0，）和B（x0＋Δx，）两点的直线的斜率。这条直线称为曲线在点A处的一条割线。

如右图所示，设函数的图像是一条光滑的曲线，从图像上可以看出：当Δx取不同的值时，可以得到不同的割线；当Δx趋于0时，点B将沿着曲线趋于点A，割线AB将绕点A转动最后趋于直线l。直线l和曲线在点A处“相切” ，称直线l为曲线在点A处的切线。该切线的斜率就是函数在x0处的导数。

函数在x0处的导数，是曲线在点（x0，）处的切线的斜率。函数在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义。

1、导数的几何意义：

函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率，

即

说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:

①求出P点的坐标;

②求出函数在点处的变化率 ，得到曲线在点的切线的斜率；

③利用点斜式求切线方程.

2、导函数：

由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时, 是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：或，

即:

注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．

3、函数在点处的导数、导函数、导数 之间的区别与联系。

（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。

(2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数     

(3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值，这也是 求函数在点处的导数的方法之一。

例1、已知函数， x0＝－2。

（1）分别对Δx=2，1，0.5求在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并画出过点（x0，）的相应割线；

（2）求函数在x0＝－2处的导数，并画出曲线在点（－2，4）处的切线。

解：（1）Δx=2，1，0.5时，区间[x0，x0＋Δx]相应为[-2，0]，[-2，-1]，[-2，-1.5]。在这些区间上的平均变化率分别为

，

，

.

其相应割线如右图所示，分别是过点（-2，4）和点（0，0）的直线l1，过点（-2，4）和点（-1，1）的直线l2，过点（-2，4）和点（-1.5，2.25）的直线l3.

（2）在区间[-2，-2＋Δx]上的平均变化率为

.

令Δx趋于0，知函数在x0＝－2处的导数为-4。

曲线在点（-2，4）处的切线为l，如右图所示。

例2、求函数在x=1处的切线方程。

解：先求在x=1处的导数：

令Δx趋于0，知函数在x=1处的导数为。

这样，函数在点（1，）=(1，2)处的切线斜率为6.即该切线经过点（1，2），斜率为6.

因此切线方程为           y-2=6(x-1).

即                       y=6x-4.

切线如图所示。

（三）、小结：函数在x0处的导数，是曲线在点（x0，）处的切线的斜率。函数在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义。

（四）、练习：课本练习：1、2.

（五）、作业：课本习题2-2中A组4、5

五、教后反思：