2021-2022年人教A版（2019）高考数学复习--立体几何--点面距离巩固练习卷（解析版）

这是一份2021-2022年人教A版（2019）高考数学复习--立体几何--点面距离巩固练习卷（解析版），共25页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
立体几何点面距离巩固（共22题） 一、选择题（共8题））在 中，，，若 所在平面 外一点 到 ，， 的距离都是 ，则点 到平面 的距离是  A．  B．  C．  D．  已知四棱锥 中，，，，则点 到底面 的距离为  A．  B．  C．  D．  一条直线被一个半径为 的球截得的线段长为 ，则球心到直线的距离为  A．  B．  C．  D．  在我国古代数学名著《九章算术》中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵，如图，在堑堵 中，，，堑堵的顶点 到直线 的距离为 ， 到平面 的距离为 ，则 的取值范围是  A．  B．  C．  D．  如图，在棱长为 的正方体 中，点 ， 分别是棱 ， 的中点，则点 到平面 的距离等于  A．  B．  C．  D．  如图，用一边长为 的正方形硬纸，沿各边中点连线所在直线垂直折起 个小直角三角形，做成一个蛋巢，将体积为 的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为  A．  B．  C．  D．  如图，底面 为正方形，，，设点 到平面 的距离为 ，点 到平面 的距离为 ， 到平面 的距离为 ，则有  A．  B．  C．  D．  将半径都为 的 个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 A． B． C． D． 二、多选题（共4题）已知四边形 是等腰梯形（如图 ），，，，．将 沿 折起，使得 （如图 ），连接 ，，设 是 的中点．下列结论中正确的是  A．  B．点 到平面 的距离为  C．  D．四面体 的外接球表面积为  如图，点 是正方体 的侧面 内的动点，则  A．点 至少存在两个位置满足  B．点 存在无数个位置满足到直线 和直线 的距离相等 C．三棱锥 的体积存在最大值 D．过点 的平面截正方体 所得截面多边形最大边数为  在正方体 中，， 分别是 和 的中点，则下列结论正确的是  A．  B．  C．  D．点 与点 到平面 的距离相等 如图，在棱长为 的正方体 中， 为 的中点，下列命题为真命题的是  A．  B．  C．平面 与平面 夹角的正弦值为  D． 到平面 的距离是  三、填空题（共4题）已知两条平行线 ， 分别在二面角 的两个面内，， 在 上的射影分别为 ，，若 ，，则 与 的距离是    ． 已知正方体 的棱长为 ，异面直线 与 的距离为    ． 正四棱柱 的底面边长为 ，若 与底面 所成角为 ，则 和底面 的距离是    ． 在《九章算术》中，将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵，如图，在堑堵 中，，，堑堵的顶点 到直线 的距离为 ， 到平面 的距离为 ，则 的取值范围是    ． 四、解答题（共6题）如图，底面 为菱形，其边长为 ，．，， 分别是 和 的中点．(1)  求证：；(2)  求点 到平面 的距离． 如图是长方体的表面展开图，在这个长方体中：(1)  直线 与平面 的位置关系是怎样的？(2)  平面 与平面 的位置关系是怎样的？(3)  线段 的长度是点 到平面 的距离吗？ 如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，侧棱 ，，，， 为 的中点．(1)  求异面直线 与 间的距离；(2)  在侧面 内找一点 ，使 ，并求出 到 和 的距离． 如图，在四棱锥 中，，底面 是菱形，，，．(1)  求证：；(2)  求点 到面 的距离． 如图，四棱锥 中，，，，， 为线段 上一点，， 为 的中点．(1)  证明：；(2)  若 ，，求点 到平面 的距离． 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形，，，， 为 的中点， 为 的中点，以 为原点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题：(1)  证明：直线 ；(2)  求异面直线 与 所成角的大小；(3)  求点 到平面 的距离．
答案一、选择题（共8题）1.  【答案】B【解析】作 于点 ，连接 ，，．因为 ，所以 ，所以 是 的外心．所以 ，所以点 到平面 的距离 ．【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 2.  【答案】D【解析】设平面 的法向量为 ，因为 ，，所以 ，，令 ，可得 ，所以点 到底面 的距离为 ．【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 3.  【答案】B【解析】根据勾股定理可得球心到直线的距离为 ，故选B．【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 4.  【答案】D【解析】设 ，则 ，设 ，则 ，所以 ，所以 到直线 的距离 ，因为 ，，，所以 ，所以 到平面 的距离等于 到平面 的距离，所以 ，因为 ，，，所以 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 ．所以 ．因为 ，所以 ，所以 ，所以 ．故选：D．【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 5.  【答案】D【解析】以 为坐标原点，分别以 ，， 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 ，，，．设平面 的法向量为 ，则 即 令 ，得 ．又因为 ，所以点 到平面 的距离 ．【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 6.  【答案】D【解析】由题意，可得蛋巢的底面是边长为 的正方形，则经过 个小直角三角形的顶点截鸡蛋（球）所得的截面圆的直径为 ．因为鸡蛋的体积为 ，所以鸡蛋的半径为 ，所以球心到截面圆的距离为 ，因为垂直折起的 个小直角三角形的高为 ，所以鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为 ．【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 7.  【答案】D【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 8.  【答案】C【解析】四个球心构成一个正四面体（如图），其棱长为 ，则其高 ．设装入四个钢球的正四面体容器为 （如图），球心 在其高 上，且设 为球 与平面 的切点，则 在 中线 上，．由 ，得解得 ．因此【知识点】组合体、点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）、空间几何体的结构特征 二、多选题（共4题）9.  【答案】B；D【解析】对选项A，在图 中，过 作 ，如图所示：因为 ，所以四边形 是矩形，因为 ，所以 ．因为四边形 是等腰梯形，，所以 ．因为 ，所以 ．连接 ，则 ，因为 ，所以 ，得 ，则 ．在图 中，因为 ，，，所以 ．因为 ，所以 ．因为 ，所以 ．若 ，又 ，，所以 ，过一点 与 垂直的平面有两个，与过一点有且只有一个平面与已知直线垂直矛盾．故A错误；由 ，，得 ，又 ，所以 ，而 ，因为 到平面 的距离等于 到平面 的距离，设点 到平面 的距离为 ，由 ，得 ，即 ，故B正确；假设 ，因为 ，，，所以 ，又因为 ，所以 ，与已知条件矛后，故C错误：对选项D，连接 ，如图所示：因为 ， 为直角三角形，且 为 的中点，所以 ，即 为四面体 的外接球的球心．所以四面体 的外接球的半径为 ，则四面体 的外接球表面积为 ，故D正确．【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 10.  【答案】A；B；C；D【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 11.  【答案】A；C【解析】对于A，因为 ， 分别是 和 的中点，所以 ，又 ，，所以 ．对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体 的棱长为 ，易得 ，．故 ．故 ， 不互相垂直．又 ，所以 不成立．对于C，，．故 ．对于D，若点 与点 到平面 的距离相等，则点 与点 连线的中点 在平面 上．连接 ，，，易得平面 即为平面 ，点 与点 连线的中点 在平面 上，所以点 不在平面 上，故D错误．【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 12.  【答案】A；B；D【解析】在正方体 中，，，，，所以 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，因为 ，，所以 ，故A正确；以点 为坐标原点，，， 所在直线分别为 ，， 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 ，，， ，，，，所以 ，，，，则 ，所以 ，故B正确；设平面 的法向量为 ，由 得 令 ，则 ，，所以 ，又平面 的一个法向量是 ，所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ，故平面 与平面 夹角的正弦值为 ，故C错误；点 到平面 的距离为 ，故D正确．【知识点】二面角、点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 三、填空题（共4题）13.  【答案】 【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）、二面角 14.  【答案】  【解析】因为 ，，所以 ，又 ，所以异面直线 与 之间距离为 ．【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 15.  【答案】  【解析】因为正四棱柱 ，所以 ，因为 ，所以 ．所以 到底面 的距离为正四棱柱 的高．因为正四棱柱 的底面边长为 ， 与底面 成 角，所以 ．【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）、线面角 16.  【答案】 【解析】设 ，，则 ，，，且 到平面 的距离为 ．所以 ，，所以 ，又  所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ．故答案为：．【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 四、解答题（共6题）17.  【答案】(1)  取 中点 ，连接 ，，则 ，，因为 为 的中点，底面 为菱形，所以 ，．所以四边形 为平行四边形，得 ．又 ，，故 ．(2)  由 ，，得 ，在底面菱形 中，过 作 ，则 ，由 ，，得 ，又 ，所以 到平面 与 到平面 的距离相等为 ．设 ，则 ，．设点 到平面 的距离为 ，则 ．由 ，得 ，解得 ．即点 到平面 的距离为 ．【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 18.  【答案】(1)  根据展开图还原长方体，其示意图如图所示，则 ．(2)  平面 垂直于平面 ．(3)  线段 的长度是点 到平面 的距离．【知识点】平面与平面的位置关系、点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）、直线与平面的位置关系 19.  【答案】(1)  由题意得 ，，．以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图，则 ，，，，所以 ，，，设异面直线 ， 的公垂线的方向向量为 ，则 ，，所以 令 ，则 ，，即 ．设异面直线 ， 之间的距离为 ，则 ．(2)  设在侧面 内存在一点 ，使 ，由（）知 ，所以 ，所以 解得 所以 ，所以 到 的距离为 ， 到 的距离为 ．【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 20.  【答案】(1)  因为底面 是菱形，所以 ，因为 ，，所以 ，因为 ， 是平面 内的两条直交线，所以 ，又 ，所以 ．(2)  因为底面 是菱形，所以 ，又因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，设点 到平面 的距离为 ，且 ，所以 ，即 ，因为 是等边三角形，所以 ，所以 ，解得 ，所以点 到面 的距离为 ．【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 21.  【答案】(1)  由已知得 ，取 的中点 ，连接 ，，由 为 中点，知 且 ，又 且 ，得 且 所以四边形 是平行四边形，有 ，， ，故 ．(2)  记点 到平面 的距离为 ，由题可知，，，，，， ．在 中，．则 ． ．因为 ，所以 ，解得 ．【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 22.  【答案】(1)  作 于点 ，如图，分别以 ，， 所在直线为 ，， 轴建立空间直角坐标系．则 ，，，，，，， ，，．设平面 的法向量为 ，则 ，，即 取 ，解得 ． ， ．(2)  设 与 所成角为 ， ，， ， ， 与 所成角的大小为 ．(3)  设点 到平面 的距离为 ，则 为 在向量 上的投影的绝对值，由 ，得 ，所以点 到平面 的距离为 ．【知识点】异面直线所成的角、空间的平行关系、空间向量的应用、点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）