2021-2022年人教A版（2019）高考数学复习--立体几何--异面直线距离与夹角巩固练习卷（解析版）

这是一份2021-2022年人教A版（2019）高考数学复习--立体几何--异面直线距离与夹角巩固练习卷（解析版），共28页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
异面直线距离与夹角巩固（共22题） 一、选择题（共8题）已知二面角 的大小为 ， 和 是两条异面直线，且 ，，则 与 所成的角的大小为  A．  B．  C．  D．  如图，在长方体 中，，，， 是 的中点，则异面直线 与 所成角等于  A．  B．  C．  D．  如图所示，四边形 和 均为正方形，它们所在的平面相互垂直，动点 在线段 上，， 分别为 ， 的中点．设异面直线 与 所成的角为 ，则 的最大值为  A．  B．  C．  D．  如图所示， 是半圆 的直径， 垂直于半圆 所在的平面，点 是圆周上不同于 ， 的任意一点，， 分别为 ， 的中点，则下列结论正确的是  A．  B．  C． 与 所成的角为  D．  四边形 和 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点 在线段 上，， 分别为 ， 的中点，设异面直线 与 所成的角为 ，则 的最大值为  A．  B．  C．  D．  已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 上的射影为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为  A．  B．  C．  D．  在正方体 中，点 是棱 的中点，点 是线段 上的一个动点，有以下三个命题．①异面直线 与 所成的角是定值；②三棱锥 的体积是定值；③直线 与平面 所成的角是定值．其中真命题的个数是 ． A．  B．  C．  D．  正方体 中，点 在 上运动（包括端点），则 与 所成的角的取值范围为  A． B． C． D． 二、多选题（共4题）在正方体 中，点 在线段 上运动，则  A．  B．三棱锥 的体积为定值 C．异面直线 与 所成角的取值范围是  D．直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为  将正方形 沿对角线 折成直二面角 ，下列四个结论中正确的是  A．  B． 是等边三角形 C．直线 与平面 所成的角是  D． 与 所成的角为  如图，在棱长均相等的四棱锥 中， 为底面正方形的中心，， 分别为侧棱 ， 的中点，则下列结论正确的是  A．  B．  C．异面直线 与 所成角的大小为  D．  如图，在直三棱柱 中，，，点 ， 分别是线段 ， 上的动点（不含端点），且 ．则下列说法正确的是  A．  B．该三棱柱的外接球的表面积为  C．异面直线 与 所成角的正切值为  D．二面角 的余弦值为  三、填空题（共4题）思考辨析，判断正误．异面直线所成角的大小与点 的位置无关，所以求解时，可根据需要合理选择该点．     如图，正方体 中， 与 所成角的大小是    ． 直三棱柱 中，若 ，，则异面直线 与 所成角的大小为    ． 如图，已知平面四边形 ，，，，．沿直线 将 翻折成 ，直线 与 所成角的余弦的最大值是    ． 四、解答题（共6题）如图，正四棱柱 的底面边长为 ，高为 ， 是棱 的中点．(1)  求异面直线 与 所成角的大小（用反三角函数值表示）；(2)  求四面体 的体积． 如图，在直三棱柱 中，， 是 的中点，．（）求证：；（）若异面直线 和 所成角的余弦值为 ，求四棱锥 的体积． 如图，已知圆锥的顶点为 ，底面圆心为 ，高为 ，底面半径为 (1)  求该圆锥的侧面积；(2)  设 ， 为该圆锥的底面半径，且 ， 为线段 的中点，求直线 与直线 所成的角． 如图所示，在长方体 中，，，， 为棱 上一点．(1)  若 ，求异面直线 和 所成角的正切值；(2)  若 ，求证 ． 如图，在 中，，斜边 ， 可以通过 以直线 为轴旋转得到，且二面角 是直二面角， 是 的中点，求异面直线 与 所成角的大小． 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形，，，， 为 的中点， 为 的中点，以 为原点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题：(1)  证明：直线 ；(2)  求异面直线 与 所成角的大小；(3)  求点 到平面 的距离．
答案一、选择题（共8题）1.  【答案】C【解析】设直线 ， 的方向向量 ，，，，所以 ， 分别是平面 ， 的法向量，二面角 的大小为 ，， 的夹角为 或 ，因为异面直线所的角为锐角或直角，所以 与 所成的角为 ．故选：C．【知识点】异面直线所成的角 2.  【答案】C【解析】长方体 中，，，，取 的中点 ，连接 ，，因为 是 的中点，所以 ，所以 是异面直线 与 所成角，如图所示；  中，，所以 ，即异面直线 与 所成角等于 ．【知识点】异面直线所成的角 3.  【答案】B【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，则 ，，易知 ，，，所以   ，令 ，，则 ，当且仅当 时取等号，所以 ，所以 ，当且仅当 时取最大值，故选B．【知识点】异面直线所成的角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 4.  【答案】B【解析】因为 ， 分别是 ， 的中点，所以 与 平行，又因为 与 相交于点 ，所以 与 不平行，故A错误；因为 垂直半圆 所在的平面，，所以 ，因为 是半圆 的直径，所以 ，又 ，，所以 ，又 ，所以 ，故B正确；因为 与平面 垂直，，所以 与 垂直，故C错误；因为 ，，，， 共面，所以 与 不垂直，所以 不成立，故D错误．故选B．【知识点】异面直线所成的角 5.  【答案】A【解析】以 为坐标原点，，， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方形的边长为 ，则 ，，，设 ，所以 ，，所以 ，将异面直线 与 夹角的余弦值转化为关于 的函数．令 ，，则当 时，，当 时，  通过换元，进一步转化为求关于 的函数的最值问题．因为 ，所以当 ，即 时， 取得最大值 ，因此 的最大值为 ．【知识点】异面直线所成的角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 6.  【答案】B【解析】设 ，，， 的中点为 ，则 ，所以 ，设三棱柱的各棱长均为 ，则 ，且 ，所以 ，所以 解得 ，所以 所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ．【知识点】异面直线所成的角、空间向量的数量积运算 7.  【答案】B【解析】以点 为坐标原点，，， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，不妨设正方体棱长为 ，则 ，，，，，根据题意设 ，则 ，，所以 ，所以异面直线 与 所成的角是 ，为定值，所以①正确；对于②，因为三棱锥 的底面 面积为定值，且 ，而点 是线段 上的一个动点，所以点 到平面 的距离为定值，所以三棱锥 的体积是定值，故②正确；对于③，因为 ，，，可得平面 的一个法向量为 ，所以 不是定值，故③错误．故选B．【知识点】线面角、异面直线所成的角 8.  【答案】D【解析】在正方体 中， 与 平行，故 即为 与 所成的角，取 中点 ，连接 交 于 ，易得 ，则有 ．当 越大， 越大，当 越小， 越小，显然当 与 重合时， 最大，此时 是等边三角形，，当 与 重合时， 最小，此时 ，由 得 ．【知识点】异面直线所成的角 二、多选题（共4题）9.  【答案】B；D【解析】以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体 的棱长为 ，则 ，，，，，，所以 ，，，所以 ，所以 ， ，所以 不垂直于 ，故 不垂直于平面 ，故A不正确．因为 ，，，所以 ，又因为点 在线段 上运动，所以点 到平面 的距离等于 到平面 的距离，易知点 到平面 的距离为定值，故 为定值．故B正确．易知 ，当点 与线段 的端点重合时，异面直线 与 所成角为 ，设 的中点为 ，当点 由 的端点向中点 运动时， 为异面直线 与 所成的角，在 中，，所以 ，在 中， 不变， 逐渐变小，所以 逐渐增大，当点 与 重合时，异面直线 与 所成角为 ，所以异面直线 与 所成角的取值范围是 ，故C不正确．设 ，易知 ，，，，因为 ，，，所以 ，所以 为平面 的一个法向量，设直线 与平面 所成的角为 ，则  当 时， 取得最大值，为 ，所以直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 ，故D正确．故选BD．【知识点】线面角、异面直线所成的角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 10.  【答案】A；B；D【解析】设正方形的边长为 ，取 的中点 ，连接  ，，可得 ，，，所以 ．因为 ，所以 ，A正确．正方形 沿对角线 折成直二面角 ，即 ．因为 ，，所以 ，同理 ，所以 ．在 中，，所以 ，故 为等边三角形，故B正确．因为 ，所以 为直线 与平面 所成的角，而 ，故C错误．过点 作 且 ，连接 ，，则 或其补角为 与 所成的角．在 中，，，，由余弦定理得 ．易知 ，，所以 ．在 中．．又 ，由余弦定理得 ，所以 ，即 与 所成的角为 ，故D正确．【知识点】余弦定理、异面直线所成的角、二面角 11.  【答案】A；B；D【解析】选项A，连接 ，显然 为 的中点，又 为 的中点，所以 ，由线面平行的判定定理可得，，A正确；选项B，由 ， 分别为侧棱 ， 的中点，得 ，又底面为正方形，所以 ，由线面平行的判定定理可得，，由选项A得 ，由面面平行的判定定理可得，，B正确；选项C，因为 ，所以 （或其补角）为异面直线 与 所成的角，又因为所有棱长都相等，所以 ，故异面直线 与 所成角的大小为 ，C错误；选项D，因为底面为正方形，所以 ，又所有棱长都相等，所以 ，故 ，又 ，所以 ，D正确．【知识点】平面与平面平行关系的判定、异面直线所成的角 12.  【答案】A；D【解析】在直三棱柱 中，四边形 是矩形，因为 ，所以 ，所以 ，所以A项正确；因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，易知 是三棱柱外接球的直径，所以三棱柱外接球的表面积为 ，所以B项错误；因为 且 为锐角，所以异面直线 与 所成角为 ，在 中，，，所以 ，所以C项错误；二面角 即为二面角 ，以 为坐标原点，，， 的方向分别为 ，， 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 ，，，，设平面 的法向量为 ，则 即 令 ，则 ，所以 ，同理求得平面 的一个法向量为 ，由图易知二面角 为锐角，故二面角 的余弦值为 ，所以D项正确．故选AD．【知识点】异面直线所成的角、二面角、球的表面积与体积、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 三、填空题（共4题）13.  【答案】 【知识点】异面直线所成的角 14.  【答案】 【解析】连接 ，（图略），则 ，所以 （或其补角）就是 与 所成的角，在正方体 中，，所以 ，即 与 所成角的大小为 ．【知识点】异面直线所成的角 15.  【答案】 【解析】如图，可将原三棱柱补成一个正方体，连接 ，，所以 ，所以 （或其补角）即为 与 所成的角．又易知 为正三角形，所以 ，即异面直线 与 所成角的大小为 ．【知识点】异面直线所成的角 16.  【答案】【解析】取 的中点 ，连接 ，过 作 交 与点 ，过 作 ，过 作 交 与点 ，因为 ， 为 的中点，所以 ，又四边形 为矩形，所以直线 与 所成的角为 ， 为面 与面 所成的二面角，设 ，因为 ，所以 ，，又 ，所以 ，在 中，由余弦定理得 ，所以 ，当 时， 有最小值为 ，则 ，所以直线 与 所成角的余弦的最大值是 ． 【知识点】异面直线所成的角 四、解答题（共6题）17.  【答案】(1)  如图，以 为原点，以 ，， 分别为 ，， 轴的正方向，建立空间直角坐标系．由已知 ，，设两向量夹角为 ，则 ，所以异面直线 与 所成角为 ．(2)  利用割补法：正四棱柱体积 ．连接 ． ，，，所以 ．【知识点】异面直线所成的角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 18.  【答案】（）取 的中点 ，连接 ，，，在直三棱柱 中，四边形 为平行四边形，又 是 的中点，所以 ，，所以四边形 是平行四边形，所以 ，又 ，，所以 ，因为 ，，所以四边形 是平行四边形，所以 ，又 ，，所以 ，又 ，，所以 ，又 ，所以 ；（）过 作 于 ，因为 ，，所以 ，又 ，，所以 ，因为 ， 为锐角，所以 为异面直线 和 所成的角，所以由条件知 ，在 中，，，，，，又 ，，，所以  【知识点】异面直线所成的角 19.  【答案】(1)   ，由题意得：高 ，底面半径 ，所以 母线 ，圆锥的侧面积 ．(2)  取 的中点为 ，因为 为 的中点，所以 ， 就是直线 与直线 所成的角，因为 ，，所以 ，，，在 中，，，所以 ，即直线 与直线 所成的角为 ．【知识点】圆锥的表面积与体积、异面直线所成的角 20.  【答案】(1)  依据题意，有 ，，，得 ．因为 ，所以异面直线 和 所成角即为 和 所成角．在长方体 中，因为 ，，所以 ，所以 ，故可得 为锐角且 ．(2)  由题意，，，，所以 ．因为 ，所以 ，即 ．又由 可得 ，故 ．【知识点】异面直线所成的角 21.  【答案】 ．【解析】由题意得，，，所以 即为二面角 的平面角，且 ，又因为二面角 是直二面角，所以 ，取 中点 ，连接 ，，如图所示：所以 ，所以 ，且 即异面直线 ， 所成角或其补角，因为在 中，，斜边 ，所以 ，，所以在 中，，所以 ，所以异面直线 ， 所成角大小为 ．【知识点】异面直线所成的角 22.  【答案】(1)  作 于点 ，如图，分别以 ，， 所在直线为 ，， 轴建立空间直角坐标系．则 ，，，，，，， ，，．设平面 的法向量为 ，则 ，，即 取 ，解得 ． ， ．(2)  设 与 所成角为 ， ，， ， ， 与 所成角的大小为 ．(3)  设点 到平面 的距离为 ，则 为 在向量 上的投影的绝对值，由 ，得 ，所以点 到平面 的距离为 ．【知识点】异面直线所成的角、空间的平行关系、空间向量的应用、点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）