2021-2022年人教A版（2019）高考数学复习--立体几何--异面直线距离与夹角基础练习卷（解析版）

这是一份2021-2022年人教A版（2019）高考数学复习--立体几何--异面直线距离与夹角基础练习卷（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
异面直线距离与夹角基础（共22题） 一、选择题（共8题）在空间内，异面直线所成角的取值范围是  A．  B．  C．  D．  如图，在正方体 中，，，， 分别为 ，，， 的中点，则异面直线 与 所成的角等于  A．  B．  C．  D．  如图，在正方体 中， 为 的中点，则直线 与 所成角的余弦值为  A．  B．  C．  D．  在正方体 中，直线 与直线 所成角是  A．  B．  C．  D．  在空间中，下列命题正确的是  A．如果一个角的两边和另一角的两边分别平行，那么这两个角相等 B．两条异面直线所成角的范围是  C．如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行 D．如果一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 正方体 的棱长为 ，线段 上有两个动点 ，，且 ，则下列结论中错误的是  A．  B．  C．三棱柱 的体积为定值 D．异面直线 ， 所成的角为定值 如图，在长方体 中，，，点 为 的中点，则异面直线 与 所成角的正切值为  A．  B．  C．  D．  在长方体 中，，，则异面直线 与 所成角的余弦值为  A．  B．  C．  D．  二、多选题（共4题）在正方体 中，点 在线段 上运动，则  A．  B．三棱锥 的体积为定值 C．异面直线 与 所成角的取值范围是  D．直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为  如图所示，在正方体 中，， 分别为棱 ， 的中点，其中正确的结论为  A．直线 与 是相交直线 B．直线 与 是平行直线 C．直线 与 是异面直线 D．直线 与 所成的角为  如图，已知正方体 的棱长为 ，点 ，， 分别为棱 ，， 的中点，下列结论中正确的是  A．  B．  C．异面直线 与 所成角的正切值为  D．四面体 的体积等于  将正方形 沿对角线 折成直二面角，则下列结论中正确的是  A．  B． ， 所成角为  C． 为等边三角形 D． 与平面 所成角为  三、填空题（共4题）两条异面直线所成的角为 ，则 的取值范围是    ． 如图，在正方体中， 与 所成角的大小为    ． 已知 ，，且 ，则异面直线 与 所成的角的正切值为    ． 在正方体 中， 的中点为 ， 的中点为 ，则异面直线 与 所成角的度数是    ． 四、解答题（共6题）如图，正四棱柱 的底面边长为 ，高为 ， 是棱 的中点．(1)  求异面直线 与 所成角的大小（用反三角函数值表示）；(2)  求四面体 的体积． 如图，已知三棱柱 的侧棱与底面垂直，，，， 分别是 ， 的中点．(1)  求异面直线 与 所成角的余弦值；(2)  求二面角 的余弦值． 如图所示，已知空间四边形 的每条边和对角线长都等于 ，点 ，， 分别是 ，， 的中点，计算：(1)   ；(2)   ；(3)   的长；(4)  异面直线 与 所成角的余弦值． 已知正方体 ．(1)  画出两个平面 与 的交线；(2)  若正方体的边长为 ，求异面直线 与 所成角的大小． 如图，正方体 中，求 与 所成的角． 如图，在菱形 中，，其对角线的交点为点 ，现将 沿对角线 向上翻折，使得 ．在四面体 中，点 在 上移动，点 在 上移动，且 （）．(1)  求线段 的最大值与最小值；(2)  当线段 的长最小时，求异面直线 与 所成角 的大小．
答案一、选择题（共8题）1.  【答案】B【解析】由异面直线所成角的定义可知，过空间一点分别作相应直线的平行线，两条相交直线所成的直角或锐角为异面直线所成角，所以两条异面直线所成角的取值范围是 ，故选B．【知识点】异面直线所成的角 2.  【答案】B【解析】如图，连接 ，，，则 ，且 ，，所以异面直线 与 所成角等于 ．【知识点】异面直线所成的角 3.  【答案】D【知识点】异面直线所成的角 4.  【答案】B【知识点】异面直线所成的角 5.  【答案】C【解析】在空间中，如果两个角的两条边分别平行，那么这两个角相等或互补，故A错误；两条异面直线所成角的范围是 ，故B错误；如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，故C正确；如果平面外一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行，故D错误．【知识点】异面直线所成的角、空间的平行关系 6.  【答案】D【知识点】异面直线所成的角 7.  【答案】A【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、异面直线所成的角 8.  【答案】C【解析】以 为坐标原点，，， 为 ，， 轴建立空间直角坐标系，则 ，，，，所以 ，，因为 ，所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ，选C．【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、异面直线所成的角 二、多选题（共4题）9.  【答案】B；D【解析】以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体 的棱长为 ，则 ，，，，，，所以 ，，，所以 ，所以 ， ，所以 不垂直于 ，故 不垂直于平面 ，故A不正确．因为 ，，，所以 ，又因为点 在线段 上运动，所以点 到平面 的距离等于 到平面 的距离，易知点 到平面 的距离为定值，故 为定值．故B正确．易知 ，当点 与线段 的端点重合时，异面直线 与 所成角为 ，设 的中点为 ，当点 由 的端点向中点 运动时， 为异面直线 与 所成的角，在 中，，所以 ，在 中， 不变， 逐渐变小，所以 逐渐增大，当点 与 重合时，异面直线 与 所成角为 ，所以异面直线 与 所成角的取值范围是 ，故C不正确．设 ，易知 ，，，，因为 ，，，所以 ，所以 为平面 的一个法向量，设直线 与平面 所成的角为 ，则  当 时， 取得最大值，为 ，所以直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 ，故D正确．故选BD．【知识点】线面角、异面直线所成的角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 10.  【答案】C；D【知识点】异面直线所成的角 11.  【答案】B；C【解析】如图所示，取 的中点 ， 的中点 ， 的中点 ，连接 并延长，连接 并延长，记 与 的延长线交于点 ，延长 ，记 的反向延长线交 的反向延长线于点 ， 的延长线交 的反向延长线于点 ．连接 ，，因为 与 相交，故 与平面 相交，故A不正确．因为 ，，，所以 ，所以 ．因为 ，，，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，故B正确．以 为原点，，， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系 ，则 ，，，，，所以 ，，所以  所以  所以  所以异面直线 与 所成角的正切值为 ，故C正确．易知四面体 的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积，即 ，故D不正确．【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、异面直线所成的角 12.  【答案】A；B；C【解析】如图，A．取 中点为 ，连接 ，，易知 ，故 ．B．以 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设正方形 边长为 ，则 ，，，，故 ，．由两向量夹角公式得 ，故异面直线 ， 所成的角为 ．C．在直角三角形 中，由 ，，得 ，故 为等边三角形．D．易知 即为直线 与平面 所成的角，易得 ，故D错误．【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、线面角、异面直线所成的角 三、填空题（共4题）13.  【答案】 【知识点】异面直线所成的角 14.  【答案】  【解析】如图，记 点正上方的顶点为 ．在正方体中，显然 ，所以 即是 与 所成的角，易得：．【知识点】异面直线所成的角 15.  【答案】 【知识点】异面直线所成的角 16.  【答案】 【解析】取 的中点 ，连接 ， 交 于点 ， 则 ，且 ，所以四边形 是平行四边形，所以 ，所以 就是异面直线 与 所成的角，而 ，所以 ，，所以 ．【知识点】异面直线所成的角 四、解答题（共6题）17.  【答案】(1)  如图，以 为原点，以 ，， 分别为 ，， 轴的正方向，建立空间直角坐标系．由已知 ，，设两向量夹角为 ，则 ，所以异面直线 与 所成角为 ．(2)  利用割补法：正四棱柱体积 ．连接 ． ，，，所以 ．【知识点】异面直线所成的角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 18.  【答案】(1)  如图，以 为坐标原点，，， 所在直线分别为 ，， 轴建立空间直角坐标系，则 ，，，，所以 ，．所以 ，所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ．(2)  平面 的一个法向量为 ．设平面 的一个法向量为 ．因为 ，，由 ， 得，  不妨取 ，则 ，，所以 ，所以 ，所以二面角 的余弦值为 ．【知识点】二面角、异面直线所成的角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 19.  【答案】(1)  设 ，，，则 ， 与 ， 与 ， 与 所成的角都为 ．因为 ，，所以 ．(2)  因为 ，所以  (3)  因为  所以  则 ．(4)  而 ，，则 ．由于异面直线所成角的范围是 ，所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ． 【知识点】异面直线所成的角 20.  【答案】(1)  图略．(2)   ．【知识点】异面直线所成的角 21.  【答案】因为 ，所以 （或其补角）为异面直线 与 所成的角，又 中，，所以 与 所成的角为 ． 【知识点】异面直线所成的角 22.  【答案】(1)  以 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系 ．由已知可求得 ，，则 ，所以 ．所以，当 时，线段 的最小值为 ；当 时，线段 的最大值为 ．(2)  当 时，，而 ，所以 ．所以，．【知识点】异面直线所成的角、空间线段的长度、利用向量的坐标运算解决立体几何问题