2021-2022年人教A版（2019）高考数学复习--立体几何--二面角基础练习卷（解析版）

这是一份2021-2022年人教A版（2019）高考数学复习--立体几何--二面角基础练习卷（解析版），共26页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
立体几何二面角基础（共22题） 一、选择题（共8题）设平面 与平面 所成二面角的平面角为 ，若平面 ， 的法向量分别为 ，，则    A．  B．  C．  D．  如图所示，已知点 为菱形 外一点，且 ，，点 为 中点，则二面角 的正切值为  A． B． C． D． 在四面体 中，，，二面角 为直二面角， 是 的中点，则 的大小为  A．  B．  C．  D．  在正 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是  A．  B．  C．  D．  已知两平面的法向量分别为 ，，则两平面所成的二面角为  A．  B．  C． 或  D．  过正方形 的顶点 作线段 ，且 ，则平面 与平面 所成的二面角的度数是  A．  B．  C．  D．  已知 是各棱长均等于 的正三棱柱， 是侧棱 的中点，则平面 与平面 所成的锐二面角的大小为  A．  B．  C．  D．  在平面直角坐标系中，，，沿 轴把平面直角坐标系折成 的二面角后，则线段 的长度为  A． B． C． D． 二、多选题（共4题）如图，在直三棱柱 中，，，，， 是 的中点，点 在棱 上且靠近 ，当 时，则  A．  B．  C．  D．二面角 的余弦值为  给出下列说法其中正确的是  A．两个相交平面组成的图形叫作二面角 B．异面直线 ， 分别和一个二面角的两个面垂直，则 ， 所成的角与这个二面角相等或互补 C．二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角 D．二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系 如图，棱长为 的正方体 中，， 分别为 ， 的中点，则  A．直线 与底面 所成的角为  B．平面 与底面 夹角的余弦值为  C．直线 与直线 的距离为  D．直线 与平面 的距离为  在正方体 中，下列选项中说法正确的是  A．  B． 与 所成的角为  C．二面角 的平面角为  D． 与平面 所成的角为  三、填空题（共4题）思考辨析，判断正误组成二面角的平面角的两边所在直线确定的平面与二面角的棱垂直．  设平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，则二面角 的大小为    ． 正方体 中，二面角 的大小为    ． 如图，在直棱柱 中，，，则二面角 的平面角的正弦值为    ． 四、解答题（共6题）如图，已知三棱柱 的侧棱与底面垂直，，，， 分别是 ， 的中点．(1)  求异面直线 与 所成角的余弦值；(2)  求二面角 的余弦值． 如图，在三棱锥 中，，，．(1)  若 ，求证：；(2)  若 与平面 所成角的大小为 ，求二面角 的余弦值． 如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，，， 是 的中点，作 交 于点 ．(1)  证明：；(2)  证明：；(3)  求二面角 的大小． 如图，在三棱柱 中，，，，， 分别是 ， 的中点．(1)  求证：；(2)  求直线 与平面 所成角的正弦值；(3)  在棱 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 所成二面角为 ？若存在，求出线段 的长；若不存在，请说明理由． 如图，三棱柱 的 ，， 是棱 上的动点， 是 的中点，，，．(1)  当 是棱 的中点时，求证：；(2)  在棱 上是否存在点 ，使得二面角 的余弦值是 ？若存在，求出 的长；若不存在，请说明理由． 如图，已知菱形 与直角梯形 所在的平面互相垂直，其中 ，，，， 为 的中点．(1)  求证：；(2)  求二面角 的余弦值；(3)  设 为线段 上一点，，若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的长．
答案一、选择题（共8题）1.  【答案】B【解析】由题意可知平面 与平面 所成二面角的平面角 与 相等或互补，所以  【知识点】二面角 2.  【答案】D【解析】如图所示，连接 ，，连接 ．以 为原点，，， 所在直线分别为 ，， 轴建立空间直角坐标系 ．设 ，则 ，所以 ，，，．则 ，结合图形可知， 为面 的一个法向量．由 ，，可求得面 的一个法向量 ．所以 ，则 ，所以 ．【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、二面角 3.  【答案】B【解析】如图，设 ，取 的中点 ，连接 ，，则由题意可得 ，，所以 为二面角 的平面角，且 ，．在 中，易得 ，所以 为正三角形，又因为 是 的中点，所以 ，即 ．【知识点】二面角 4.  【答案】A【解析】当正 棱锥的顶点无限趋近于底面正多边形中心时，则底面正多边形便为极限状态，此时棱锥相邻两侧面所成二面角 ，且小于 ；当棱锥高无限大时，正 棱柱便又是另一极限状态，此时 ，且大于 ．故选（A）．【知识点】二面角 5.  【答案】C【知识点】二面角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 6.  【答案】B【知识点】二面角 7.  【答案】A【解析】如图所示，以 为原点，以垂直于 的直线为 轴，以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系．因为 是各棱长均等于 的正三棱柱， 是侧棱 的中点，所以 ，，，，所以 ，，，设平面 的法向量为 ，因为 ，，所以 取 ，则 ，，所以 ，又因为平面 的法向量为 ，所以 ，则平面 与平面 所成的锐二面角的大小为 ，故选A．【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、二面角 8.  【答案】B【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、二面角 二、多选题（共4题）9.  【答案】B；D【解析】依题意可知 ，，，以 为原点，，， 所在直线分别为 ，， 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设 ，，则 ，，，，，，，．所以 ，．因为 ，所以 ，即 ，解得 或 （舍），所以 ，，故B正确． ，故A不正确．因为 ，所以 ，故C不正确．取平面 的一个法向量为 ，设平面 的法向量为 ， ，，由 即 取 ，则 ，，所以 ．显然二面角 为锐角，所以二面角 的余弦值为 ．故D正确．【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、二面角 10.  【答案】B；D【解析】对于A，显然混淆了平面与半平面的概念，故A错误；对于B，因为 ， 分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角或直角，所以应是相等或互补，故B正确；对于C，因为所作射线不一定垂直于棱，故C错误；由定义知D正确．【知识点】二面角 11.  【答案】B；C；D【解析】以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，对于 ，，，，平面 的法向量 ，设直线 与底面 所成的角为 ，则 ．所以直线 与底面 所成的角为 ，故A错误；对于 ，，，， ，，设平面 的法向量 ，则 取 ，得 ，设平面 与底面 夹角为 ，则 ，所以平面 与底面 夹角的余弦值为 ，故B正确；对于C，，，，所以直线 与直线 的距离为： ，故C正确；对于D，因为 ，，，所以 ，又 ，平面 的法向量 ，所以直线 与平面 的距离为： ，故D正确．故选：BCD．【知识点】二面角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题、线面角 12.  【答案】A；B；C【解析】对于A，连接 ，则 ．因为 ，所以 ，故A正确．对于B，连接 ，因为 ，所以 即为 与 所成的角．因为 为等边三角形，所以 与 所成的角为 ，故B正确．对于C，因为 ，，所以 ．因为 ，所以 是二面角 的平面角．因为 是等腰直角三角形，所以 ，故C正确．对于D，因为 ，所以 是 与平面 所成的角．因为 ，所以 ，故D错误．故选ABC．【知识点】异面直线所成的角、二面角、线面角 三、填空题（共4题）13.  【答案】 【知识点】二面角 14.  【答案】 或 【解析】由二面角定义得 ，所以 或 ．即二面角 的大小为 或 ．【知识点】二面角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 15.  【答案】 【知识点】二面角 16.  【答案】  【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、二面角 四、解答题（共6题）17.  【答案】(1)  如图，以 为坐标原点，，， 所在直线分别为 ，， 轴建立空间直角坐标系，则 ，，，，所以 ，．所以 ，所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ．(2)  平面 的一个法向量为 ．设平面 的一个法向量为 ．因为 ，，由 ， 得，  不妨取 ，则 ，，所以 ，所以 ，所以二面角 的余弦值为 ．【知识点】二面角、异面直线所成的角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 18.  【答案】(1)  因为 ， ，， ，所以 ，因为 ，所以 ．又 ，，所以 ，因为 ，所以 ．(2)  如图，过 作 于点 ，因为 ，所以 ，所以 ，不妨设 ，所以 ，以 为原点，分别以 ， 所在直线为 轴， 轴，以过 点且平行于 的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，，，，因此 ，，，．设 为平面 的一个法向量，则 即 令 ，可得 ，设 为平面 的一个法向量，则 即 令 ，可得 ，所以 ，易知二面角 为锐角，所以二面角 的余弦值为 ．【知识点】平面与平面垂直关系的判定、利用向量的坐标运算解决立体几何问题、二面角 19.  【答案】(1)  连接 交 于点 ，连接 ，在 中，因为 ， 分别是 ， 的中点，所以 是 的中位线，所以 ，因为 ，，所以 ．(2)  因为 ，，，所以 ，，因为 可知 是等腰直角三角形，而 是斜边 的中点，所以 ，因为底面 是正方形，所以 ，又 ，，所以 ，而 ，所以 ，又 ， 于 点，，所以 ，所以 ，又 ，且 ，，所以 ．(3)  以 为原点，，， 所在直线为 轴， 轴， 轴正方向建立空间直角坐标系，设 ，则 ，，，设平面 的一个法向量为 ，由（Ⅱ）中 ，可得 为平面 的一个法向量，可取 ，设平面 的一个法向量为 ，则 ，，因为   取 ，则  ，所以二面角 的大小为 ．【知识点】直线与平面垂直关系的判定、二面角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题、直线与平面平行关系的判定 20.  【答案】(1)  取 的中点 ，连接 ，交 于点 ，可知 为 的中点，连接 ，易知四边形 为平行四边形，所以 ，又 ，，所以 ．(2)  分别以 ，， 所在的直线为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得 ，，，，则 ，，，设平面 的法向量为 ，则 即 令 ，可得 ，，即 ，所以 ，所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．(3)  假设在棱 是存在一点 ，设 ，可得 ，由 ，，可得 ，，设平面 的法向量为 ，则 即 令 ，可得 ，，即 ，又由平面 的一个法向量为 ，所以 ，因为平面 与平面 所成二面角为 ，可得 ，解得 ，此时 ，符合题意，所以在棱 上存在一点 ，使得平面 上与平面 所成二面角为 ，且 ．【知识点】二面角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题、线面角、直线与平面平行关系的判定 21.  【答案】(1)  取 的中点 ，连接 ，．因为 ， 分别是 ， 的中点，所以 ，，又 ，，，所以 ，，所以 ，，所以四边形 是平行四边形，所以 ．因为 ，，所以 ．(2)  以 为坐标原点，射线 ，， 分别为 轴， 轴， 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 ，，，，设 ，平面 的一个法向量为 ，则 ．由 ，，得 令 ，得 ．易得 ，所以 是平面 的一个法向量，令 ．因为二面角 的余弦值为 ，所以  解得 ．所以在棱 上存在点 ，使得二面角 的余弦值是 ，此时 ．【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、直线与平面平行关系的判定、二面角 22.  【答案】(1)  取 的中点 ，连接 ，，则 ，且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，又 ，，所以 ．(2)  取 中点 ，连接 ，则 ，因为 ，交线为 ，所以 ，作 ，分别以 ，， 所在直线为 ，， 轴建立空间直角坐标系，则 ，，，于是 ，，设平面 的法向量 ，则 令 ，则 ，，平面 的法向量 ，所以 ，又因为二面角 为锐角，所以其余弦值为 ．(3)  ，，，则 ，，而平面 的法向量为 ，设直线 与平面 所成角为 ，于是 ，于是 ，．【知识点】二面角、线面角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题、直线与平面平行关系的判定