高中北师大版 (2019)1.1 平均变化率导学案

这是一份高中北师大版 (2019)1.1 平均变化率导学案，共11页。学案主要包含了平均变化率，瞬时变化率等内容，欢迎下载使用。

1．1 平均变化率
1．2 瞬时变化率
学习目标 1.了解变化率在实际生活中的需求，探究和体会平均变化率的实际意义.2.理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念．
导语
你登过泰山吗？登山过程中，你会体验到“六龙过万壑”的雄奇，感受到“会当凌绝顶，一览众山小”的豪迈．当爬到“十八盘”时，你感觉怎样？是平缓的山好攀登，还是陡峭的山好攀登？你能从数学的角度来反映山坡的平缓和陡峭程度吗？
一、平均变化率
问题1 下表是某病人吃完退烧药，他的体温变化情况：
观察上表，每10分钟病人的体温变化相同吗？哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？
提示 每10分钟病人的体温变化不相同，从20分钟到30分钟变化最快，用体温的平均变化率刻画体温变化的快慢．
知识梳理
平均变化率
注意点：
(1)Δx是自变量的变化量，它可以为正，也可以为负，但不能等于零，而Δy是相应函数值的变化量，它可以为正，可以为负，也可以等于零．
(2)函数平均变化率的物理意义，如果物体的运动规律是s＝s(t)，那么函数s(t)在t到t＋Δt这段时间内的平均变化率就是物体在这段时间内的平均速度，即eq \x\t(v)＝eq \f(Δs,Δt).
例1 已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.当x1＝4，且Δx＝1时，求函数增量Δy和平均变化率eq \f(Δy,Δx).
解 因为f(x)＝2x2＋3x－5，
所以Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2xeq \\al(2,1)＋3x1－5)＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.
所以当x1＝4，Δx＝1时，Δy＝2×12＋(4×4＋3)×1＝21，则eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(21,1)＝21.
反思感悟 求函数平均变化率的三个步骤
第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1.
第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)．
第三步，求平均变化率eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx2－fx1,x2－x1).
跟踪训练1 某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝sin t，t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).分别求s(t)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))和eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上的平均速度．
解 物体在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上的平均速度为
eq \x\t(v)1＝eq \f(st2－st1,t2－t1)＝eq \f(s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))－s0,\f(π,4)－0)＝eq \f(\f(\r(2),2)－0,\f(π,4))＝eq \f(2\r(2),π).
物体在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上的平均速度为
eq \x\t(v)2＝eq \f(s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))－s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4))),\f(π,2)－\f(π,4))＝eq \f(1－\f(\r(2),2),\f(π,4))＝eq \f(4－2\r(2),π).
二、瞬时变化率
问题2 物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2，试求物体在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度．当Δt趋近于0时，问题1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？
提示 Δs＝5(1＋Δt)2－5＝10Δt＋5(Δt)2，eq \x\t(v)＝eq \f(Δs,Δt)＝10＋5Δt.当Δt趋近于0时，eq \f(Δs,Δt)趋近于10，这时的平均速度即为当t＝1时的瞬时速度．
知识梳理
瞬时变化率
对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则该函数的平均变化率为eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx1－fx0,x1－x0)＝eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).如果当Δx趋于0时，平均变化率就趋于某个值，那么这个值就是f(x)在点x0的瞬时变化率．它刻画函数在某一点处变化的快慢．
注意点：
(1)平均变化率与瞬时变化率的关系
①区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；
②联系：当Δx趋于0时，平均变化率eq \f(Δy,Δx)趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值．
(2)“Δx趋于0”的含义
Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx－0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx≠0.
例2 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度．
解 ∵eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(s1＋Δt－s1,Δt)
＝eq \f(1＋Δt2＋1＋Δt＋1－12＋1＋1,Δt)＝3＋Δt，
当Δt趋于0时，eq \f(Δs,Δt)趋于3，
即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
延伸探究
1．若本例中的条件不变，试求物体的初速度．
解 求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度，
∵eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(s0＋Δt－s0,Δt)＝eq \f(0＋Δt2＋0＋Δt＋1－1,Δt)
＝1＋Δt，
当Δt趋于0时，eq \f(Δs,Δt)趋于1，
即物体的初速度为1 m/s.
2．若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.
解 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.
又eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(st0＋Δt－st0,Δt)＝(2t0＋1)＋Δt.
当Δt趋于0时，eq \f(Δs,Δt)趋于2t0＋1，
则2t0＋1＝9，∴t0＝4.
则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
反思感悟 求函数f(x)在点x＝x0处的瞬时变化率的步骤
(1)求Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)计算eq \f(Δy,Δx)，并化简，直到当Δx＝0时有意义为止；
(3)将Δx＝0代入化简后的eq \f(Δy,Δx)即得瞬时变化率．
跟踪训练2 求函数y＝f(x)＝3x2＋x在点x＝1处的瞬时变化率．
解 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝3(1＋Δx)2＋(1＋Δx)－(3＋1)
＝7Δx＋3(Δx)2.
∴eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(7Δx＋3Δx2,Δx)＝7＋3Δx.
∴当Δx趋于0时，eq \f(Δy,Δx)＝7＋3Δx趋于7＋3×0＝7.
∴函数y＝3x2＋x在点x＝1处的瞬时变化率为7.
1.知识清单：
(1)平均变化率．
(2)瞬时变化率．
2．方法归纳：极限法．
3．常见误区：对函数的平均变化率、瞬时变化率理解不到位．
1．在求解平均变化率时，自变量的变化量Δx应满足( )
A．Δx>0 B．Δx<0
C．Δx≠0 D．Δx可为任意实数
答案 C
解析 因平均变化率为eq \f(Δy,Δx)，故Δx≠0.
2．一质点按运动方程s(t)＝eq \f(1,t)作直线运动，则其从t1＝1到t2＝2的平均速度为( )
A．－1 B．－eq \f(1,2) C．－2 D．2
答案 B
解析 eq \x\t(v)＝eq \f(s2－s1,2－1)＝eq \f(1,2)－1＝－eq \f(1,2).
3．函数f(x)＝8x－6在区间[m，n]上的平均变化率为______．
答案 8
解析 平均变化率为eq \f(fn－fm,n－m)＝eq \f(8n－6－8m－6,n－m)＝8.
4．一质点运动规律是s＝t2＋3(s的单位为m，t的单位为s)，则在t＝1 s时的瞬时速度估计是________ m/s.
答案 2
解析 Δs＝s(1＋Δt)－s(1)＝(1＋Δt)2＋3－(12＋3)＝2Δt＋(Δt)2，∴eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(2Δt＋Δt2,Δt)＝2＋Δt，当Δt趋于0时，eq \f(Δs,Δt)趋于2.
课时对点练
1．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
答案 B
解析 eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f3－f1,3－1)＝eq \f(1－3,2)＝－1.
2．在x＝1附近，取Δx＝0.3，下列四个函数中，平均变化率最大的是( )
A．y＝x B．y＝x2 C．y＝x3 D．y＝eq \f(1,x)
答案 C
解析 根据平均变化率的定义可求得四个函数的平均变化率依次为1,2.3,3.99，－eq \f(10,13).
3．某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋eq \f(3,t)(t的单位是秒，s的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为( )
A.eq \f(123,16)米/秒 B.eq \f(125,16)米/秒
C．8米/秒 D.eq \f(67,4)米/秒
答案 B
解析 因为eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(4＋Δt2＋\f(3,4＋Δt)－16－\f(3,4),Δt)
＝eq \f(Δt2＋8Δt＋\f(－3Δt,44＋Δt),Δt)
＝Δt＋8－eq \f(3,16＋4Δt).
当Δt趋于0时，eq \f(Δs,Δt)趋于eq \f(125,16)，
所以它在4秒末的瞬时速度为eq \f(125,16)米/秒．
4．一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为( )
A．2 B．1 C．－1 D．6
答案 B
解析 由已知，得eq \f(s3－s2,3－2)＝26，
所以(5×32＋3m)－(5×22＋2m)＝26，
解得m＝1.
5．函数y＝f(x)＝x2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为k1，在区间[x0－Δx，x0]上的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为( )
A．k1＞k2 B．k1＜k2
C．k1＝k2 D．不确定
答案 A
解析 k1＝eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq \f(x0＋Δx2－x\\al(2,0),Δx)＝2x0＋Δx，
k2＝eq \f(fx0－fx0－Δx,Δx)＝eq \f(x\\al(2,0)－x0－Δx2,Δx)＝2x0－Δx.
由题意知Δx>0，∴k1>k2.
6．(多选)已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则( )
A．该物体在1≤t≤3时的平均速度是28
B．该物体在t＝4时的瞬时速度是56
C．该物体位移的最大值为43
D．该物体在t＝5时的瞬时速度是70
答案 ABD
解析 该物体在1≤t≤3时的平均速度是
eq \f(s3－s1,3－1)＝eq \f(71－15,2)＝28，A正确；
物体在t＝4时的瞬时速度是56，故B正确；
物体的最大位移是7×52＋8＝183，C错误；
物体在t＝5时的瞬时速度是70，故D正确．
7.一水库的蓄水量与时间关系的图象如图所示，则蓄水效果最好的时间段(以两个月计)为________；蓄水效果最差的时间段(以两个月计)为________．
答案 6月至8月 8月至10月
解析 由图象可以看出，6月至8月水库的蓄水量增长最快，蓄水效果最好；8月至10月水库的蓄水量减少最快，蓄水效果最差．
8．在自行车比赛中，运动员的位移s与比赛时间t存在函数关系s＝10t＋5t2(s单位：m，t单位：s)，则t＝20 s时的瞬时速度为________．
答案 210 m/s
解析 eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(10t＋Δt＋5t＋Δt2－10t－5t2,Δt)＝10＋10t＋5Δt.
当Δt趋于0时，v趋于10＋10t，则在t＝20 s时的瞬时速度为10×20＋10＝210(m/s)．
9．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系式为T(t)＝eq \f(120,t＋5)＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)．
(1)从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温下降了多少？
(2)从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温下降的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
解 (1)T(10)－T(0)＝eq \f(120,10＋5)＋15－eq \f(120,0＋5)－15＝－16 ℃，
所以蜥蜴的体温下降了16 ℃.
(2)平均变化率是－1.6 ℃/min，它表示从t＝0 min到t＝10 min这段时间内，蜥蜴体温平均每分钟下降1.6 ℃.
10．某物体按照s(t)＝3t2＋2t＋4(s的单位：m)的规律做直线运动，求自运动开始到4 s时物体运动的平均速度和4 s时的瞬时速度．
解 自运动开始到t s时，物体运动的平均速度
eq \x\t(v)(t)＝eq \f(st,t)＝3t＋2＋eq \f(4,t)，
故前4 s物体的平均速度为eq \x\t(v)(4)＝3×4＋2＋eq \f(4,4)＝15 m/s.
由于Δs＝3(t＋Δt)2＋2(t＋Δt)＋4－(3t2＋2t＋4)
＝(2＋6t)Δt＋3(Δt)2.
eq \f(Δs,Δt)＝2＋6t＋3·Δt，
当t＝4，Δt趋于0时，eq \f(Δs,Δt)趋于2＋6×4＝26，
所以4 s时物体运动的瞬时速度为26 m/s.
11.物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是( )
A．在0到t0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
C．在t0到t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在t0到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
答案 C
解析 在0到t0范围内，甲、乙所走的路程相同，时间一样，所以平均速度相同，在t0到t1范围内，时间相同，而甲走的路程较大，所以甲的平均速度较大．
12．若小球自由落体的运动方程为s(t)＝eq \f(1,2)gt2(g为重力加速度)，该小球在t＝1到t＝3时的平均速度为eq \x\t(v)，在t＝2时的瞬时速度为v2，则eq \x\t(v)和v2的大小关系为( )
A.eq \x\t(v)>v2 B.eq \x\t(v)C.eq \x\t(v)＝v2 D．不能确定
答案 C
解析 平均速度为eq \x\t(v)＝eq \f(s3－s1,3－1)＝eq \f(\f(1,2)g32－12,2)＝2g.
eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(s2＋Δt－s2,Δt)＝eq \f(\f(1,2)gΔt2＋2gΔt,Δt)
＝eq \f(1,2)gΔt＋2g，
∵当Δt趋于0时，eq \f(Δs,Δt)趋于2g，
∴v2＝2g，∴eq \x\t(v)＝v2.
13．若一物体运动方程如下：s＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3t2＋1，0≤t<3，,2＋3t－32，t≥3，))则此物体在t＝1和t＝3时的瞬时速度分别为________，________.
答案 6 0
解析 ∵0≤t<3时，s＝3t2＋1，
∴当t＝1时，eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(s1＋Δt－s1,Δt)＝eq \f(6Δt＋3Δt2,Δt)＝6＋3Δt.
当Δt趋于0时，eq \f(Δs,Δt)趋于6，故物体在t＝1时的瞬时速度为6.
∵t≥3时，s＝2＋3(t－3)2，
∴当t＝3时，eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(2＋33＋Δt－32－2－33－32,Δt)＝3Δt.
当Δt趋于0时，eq \f(Δs,Δt)趋于0，故物体在t＝3时的瞬时速度为0.
14．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为eq \f(28π,3)，则m的值为________．
答案 2
解析 体积的增加量ΔV＝eq \f(4π,3)m3－eq \f(4π,3)＝eq \f(4π,3)(m3－1)，
所以eq \f(ΔV,ΔR)＝eq \f(\f(4π,3)m3－1,m－1)＝eq \f(28π,3)，
所以m2＋m＋1＝7，所以m＝2或m＝－3(舍)．
15.如图所示为一圆锥形容器，底面圆的直径等于圆锥母线长，水以每分钟9.3升的速度注入容器内，则注入水的高度在t＝eq \f(1,27)分钟时的瞬时变化率为________分米/分钟．(注：π≈3.1)
答案 9
解析 由题意知，圆锥轴截面为等边三角形，设经过t分钟后水面高度为h，则水面的半径为eq \f(\r(3),3)h，t分钟时，容器内水的体积为9.3t，
因为9.3t＝eq \f(1,3)πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)h))2·h，所以h3＝27t，所以h＝3eq \r(3,t).
因为eq \f(Δh,Δt)＝eq \f(3\r(3,\f(1,27)＋Δt)－3\r(3,\f(1,27)),Δt)
＝eq \f(3Δt,Δt\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,27)＋Δt))2)＋\f(1,3)\r(3,\f(1,27)＋Δt)＋\f(1,9))))
＝eq \f(3,\r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,27)＋Δt))2)＋\f(1,3)\r(3,\f(1,27)＋Δt)＋\f(1,9))，
所以当Δt趋于0时，eq \f(Δh,Δt)趋于9，即h(t)在t＝eq \f(1,27)分钟时的瞬时变化率为9.
16．已知气球的表面积S(单位：cm2)与半径r(单位：cm)之间的函数关系是S(r)＝4πr2.
求：(1)气球表面积S由10 cm2膨胀到20 cm2时的平均膨胀率即气球膨胀过程中半径的增量与表面积增量的比值；
(2)气球表面积S由30 cm2膨胀到40 cm2时的平均膨胀率．
解 由S(r)＝4πr2，r>0，
把r表示成表面积S的函数：r(S)＝eq \f(1,2π)eq \r(πS).
(1)当S由10 cm2膨胀到20 cm2时，气球表面积的增量ΔS＝20－10＝10(cm2)，
气球半径的增量Δr＝r(20)－r(10)＝eq \f(1,2π)(eq \r(20π)－eq \r(10π))≈0.37(cm)．
所以气球的平均膨胀率为eq \f(Δr,ΔS)≈eq \f(0.37,10)＝0.037.
(2)当S由30 cm2膨胀到40 cm2时，气球半径的增量
Δr＝eq \f(1,2π)(eq \r(40π)－eq \r(30π))≈0.239(cm)．
所以气球的平均膨胀率为eq \f(Δr,ΔS)≈eq \f(0.239,10)＝0.023 9.
x/min
0
10
20
30
40
50
60
y/℃
39
38.7
38.5
38
37.6
37.3
36.9
定义
对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它在区间[x1，x2]的平均变化率＝eq \f(fx2－fx1,x2－x1)
实质
函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量(Δy＝f(x2)－f(x1))与自变量的改变量(Δx＝x2－x1)的比值，即eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx2－fx1,x2－x1)
作用
刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢