数学九年级下册2. 直线和圆的位置关系教案

直线和圆的位置关系

教学目标

(一)教学知识点

1．理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系．

2．了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系．

(二)能力训练要求

1．经历探索直线与圆位置关系的过程，培养学生的探索能力．

2．通过观察得出“圆心到直线的距离d和半径r的数量关系”与“直线和圆的位置关系”的对应与等价，从而实现位置关系与数量关系的相互转化．

(三)情感与价值观要求

通过探索直线与圆的位置关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．

在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．

教学重点

经历探索直线与圆位置关系的过程．

理解直线与圆的三种位置关系．

了解切线的概念以及切线的性质．

教学难点

经历探索直线与圆的位置关系的过程，归纳总结出直线与圆的三种位置关系．

探索圆的切线的性质．

教学方法

教师指导学生探索法．

教具准备

投影片三张

第一张：(记作§3．5．1A)

第二张：(记作§3．5．1B)

第三张：(记作§3．5．1C)

教学过程

Ⅰ．创设问题情境，引入新课

[师]我们在前面学过点和圆的位置关系，请大家回忆它们的位置关系有哪些？

[生]圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．即圆上的点到圆心的距离等于半径；圆的内部到圆心的距离小于半径；圆的外部到圆心的距离大于半径．因此点和圆的位置关系有三种，即点在圆上、点在圆内和点在圆外．也可以把点与圆心的距离和半径作比较，若距离大于半径在圆外，等于半径在圆上，小于半径在圆内．

[师]本节课我们将类比地学习直线和圆的位置关系．

Ⅱ．新课讲解

1．复习点到直线的距离的定义

[生]从已知点向已知直线作垂线，已知点与垂足之间的线段的长度叫做这个点到这条直线的距离．

如下图，C为直线AB外一点，从C向AB引垂线，D为垂足，则线段CD即为点C到直线AB的距离．

2．探索直线与圆的三种位置关系

[师]直线和圆的位置关系，我们在现实生活中随处可见，只要大家注意观察，这样的例子是很多的．如大家请看课本113页，观察图中的三幅照片，地平线和太阳的位置关系怎样？作一个圆，把直尺的边缘看成一条直线，固定圆，平移直尺，直线和圆有几种位置关系？

[生]把太阳看作圆，地平线看作直线，则直线和圆有三种位置关系；把直尺的边缘看成一条直线，则直线和圆有三种位置关系．

[师]从上面的举例中，大家能否得出结论，直线和圆的位置关系有几种呢？

[生]有三种位置关系：

[师]直线和圆有三种位置关系，如下图：

它们分别是相交、相切、相离．

当直线与圆相切时(即直线和圆有唯一公共点)，这条直线叫做圆的切线(tangent line)．

当直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．

当直线与圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．

因此，从直线与圆有公共点的个数可以断定是哪一种位置关系，你能总结吗？

[生]当直线与圆有唯一公共点时，这时直线与圆相切；

当直线与圆有两个公共点时，这时直线与圆相交；

当直线与圆没有公共点时，这时直线与圆相离．

[师]能否根据点和圆的位置关系，点到圆心的距离d和半径r作比较，类似地推导出如何用点到直线的距离d和半径r之间的关系来确定三种位置关系呢？

[生]如上图中，圆心O到直线l的距离为d，圆的半径为r，当直线与圆相交时，d＜r；当直线与圆相切时，d＝r；当直线与圆相离时，d＞r，因此可以用d与r间的大小关系断定直线与圆的位置关系．

[师]由此可知：判断直线与圆的位置关系有两种方法．一种是从直线与圆的公共点的个数来断定；一种是用d与r的大小关系来断定．

投影片(§3．5．1A)

投影片(§3．5．1B)

分析：根据d与r间的数量关系可知：

d＝r时，相切；d＜r时，相交；d＞r时，相离．

解：(1)如上图，过点C作AB的垂线段CD．

∵AC＝4cm，AB＝8cm；

∴cosA＝，

∴∠A＝60°．

∴CD＝ACsinA＝4sin60°＝2(cm)．

因此，当半径长为2cm时，AB与⊙C相切．

(2)由(1)可知，圆心C到AB的距离d＝2cm，所以，当r＝2cm时，d＞r，⊙C与AB相离；

当r＝4cm时，d＜r，⊙C与AB相交．

3．议一议(投影片§3．5．1C)

对于(3)，小颖和小亮都认为直径AB垂直于CD．你同意他们的观点吗？

[师]请大家发表自己的想法．

[生](1)把一只筷子放在碗上，把碗看作圆，筷子看作直线，这时直线与圆相交；

自行车的轮胎在地面上滚动，车轮为圆，地平线为直线，这时直线与圆相切；

杂技团中骑自行车走钢丝中的自行车车轮为圆，地平线为直线，这时直线与圆相离．

(2)图(1)中的三个图形是轴对称图形．因为沿着d所在的直线折叠，直线两旁的部分都能完全重合．对称轴是d所在的直线，即过圆心O且与直线l垂直的直线．

(3)所谓两条直线的位置关系，即为相交或平行，相交又分垂直和斜交，直线CD与⊙O相切于点A，直径AB与直线CD垂直，因为图(2)是轴对称图形，AB是对称轴，所以沿AB对折图形时，AC与AD重合，因此∠BAC＝∠BAD＝90°．

[师]因为直线CD与⊙O相切于点A，直径AB与直线CD垂直，直线CD是⊙O的切线，因此有圆的切线垂直于过切点的直径．

这是圆的切线的性质，下面我们来证明这个结论．

在图(2)中，AB与CD要么垂直，要么不垂直．假设AB与CD不垂直，过点O作一条直径垂直于CD、垂足为M，则OM＜OA，即圆心O到直线CD的距离小于⊙O的半径，因此CD与⊙O相交，这与已知条件“直线CD与⊙O相切”相矛盾，所以AB与CD垂直．

这种证明方法叫反证法，反证法的步骤为第一步假设结论不成立；第二步是由结论不成立推出和已知条件或定理相矛盾．第三步是肯定假设错误，故结论成立．

Ⅲ．课堂练习

随堂练习

Ⅳ．课时小结

本节课学习了如下内容：

1．直线与圆的三种位置关系．

(1)从公共点数来判断．

(2)从d与r间的数量关系来判断．

2．圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．

3．例题讲解．

Ⅴ．课后作业

习题3．7

Ⅵ．活动与探究

如下图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向300千米的B处，并以每小时10千米的速度向北偏东60°的BF方向移动，距台风中心200千米的范围是受台风影响的区域．

(1)A城是否会受到这次台风的影响？为什么？

(2)若A城受到这次台风的影响，试计算A城遭受这次台风影响的时间有多长？

分析：因为台风影响的范围可以看成以台风中心为圆心，半径为200千米的圆，A城能否受到影响，即比较A到直线BF的距离d与半径200千米的大小．若d＞200，则无影响，若d≤200，则有影响．

解：(1)过A作AC⊥BF于C．

在Rt△ABC中，∵∠CBA＝30°，BA＝300，

∴AC＝ABsin30°＝300×＝150(千米)．

∵AC＜200，∴A城受到这次台风的影响．

(2)设BF上D、E两点到A的距离为200千米，则台风中心在线段DE上时，对A城均有影响，而在DE以外时，对A城没有影响．

∵AC＝150，AD＝AE＝200，

∴DC＝．

∴DE＝2DC＝100．

∴t＝＝10(小时)．

答：A城受影响的时间为10小时．

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