数学人教A版 (2019)1.5 全称量词与存在量词练习题

1.5　全称量词与存在量词

1.5.1　全称量词与存在量词

基础过关练

题组一　全称量词命题与存在量词命题

1.将“x2+y2≥2xy”改写成全称量词命题,下列说法正确的是 (　　)

A.对任意x,y∈R,都有x2+y2≥2xy        B.存在x,y∈R,使x2+y2≥2xy

C.对任意x>0,y>0,都有x2+y2≥2xy       D.存在x<0,y<0,使x2+y2≥2xy　　　　　　 　　　　　 　　　　　

2.(2021浙江温州苍南高一上检测)下列命题中,存在量词命题的个数是 (　　)

①有些自然数是偶数;②正方形是菱形;③能被6整除的数也能被3整除;④对于任意x∈R,总有≤1.

A.0            B.1          C.2            D.3

3.(多选)下列命题是“∃x∈R,x2>3”的表述方法的有 (　　)

A.有一个x∈R,使得x2>3成立            B.对有些x∈R,x2>3成立

C.任选一个x∈R,都有x2>3成立          D.至少有一个x∈R,使得x2>3成立

4.命题“有些负数满足(1+x)(1-9x)>0”用“∃”或“∀”可表述为　　　　　　　　　　. 

5.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.

(1)任何一个实数除以1,仍等于这个数;(2)∀x∈R,(x+1)2≥0;(3)∃x∈R,x2<2.

题组二　全称量词命题与存在量词命题的真假判断

6.(2020山东师范大学附属中学高一10月阶段性检测)下列命题中,既是全称量词命题又是真命题的是              (　　)

A.至少有一个x∈Z,使得x2<3成立          B.对任意a,b∈R,都有a2+b2≥2(a+b-1)

C.∃x∈R,=x                           D.菱形的两条对角线长度相等

7.(多选)(2021广东中山一中高一上段考)下列命题中,是真命题的是 (　　)

A.空集是任何一个非空集合的真子集             B.∀x∈R,4x2>2x-1+3x2

C.∃x∈{-2,-1,0,1,2},|x-2|<2                  D.∀a,b∈R,方程ax+b=0恰有一解

8.(2020北京海淀一模)已知a<b,则下列结论正确的是 (　　)

A.∀c<0,a>b+c   B.∀c<0,a<b+c    C.∃c>0,a>b+c    D.∀c>0,a<b+c

9.设语句q(x):|x-1|=1-x.

(1)写出q(1),q(2),并判断它们是不是真命题;

(2)写出“∀a∈R,q(a)”,并判断它是不是真命题;

(3)写出“∃a∈R,q(a)”,并判断它是不是真命题.

题组三　全称量词命题与存在量词命题的应用

10.(2021湖南长沙长郡中学高一上适应性检测)已知∀x∈{x|1≤x<3},都有m>x,则m的取值范围为              (　　)

A.m≥3 B.m>3 C.m>1 D.m≥1

11.(2021江苏扬州邗江高一上期中)已知命题p:∃x0>0,x0+t-1=0,若p为真命题,则实数t的取值范围是              (　　)

A.{t|t>1} B.{t|t<1} C.{t|t≥1} D.{t|t≤1}

12.(2021湖北荆州沙市中学高一上月考)若命题“∀x∈{x|0<2x-3<5},一次函数y=3x-a的图象都在x轴下方”为真命题,则实数a的取值范围是　　　　. 

13.(2020辽宁沈阳高一上期末)设p:∀x∈R,x2+x+a≥0.若p是真命题,则实数a的取值范围是　　　　. 

答案全解全析

基础过关练

1.A　“任意”为全称量词,选项A正确.

2.B　命题①中含有存在量词“有些”,是存在量词命题;命题②中全称量词省略,可以叙述为“所有的正方形都是菱形”,是全称量词命题;命题③中全称量词省略,可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”,是全称量词命题;命题④中有全称量词“任意”,是全称量词命题.故有1个存在量词命题.

3.ABD　C选项是全称量词命题,A,B,D选项符合题意,故选ABD.

4.答案　∃x<0,使得(1+x)(1-9x)>0

解析　“有些”为存在量词,因此可用存在量词命题来表述.

5.解析　(1)命题中含有全称量词“任何一个”,故是全称量词命题.

(2)命题中含有全称量词“∀”,故是全称量词命题.

(3)命题中含有存在量词“∃”,故是存在量词命题.

6.B　选项A,C为存在量词命题,选项B,D为全称量词命题.菱形的对角线长度不一定相等,D选项为假命题.a2-2a+b2-2b+2=(a-1)2+(b-1)2≥0,所以a2+b2≥2(a+b-1),所以选项B为真命题.故选B.

7.AC　对于选项A,利用空集和真子集的关系可以判断A正确;

对于选项B,将4x2>2x-1+3x2整理,得x2-2x+1=(x-1)2>0,又x∈R,所以(x-1)2≥0,故选项B错误;

对于选项C,当x=1时,|x-2|=|1-2|<2,故选项C正确;

对于选项D,当a=0,b=0时,方程ax+b=0有无数多解,故选项D错误.

故选AC.

8.D　对于选项A,当a=1,b=3,c=-1时,不成立,故A中结论错误;对于选项B,当a=1,b=3,c=-3时,不成立,故B中结论错误;对于选项C,当a<b,c>0时,a<b+c恒成立,故C中结论错误,D中结论正确.故选D.

9.解析　(1)q(1):|1-1|=1-1,真命题.

q(2):|2-1|=1-2,因为|2-1|=1,1-2=-1,所以|2-1|≠1-2,假命题.

(2)∀a∈R,|a-1|=1-a,由(1)知,q(2)为假命题,所以“∀a∈R,|a-1|=1-a”为假命题.

(3)∃a∈R,|a-1|=1-a,由(1)知,q(1)为真命题,所以“∃a∈R,|a-1|=1-a”为真命题.

10.A　∵∀x∈{x|1≤x<3},都有x<3,

∴要使m>x成立,只需m≥3.

故选A.

11.B　命题p:∃x0>0,x0+t-1=0,即∃x0>0,x0=1-t,∵p为真命题,∴1-t>0,解得t<1,∴实数t的取值范围是{t|t<1}.

故选B.

12.答案　a≥12

解析　集合{x|0<2x-3<5}=,若“∀x∈{x|0<2x-3<5},一次函数y=3x-a的图象都在x轴下方”为真命题,则当<x<4时,y=3x-a<0恒成立,

∴3×4-a≤0,即a≥12,

∴实数a的取值范围是a≥12.

13.答案　

解析　∵∀x∈R,x2+x+a≥0,∴Δ=12-4a≤0,∴a≥,∴a的取值范围为.