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初中数学人教版八年级上册12.1 全等三角形授课课件ppt
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这是一份初中数学人教版八年级上册12.1 全等三角形授课课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了A′B′AB，B′C′BC，A′C′AC，△ECD，ABEC，BCCD，ACED，∠ABC∠ECD，∠ACB∠EDC，∠A∠E等内容，欢迎下载使用。
课前预习1.已知△ABC≌△DEF,∠A=45°,∠B=65°,DF=12 cm,则∠F= ,AC= .2.如下图，△A′B′C′是由△ABC绕点B旋转某一角度得到的，则试写出△A′B′C′和△ABC中对应相等的边有 、 、 .
3.如下图所示，△ABC≌△CDA，并且AB=CD，下列结论中错误的是（ ） A.∠1=∠2 B.AC=CA C.∠D=∠B D.AC=BC 4.若△ABC≌△DEF,且AB=8 cm ,BC=6 cm,AC= 7 cm，那么DF的长为 （ ） A.8 cm B.6 cm C.7 cm D.5 cm
课堂精讲知识点1.全等形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形．全等形关注的是两个图形的形状和大小，而不是图形所在的位置．看两个图形是否为全等形，只要把它们叠合在一起，看是否能够完全重合即可.【例1】下列四个图形中，全等的图形是（ ） A．①和② B．①和③ C．②和③ D．③和④解析:根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．③和④可以完全重合，因此全等的图形是③和④．答案：D
变式拓展1. 下面是5个全等的正六边形 A、B、C、D、E ，请你仔细观察 A、B、C、D 四个图案，其中与 E 图案完全相同的是 .
知识点2 全等三角形的概念和表示方法(1)能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．(2)全等三角形是特殊的全等形，全等三角形关注的是两个三角形的形状和大小是否完全一样，叠合在一起是否重合，与它们的位置没有关系．把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．（3)“全等”用 表示，读作“全等于”，记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
【例2】 如右图.已知△ABC≌△ADE，写出其对应顶点、对应边、对应角.解析：找对应元素，有一简便方法：先结合图形判断已知条件中的“△ABC≌△ADE”是否按照对应顶点的字母顺序写的，如果确认顺序正确，则可以按照以下顺序： ≌ 写出它们的对应边：AB与AD、BC和DE、AC与AE，类似地，可以写出它们的对应顶点、对应角.答案： 对应顶点有A与A、B、与D、C与E；对应边有AB与AD、BC与DE、AC与AE；对应角有∠ABC与∠ADE、∠ACB与∠AED、∠BAC与∠DAE.
变式拓展2.如下图所示，△ABC≌△BAD，且AC=BD.写出这两个三角形的其他对应边和对应角.
解：其他的对应边有AB=BA,BC=AD;其他的对应角有∠CAB=∠DBA,∠ABC=∠BAD,∠C=∠D.
知识点3 全等三角形的性质（1）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.（2）运用全等三角形的性质可以证明两条线段相等、两个角相等．在运用这个性质时，关键是要结合图形或根据表达式中字母的对应位置，准确地找到对应边或对应角，牢牢抓住“对应”二字.
【例3】 如下图，△EFG≌△NMH，在△EFG中，FG是最长边，在△NMH中，MH是最长边，∠F和∠M是对应角,EF=2.1 cm ,EH=1.1 cm ，HN=3.3 cm . (1)写出其他对应边及对应角；(2)求线段NM及线段HG的长度. 解析：(1)根据△EFG≌△NMH的对应关系写出其他对应边及对应角；(2)因为线段NM和线段EF是对应边.所以NM=EF=2.1 cm ，要求线段HG，可先求线段EG的长，而GE=HN=3.3 cm .解： (1)∵△EFG≌△NMH,∴最长边FG和MH是对应边，其他对应边是EF和NM、EG和NH；对应角是∠E和∠N、∠EGF和∠NHM.(2)由(1)知NM=EF=2.1 cm ,GE=HN=3.3 cm , ∴HG=GE-EH=3.3-1.1=2.2( cm ).
变式拓展3. 如下图，△ABC沿直线BC向右平移线段BC长的距离后与△ECD重合，则△ABC≌ ，相等的边有 、 、 ，相等的角有 、 、 .
随堂检测1.下列图形是全等形的是( )2.已知△ABC≌△DEF，A与D，B与E，C与F分别为对应顶点，若AB=7cm，BC=5cm，AC=8cm，则EF=（ ）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
3.如图，△ACB≌△DCE，∠BCE=30°，则∠ACD的度数为（ ） A．20° B．30° C．35° D．40°
4．如图，△ABC与△BAD全等，可表示为 ，∠C与∠D是对应角，AC与BD是对应边，其余的对应角是 ，其余的对应边是 .5.如图：△ABE≌△ACD，AB=10cm，∠A=60°，∠B=30°，则AD= cm，∠ADC= ．
∠CBA和∠DAB、∠CAB和∠DBA
AB和BA、CB和DA
12.2 三角形全等的判定12.2.1 三角形全等的判定——SSS
课前预习1. 已知△ABC与△DEF,AB=DE,AC=DF,BC=EF,那么这两个三角形的关系为△ABC △DEF. 2. 如右图，已知AB=CD,AD=CB,则△ABC≌△CDA的根据是 .
3. 在下图中，若点D为BC的中点，若判定△ABD≌△ACD需添加条件 （边），理由是 .
4. 如下图，在△ABC中，AB=AC，BE=CE，则由“ SSS ”可以判定 （ ） A. △ABD≌△ACD B. △BDE≌△CDE C. △ABE≌△ACE D. 以上都不对
课堂精讲知识点 三角形全等的条件——边边边（SSS）及其应用(1)判定：三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”.①运用此法证两个三角形全等，应设法确定这两个三角形的三条边分别相等．同时这个判定也告诉我们：当三角形的三边确定后，其形状、大小也随之确定．②书写格式：在列举两个三角形全等的条件时，应把三个条件按顺序排列（一般是把同一个三角形的三个条件放在等号的同一侧），并用大括号将其括起来：③有些题目可以直接从已知中找出全等的条件，而有些题目的已知条件是隐含在题设或图形之中的，如公共边、公共角、对顶角等，解题时一定要认真读图，准确地把握题意，找准所需条件．（2）“SSS”的应用：证明两个三角形中的角相等或线平行等，常通过证明两个三角形全等来解决.
课堂精讲【例1】如图，在△ABC和△EFD中，AB=EF，AC=ED，点B，D，C，F在一条直线上．（1）请你添加一个条件，由“SSS”可判定△ABC≌△EFD．（2）在（1）的基础上，求证：AB∥EF．解析：（1）根据条件可以得出由“SSS”可判定△ABC≌△EFD，就需要三组对边分别相等，而条件告诉了两组，只需要FD=BC或FC=BD．就可以得出结论；（2）由△ABC≌△EFD就可以得出∠B=∠F，进而得出AB∥EF．
解：（1）当FC=BD时，△ABC≌△EFD，理由：∵FC=BD，∴FC+CD=BD+CD，即BC=DF．在△ABC和△EFD中，∴△ABC≌△EFD（SSS）．（2）∵△ABC≌△EFD，∴∠B=∠F，∴AB∥EF．
【例2】 如右图，△ABC是一个风筝架，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架.求证：AD⊥BC.解析：要证AD⊥BC，根据垂直定义，需证∠1=∠2,而∠1=∠2可由△ABD≌△ACD求得，证明： ∵D是BC的中点，∴BD=CD.在△ABD和△ACD中， AB=AC， BD=CD， AD=AD，∴△ABD≌△ACD( SSS ).∴∠1=∠2（全等三角形的对应角相等）.∵∠1+∠2=180°(平角的定义)，∴∠1=∠2=90°.∴AD⊥BC（垂直的定义）.
课堂精讲知识点 三角形全等的条件——边边边（SSS）及其应用变式拓展1. 如下图，AB=CD，若添加条件 ，则可根据“边边边”公理证得△ABC≌△CDA.
2. 如下图，四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC.求证：∠A=∠C.
证明：在△ABD和△CDB中，∵AB=CD， AD=CB， BD=DB，∴△ABD≌△CDB(SSS),∴∠A=∠C（全等三角形的对应角相等）.
随堂检测1．如图，在△ACE和△BDF中，AE=BF，CE=DF，要利用“SSS”证明 时，需增加的一个条件可以是( ) A.AB=BC B.DC=BC C.AB=CD D.AC=BC
2.如图，已知AB=DC，若要用“SSS”判定△ABC≌△DCB，应添加条件是 ．3．如图，AE=DF，CE=BF，AB=CD，得 = ，从而根据 ，得△ACE≌△DBF.
4．已知，如图，AB=CD，AC=BD，则△ABC≌ ， △ABC≌ .
5.如图，AB=DF，AC=DE，BE=FC，问：△ABC与△DFE全等吗？请说明你的理由．
解：△ABC与△DFE全等．理由如下：∵BE=FC（已知），∴BE+EC=FC+EC，即BC=FE．在△ABC和△DFE中，∵ ∴△ABC≌△DFE（SSS）．
12.2.2 三角形全等的判定——SAS
课前预习1. 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，用字母表示简写成 . 2. 如右图，只要 ，则△ABC≌△ADC. ( ) A. AB=AD,∠B=∠D B. AB=AD,∠ACB=∠ACD C. BC=DC,∠BAC=∠DAC D. AB=AD,∠BAC=∠DAC
3. 如下图，AB与CD相交于点O，AO=CO，只需添加一个条件 .就可用三角形全等的条件“边角边”证明△AOD≌△COB.
课堂精讲知识点 三角形全等的条件——“边角边”（SAS） 及其应用（1）判定：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”.①此方法包含“边”和“角”两种元素，必须是两边夹一角才行，而不是两边及一边对角分别相等，一定要注意元素的“对应”关系.②书写格式：
③此方法是证明两个三角形全等最常用的方法之一，易和“边边角”(“SSA”)相混淆，误将“SAS”的条件写成“SSA”来证明两个三角形全等．在应用时，一定要按“边一角一边”的顺序排列条件，不能出现“边一边一角”的错误，因为“边边角”不能保证两个三角形全等.如图所示，在△ABC和△ABD中，AB =AB，AC=AD，∠B=∠B，但△ABC与△ABD不全等．（2）“ SAS ”的应用：证明分别属于两个三角形中的角相等或线段相等等问题，常用到证明两个三角形全等来解决.
【例1】在△ABC和△DEF中，下列给出的条件，能用“SAS”判定这两个三角形全等的是（ ）A．AB=DE，BC=DF，∠A=∠DB．AB=EF，AC=DF，∠A=∠DC．AB=BC，DE=EF，∠B=∠ED．BC=EF，AC=DF，∠C=∠F解析：根据选项中所给的条件结合SAS定理分别进行分析，可选出答案．只有BC=EF，AC=DF，∠C=∠F可以利用SAS证明△ABC和△DEF全等.答案：D
【例2】 已知，如下图，AB=AC，AD=AE. 求证：∠B=∠C. 解析：利用 SAS 证明两个三角形全等，∠A是公共角. 证明： 在△ABE和△ACD中，AB=AC，∠A=∠A，AE=AD.∴△ABE≌△ACD(SAS).∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）.
变式拓展1. 如下图，在△ABC和△DEF中，已知AB=DE，BC=EF，根据“ SAS ”判定△ABC≌△DEF，还需的条件是 （ ） A. ∠A=∠D B. ∠B=∠E C. ∠C=∠F D. 以上三个均可以
2. 如下图，AE=AC，AB=AD，∠EAB=∠CAD.求证：∠B=∠D.
证明：∵∠EAB=∠CAD,∴∠EAB+∠BAD=∠CAD+∠BAD,即∠EAD=∠CAB.在△ABC和△ADE中，AB=AD（已知），∠CAB=∠EAD（已证），AC=AE（已知），∴△ABC≌△ADE（SAS）∴∠B=∠D（全等三角形的对应角相等）.
随堂检测1．在△ADF和△BCE中，若AD=BC，∠A=∠B，能直接利用“SAS”证明△ADF≌△BCE的条件是( ) A.AE=BF B.DF=CE C.AF=BE D. ∠CEB=∠DFA2．如图，AB=AD，AC=AE，∠BAC= ∠DAE，下列结论错误的是( ) A.∠B=∠D B.∠C=∠E C. BC=DE D.BC=AE
3．如图，在△ABC和△DEF中，AB∥DE可以推出 ∠ =∠ ，加上条件AB=DE和 ，可得到△ABC≌△DEF,根据是 .
4．如图，CD= CA，∠1=∠2，EC=BC，求证：DE=AB．
证明：∵∠1=∠2，∴∠2+∠ECA=∠1+∠ECA,即∠ECD=∠BCA．在△ECD和△BCA中，∴△ECD≌△BCA（SAS）∴DE=AB.
5.已知：如图，AE=CF，AD∥BC，AD=CB．问：△ADF与△CBE全等吗？请说明理由．
证明：全等.∵AD∥BC，∴∠A=∠C.在△ADF和△CBE中，∵ ∴△ADF≌△CBE．
12.2.3 三角形全等的判定——ASA或AAS
课前预习1.已知AB=A′B′，∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，则△ABC≌△ A ′ B ′ C ′的根据是（ ） A.SAS B.SSA C.ASA D.AAS2.根据下列已知条件，能判定△ABC≌△ A ′ B ′ C ′的是（ ） A. AB=A′B′ ，AC=A′C′，∠C=∠C ′ B. ∠A=∠A ′，∠B=∠C ′，AB=A′B′ C.△ABC的周长等于△ A ′ B ′ C ′的周长 D. ∠A=∠A ′，∠C=∠C ′，AC=A′C′
3.下图中两个三角形全等的理由是 .4.如下图，已知AB∥CD，∠ABC=∠CDA，则由“AAS”直接判定△ ≌△ .
课堂精讲知识点1.三角形全等的条件——“角边角”（ASA）及 其应用（1）判定：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”.（2）用“ASA”来判定两个三角形全等，一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边分别相等，证明时要加强对夹边的认识．（3）书写格式：如图所示，在△ABC和△A′B′C′中，
注意：在书写两个三角形全等的条件时，一般把夹边相等写在中间，以突出边角的位置关系．（4）“ ASA ”的应用：在证明两个三角形中的角相等或线段相等常通过三角形全等来解决.
【例1】如图，点A、D、C、E在同一条直线上，AB∥EF，AB=EF，∠B=∠F，AE=10，AC=7，则CD的长为（ ）A．5.5 B．4 C．4.5 D．3解析：先证明△ABC≌△EFD，得出AC=ED=7，再求出AD=AE﹣ED=3，即可得出CD=AC﹣AD=4.解：∵AB∥EF，∴∠A=∠E，
在△ABC和△EFD中， ∴△ABC≌△EFD（ASA），∴AC=ED=7，∴AD=AE﹣ED=10﹣7=3，∴CD=AC﹣AD=7﹣3=4．答案：B
变式拓展1. 如下图，O是AB的中点，∠A=∠B，△AOC与△BOD全等吗？为什么？
解：全等.∵在△AOC与△BOD中，∠A=∠B（已知）,OA=OB（线段中点的定义）,∠AOC=∠BOD（对顶角相等）,∴△AOC≌△BOD（ASA）.
课堂精讲知识点2.三角形全等的条件——“角角边”（AAS）及 其应用（1）判定：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”.①这一结论很容易由“ASA”推得，将这一结论与“ASA”结合起来，即可得出：两个三角形如果具备两角和一条边对应相等，就可判定其全等．②书写格式：如图所示，在△ABC和△A′B′C′中，
注意：(1)“有两角和一边分别相等的两个三角形全等”这句话正确吗？不一定正确，这是因为：假设这条边是两角的夹边，则根据角边角可知正确；假设一个三角形的一边是两角的夹边，而与另一个三角形相等的边是其中一等角的对边，则两个三角形不一定全等．(2)有三个角对应相等的两个三角形不一定全等，如图所示，DE// BC，则∠ADE= ∠B，∠AED=∠C，∠A =∠A，但△ADE和△ABC不全等．（2）“ AAS ”的应用：证明角相等或线段相等可用三角形全等来解决问题.
【例2】 已知：如下图，△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高. 求证：AD=A′D′. 解析：已知△ABC≌△A′B′C′，相当于已知它们的对应边相等，对应角相等，在证明过程中，可根据需要，选取其中的一部分相等关系.
证明：∵△ABC≌△A′B′C′, ∴AB=A′B′,∠B=∠B′（全等三角形的对应边、对应角相等）. ∵AD、A′D′分别是△ABC、△A′B′C′的高（已知）， ∴∠ADB=∠A′D′B′=90°. 在△ABD和△A′B′D′中， ∠B=∠B′, ∠ADB=∠A′D′B′, AB=A′B′, ∴△ABD≌△A′B′D′(AAS). ∴AD=A′D′（全等三角形的对应边相等）.
变式拓展2.如图所示，AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于点F，BE⊥AD，交AD的延长线于点E．求证：BE= CF.
证明：∵AD为△ABC的中线，∴BD= CD.∵BE⊥AD,CF⊥AD,∴∠BED=∠CFD= 90°．△BED≌△CFD(AAS)．∴BE=CF.
随堂检测1．下列判断中错误的是（ ）A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角 形全等D．有一边对应相等的两个等边三角形全等
2.如图，要量湖两岸相对两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，这时可得△ABC≌△EDC，用于判定全等的是（ ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
3．已知，如图，∠B=∠DEF,AB=DE,△ABC≌△DEF.(1)若以∠ACB=∠DFE得出△ABC≌△DEF，依据是 ；(2)若以BC=EF得出△ABC≌△DEF，依据是 ；(3)若以∠A=∠D得出△ABC≌△DEF，依据是 .
4.如图，△ABC中，D是边BC的中点，延长AD到点E，且CE∥AB，求证：△ABD≌△ECD.
证明：∵CE∥AB，∴∠B=∠ECD，∵D为BC中点，∴BD=DC，在△ADB和△EDC中，∴△ABD≌△ECD（ASA）．
5.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过点A作任一直线AN，BD⊥AN于D，CE⊥AN于E，证明：DE=BD-CE.
证明：∵BD⊥AN ,CE⊥AN,∴∠BDA=∠AEC=90°，∵∠BAD+∠EAC=90°，∠EAC+∠ACE= 90°，∴∠BAD=∠ACE. 在△ABD和△CAE中，∴BD=AE,AD=CE.∴DE=AE-AD=BD-CE.
12.2.4 三角形全等的判定——HL
课前预习1.如下图，点P是∠BAC内一点，且P到AB、AC的距离PE=PF，则△PEA≌△PFA的理由 （ ） A.HL B.AAS C.SSS D.ASA
2.如右图，△ABC与△EDF中∠B=∠D=90°,∠A=∠E,B、F、C、D在同一直线上，再添上下列条件，不能判断△ABC≌△EDF的是 （ ） A.AB=EDB.AC=EF C.AC∥EFD.BC=DF
3. 如下图，AE⊥BD于点C，AB=ED，AC=EC，求证：△ABC≌△EDC.
证明：∵AE⊥BD,∴∠ACB和∠ECD是直角.在Rt△ABC和Rt△EDC中，AB=ED，AC=EC，∴Rt△ABC≌Rt△EDC.
课堂精讲知识点 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角 形全等，可以简写成“斜边、直角边”或“HL”（1）“HL”定理是直角三角形所独有的，对于一般三角形不成立．（2）书写格式：如下图所示，在 和 中，
（3）判定一般三角形全等的所有方法对判定两个直角三角形全等全部适用，至此我们可以根据SSS，SAS，ASA，AAS和HL五种方法去判定两个直角三角形全等，在用一般方法证明时，因为两个直角三角形中已具备一对直角相等的条件，故只需找另外丽个条件即可，在实际证明中可根据条件灵活选用不同的方法．
【例1】 如下图，已知AB=AC，AE=AF，AE⊥EC，AF⊥BF，垂足分别是点E、F.求证：∠1=∠2. 解析：由 HL 可证 Rt △AEC≌ Rt △AFB.得∠BAF=∠CAE，都减去∠BAC，从而∠1=∠2. 证明： ∵AE⊥EC，AF⊥BF， ∴△AEC、△AFB为直角三角形. ∵AE=AF，AB=AC（已知）. ∴ Rt△AEC≌ Rt△AFB(HL).∴∠EAC=∠FAB. ∴∠EAC-∠BAC=∠FAB-∠BAC，即∠1=∠2.
【例2】 如下图所示，有两个长度相等的滑梯（即BC=EF)，左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE= . 解析： 由 HL 可得两个直角三角形全等，把要求的两角之和转化为一个直角三角形的两锐角之和. 解： 由现实意义及图形提示可知CA⊥BF，ED⊥BF，即∠BAC=∠EDF=90°.又因为BC=EF，AC=DF，可知 Rt △ABC≌ Rt △DEF，得∠DFE=∠ACB.因为∠ACB+∠ABC=90°,故∠ABC+∠DFE=90°. 答案： 90°
变式拓展1. 如下图，已知AC=BD,∠C=∠D=90°,求证：Rt△ABC≌Rt△BAD.
证明：∵∠C=∠D=90°,∴△ABC与△BAD都是直角三角形.在Rt△ABC与Rt△BAD中，∵AB=BA,AC=BD,∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).
2. 如右图，有一正方形窗架，盖房时为了稳定，在上面钉了两个等长的木条GF与GE，E，F分别是AD，BC的中点，可证得 Rt △AGE≌ ,理由是 ，于是G是 的中点.
随堂检测1．下列条件中，能使两个直角三角形全等的条件是 ( )A．两直角边对应相等 B.一锐角对应相等C．两锐角对应相等 D．斜边相等2．已知，如图，∠A=∠D=90°，BE=CF,AC=DE，则△ABC≌ .
3.如图，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．
证明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，∵∠A=∠D=90°，∴△ABF与△DCE都为直角三角形，在Rt△ABF和Rt△DCE中， ∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）．
4.如图，在△ABC中，AC=BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足．AE=CF，求证：∠ACB=90°．
证明：如图，在Rt△ACE和Rt△CBF中，∴Rt△ACE≌Rt△CBF（HL），∴∠EAC=∠BCF，∵∠EAC+∠ACE=90°，∴∠ACE+∠BCF=90°，∴∠ACB=180°﹣90°=90°．
课堂精讲知识点.判定两个三角形全等常用的思路和方法
【例1】如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）A．BD=CD B．AB=AC C．∠B=∠C D．∠BAD=∠CAD解析：利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案．A.∵∠1=∠2，AD为公共边，若BD=CD，则△ABD≌△ACD（SAS）；B.∵∠1=∠2，AD为公共边，若AB=AC，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；C.∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）；D.∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠BAD=∠CAD，则△ABD≌△ACD（ASA）.答案：B
【例3】在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，CF=AE，BC=DA．求证：Rt△ABE≌Rt△CDF．解析：根据全等三角形的判定定理HL证得Rt△ADC≌Rt△CBA，在该全等三角形的对应边相等：DC=BA，然后再由HL来证得Rt△ABE≌Rt△CDF．证明：如图，在Rt△ADC与Rt△CBA中，
∴Rt△ADC≌Rt△CBA（HL），∴DC=BA．又∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，∴∠AEB=∠CFD=90°，在Rt△ABE与Rt△CDF中，∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）．
变式拓展1.如图，已知AD⊥BC，若用HL判定△ABD≌△ACD，只需添加的一个条件是 ．
2.（2015南宁模拟）如图，AB，CD相交于点O，AB=CD，（1）请你添加一个条件使得△AOB≌△COD．（2）证明你的结论．
解：（1）添加条件：∠A=∠C；（2）证明：在△AOB和△COD中，∵ ∴△AOB≌△COD（AAS）．
3.（2015晋江市一模）如图，AB∥CD，AB=CD，点E、F在AD上，且AE=DF．求证：△ABE≌△DCF．
证明：∵AB∥CD，∴∠A=∠D，在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF（SAS）．
随堂检测1.如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的条件是（ ） A．∠B=∠C，BD=DCB．∠ADB=∠ADC，BD=DCC．∠B=∠C，∠BAD=∠CADD．BD=DC，AB=AC
2.如图，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，BE=CD，则△ ≌△ ，理由是 ．
3.已知：如图，点E、C、D、A在同一条直线上，AB∥DF，ED=AB，∠E=∠CPD．求证：△ABC≌△DEF．
证明：∵AB∥DF，∴∠B=∠CPD，∠A=∠FDE，∵∠E=∠CPD．∴∠E=∠B，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（ASA）．
4.如图，A、B、C、D四点在同一条直线上，AB=CD，EC=DF，EC∥DF．求证：△ACE≌BDF．
证明：∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD．又∵EC∥DF，∴∠ACE=∠BDF．在△ACE与△BDF中，∴△ACE≌△BDF（SAS）．
5.如图所示，已知AC=BD，∠CAB=∠DBA．求证：（1）△CAB≌△DBA；（2）△CAO≌△DBO．
证明：（1）在△CAB和△DBA中，∴△CAB≌△DBA（SAS）；（2）由（1）可知△CAB≌△DBA，∴∠C=∠D，在△CAO和△DBO中，∴△CAO≌△DBO（AAS）．
12.3 角的平分线的性质
课前预习1. 在用尺规作图得一个角的平分线时，是用下列哪种方法证明三角形全等的 （ ） A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS2. 如下图，AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB,PF⊥AC，则PE= .
3. 如下图,已知AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm ，则点D到AC的距离是 （ ） A. 2 cm B. 3 cm C. 4 cm D. 6 cm
4.如下图，PD⊥AB，PE⊥AC,且PD=PE，连接AP,则∠BAP ∠CAP.
课堂精讲知识点1.画角的平分线的方法作已知角的平分线的方法有很多，主要有折叠法和尺规作图法，尺规作图法是常用的方法．尺规作图法的步骤归纳如下： （1）以点O为圆心，OA为半径画孤，交OB于B. （2）分别以点A，点B为圆心，以AB，BA为半径作孤，两孤相交于点D. （3）则射线OD为所求.
【例1】 利用尺规平分如下图的钝角∠AOB，并写出作图步骤. 解： 作法:(1)以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. (2)分别以D、E为圆心，大于 DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C. (3)射线OC即为所求（如下图）.
变式拓展1. 如下图，先作∠α的邻补角，再画该邻补角的平分线.
知识点2.角的平分线的性质（1）内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．（2）书写格式：如图所示，∵OM是∠AOB的平分线，C是OM上一点，CE⊥OA于点E，CF⊥OB于点F，∴CE= CF.
（3）运用角平分线的性质时应注意以下3个问题：①这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直
变式拓展2.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，若BC=10，AD平分∠BAC，交BC于点D，且BD:CD=2:3，则D点到线段AC的距离为（ ） A.4 B.6 C.8 D.10
知识点3.角平分线的判定（1）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.（2）书写格式：如图所示，∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，且PE=PF，∴点P在∠AOB的平分线上．
【例3】 如下图，已知BM、CN是△ABC的两条角平分线，且相交于点P.求证：P点也在∠BAC的平分线上. 解析： 要证P点在∠BAC的平分线上，即证P点到AB、AC距离相等.从已知可知：P在BM上，∴P到AB、BC两边的距离相等，P又在CN上，∴P到AC、BC两边的距离相等，从而由等量代换可得证.
证明： 过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足分别为D、E、F. ∵BM是∠ABC的平分线，点P在BM上，PD⊥AB，PE⊥BC， ∴PD=PE（角平分线上的点到角的两边距离相等）， 同理PE=PF，∴PD=PF. ∴P点在∠BAC的平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.
变式拓展3.已知，如下图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，试证明点P在∠AOB的平分线上.
证明：经过点P作射线OC.∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO.在Rt△PDO和Rt△PEO中，OP=OP，PD=PE，∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL),∴∠AOC=∠BOC,∴OC是∠AOB的平分线，即P点在∠AOB的平分线上.
随堂检测1．到三角形三边距离相等的点是（ ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．不能确定2.（2015萝岗区一模）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，若AB=4，且点D到BC的距离为3，则BD= ．
3.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°．请在线段BC上作一点D，使点D到边AC、AB的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
4.如图，点P为∠ABC和∠MAC的平分线的交点．求证：点P在∠ACN的平分线上．
证明： 过P作PE⊥BM于E，PF⊥AC于F，PG⊥BN于G，∵P为∠ABC和∠MAC的平分线的交点，∴PE=PF，PE=PG，∴PF=PG，∴点P在∠ACN的平分线上
课前预习1.已知△ABC≌△DEF,∠A=45°,∠B=65°,DF=12 cm,则∠F= ,AC= .2.如下图，△A′B′C′是由△ABC绕点B旋转某一角度得到的，则试写出△A′B′C′和△ABC中对应相等的边有 、 、 .
3.如下图所示，△ABC≌△CDA，并且AB=CD，下列结论中错误的是（ ） A.∠1=∠2 B.AC=CA C.∠D=∠B D.AC=BC 4.若△ABC≌△DEF,且AB=8 cm ,BC=6 cm,AC= 7 cm，那么DF的长为 （ ） A.8 cm B.6 cm C.7 cm D.5 cm
课堂精讲知识点1.全等形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形．全等形关注的是两个图形的形状和大小，而不是图形所在的位置．看两个图形是否为全等形，只要把它们叠合在一起，看是否能够完全重合即可.【例1】下列四个图形中，全等的图形是（ ） A．①和② B．①和③ C．②和③ D．③和④解析:根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．③和④可以完全重合，因此全等的图形是③和④．答案：D
变式拓展1. 下面是5个全等的正六边形 A、B、C、D、E ，请你仔细观察 A、B、C、D 四个图案，其中与 E 图案完全相同的是 .
知识点2 全等三角形的概念和表示方法(1)能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．(2)全等三角形是特殊的全等形，全等三角形关注的是两个三角形的形状和大小是否完全一样，叠合在一起是否重合，与它们的位置没有关系．把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．（3)“全等”用 表示，读作“全等于”，记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
【例2】 如右图.已知△ABC≌△ADE，写出其对应顶点、对应边、对应角.解析：找对应元素，有一简便方法：先结合图形判断已知条件中的“△ABC≌△ADE”是否按照对应顶点的字母顺序写的，如果确认顺序正确，则可以按照以下顺序： ≌ 写出它们的对应边：AB与AD、BC和DE、AC与AE，类似地，可以写出它们的对应顶点、对应角.答案： 对应顶点有A与A、B、与D、C与E；对应边有AB与AD、BC与DE、AC与AE；对应角有∠ABC与∠ADE、∠ACB与∠AED、∠BAC与∠DAE.
变式拓展2.如下图所示，△ABC≌△BAD，且AC=BD.写出这两个三角形的其他对应边和对应角.
解：其他的对应边有AB=BA,BC=AD;其他的对应角有∠CAB=∠DBA,∠ABC=∠BAD,∠C=∠D.
知识点3 全等三角形的性质（1）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.（2）运用全等三角形的性质可以证明两条线段相等、两个角相等．在运用这个性质时，关键是要结合图形或根据表达式中字母的对应位置，准确地找到对应边或对应角，牢牢抓住“对应”二字.
【例3】 如下图，△EFG≌△NMH，在△EFG中，FG是最长边，在△NMH中，MH是最长边，∠F和∠M是对应角,EF=2.1 cm ,EH=1.1 cm ，HN=3.3 cm . (1)写出其他对应边及对应角；(2)求线段NM及线段HG的长度. 解析：(1)根据△EFG≌△NMH的对应关系写出其他对应边及对应角；(2)因为线段NM和线段EF是对应边.所以NM=EF=2.1 cm ，要求线段HG，可先求线段EG的长，而GE=HN=3.3 cm .解： (1)∵△EFG≌△NMH,∴最长边FG和MH是对应边，其他对应边是EF和NM、EG和NH；对应角是∠E和∠N、∠EGF和∠NHM.(2)由(1)知NM=EF=2.1 cm ,GE=HN=3.3 cm , ∴HG=GE-EH=3.3-1.1=2.2( cm ).
变式拓展3. 如下图，△ABC沿直线BC向右平移线段BC长的距离后与△ECD重合，则△ABC≌ ，相等的边有 、 、 ，相等的角有 、 、 .
随堂检测1.下列图形是全等形的是( )2.已知△ABC≌△DEF，A与D，B与E，C与F分别为对应顶点，若AB=7cm，BC=5cm，AC=8cm，则EF=（ ）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
3.如图，△ACB≌△DCE，∠BCE=30°，则∠ACD的度数为（ ） A．20° B．30° C．35° D．40°
4．如图，△ABC与△BAD全等，可表示为 ，∠C与∠D是对应角，AC与BD是对应边，其余的对应角是 ，其余的对应边是 .5.如图：△ABE≌△ACD，AB=10cm，∠A=60°，∠B=30°，则AD= cm，∠ADC= ．
∠CBA和∠DAB、∠CAB和∠DBA
AB和BA、CB和DA
12.2 三角形全等的判定12.2.1 三角形全等的判定——SSS
课前预习1. 已知△ABC与△DEF,AB=DE,AC=DF,BC=EF,那么这两个三角形的关系为△ABC △DEF. 2. 如右图，已知AB=CD,AD=CB,则△ABC≌△CDA的根据是 .
3. 在下图中，若点D为BC的中点，若判定△ABD≌△ACD需添加条件 （边），理由是 .
4. 如下图，在△ABC中，AB=AC，BE=CE，则由“ SSS ”可以判定 （ ） A. △ABD≌△ACD B. △BDE≌△CDE C. △ABE≌△ACE D. 以上都不对
课堂精讲知识点 三角形全等的条件——边边边（SSS）及其应用(1)判定：三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”.①运用此法证两个三角形全等，应设法确定这两个三角形的三条边分别相等．同时这个判定也告诉我们：当三角形的三边确定后，其形状、大小也随之确定．②书写格式：在列举两个三角形全等的条件时，应把三个条件按顺序排列（一般是把同一个三角形的三个条件放在等号的同一侧），并用大括号将其括起来：③有些题目可以直接从已知中找出全等的条件，而有些题目的已知条件是隐含在题设或图形之中的，如公共边、公共角、对顶角等，解题时一定要认真读图，准确地把握题意，找准所需条件．（2）“SSS”的应用：证明两个三角形中的角相等或线平行等，常通过证明两个三角形全等来解决.
课堂精讲【例1】如图，在△ABC和△EFD中，AB=EF，AC=ED，点B，D，C，F在一条直线上．（1）请你添加一个条件，由“SSS”可判定△ABC≌△EFD．（2）在（1）的基础上，求证：AB∥EF．解析：（1）根据条件可以得出由“SSS”可判定△ABC≌△EFD，就需要三组对边分别相等，而条件告诉了两组，只需要FD=BC或FC=BD．就可以得出结论；（2）由△ABC≌△EFD就可以得出∠B=∠F，进而得出AB∥EF．
解：（1）当FC=BD时，△ABC≌△EFD，理由：∵FC=BD，∴FC+CD=BD+CD，即BC=DF．在△ABC和△EFD中，∴△ABC≌△EFD（SSS）．（2）∵△ABC≌△EFD，∴∠B=∠F，∴AB∥EF．
【例2】 如右图，△ABC是一个风筝架，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架.求证：AD⊥BC.解析：要证AD⊥BC，根据垂直定义，需证∠1=∠2,而∠1=∠2可由△ABD≌△ACD求得，证明： ∵D是BC的中点，∴BD=CD.在△ABD和△ACD中， AB=AC， BD=CD， AD=AD，∴△ABD≌△ACD( SSS ).∴∠1=∠2（全等三角形的对应角相等）.∵∠1+∠2=180°(平角的定义)，∴∠1=∠2=90°.∴AD⊥BC（垂直的定义）.
课堂精讲知识点 三角形全等的条件——边边边（SSS）及其应用变式拓展1. 如下图，AB=CD，若添加条件 ，则可根据“边边边”公理证得△ABC≌△CDA.
2. 如下图，四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC.求证：∠A=∠C.
证明：在△ABD和△CDB中，∵AB=CD， AD=CB， BD=DB，∴△ABD≌△CDB(SSS),∴∠A=∠C（全等三角形的对应角相等）.
随堂检测1．如图，在△ACE和△BDF中，AE=BF，CE=DF，要利用“SSS”证明 时，需增加的一个条件可以是( ) A.AB=BC B.DC=BC C.AB=CD D.AC=BC
2.如图，已知AB=DC，若要用“SSS”判定△ABC≌△DCB，应添加条件是 ．3．如图，AE=DF，CE=BF，AB=CD，得 = ，从而根据 ，得△ACE≌△DBF.
4．已知，如图，AB=CD，AC=BD，则△ABC≌ ， △ABC≌ .
5.如图，AB=DF，AC=DE，BE=FC，问：△ABC与△DFE全等吗？请说明你的理由．
解：△ABC与△DFE全等．理由如下：∵BE=FC（已知），∴BE+EC=FC+EC，即BC=FE．在△ABC和△DFE中，∵ ∴△ABC≌△DFE（SSS）．
12.2.2 三角形全等的判定——SAS
课前预习1. 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，用字母表示简写成 . 2. 如右图，只要 ，则△ABC≌△ADC. ( ) A. AB=AD,∠B=∠D B. AB=AD,∠ACB=∠ACD C. BC=DC,∠BAC=∠DAC D. AB=AD,∠BAC=∠DAC
3. 如下图，AB与CD相交于点O，AO=CO，只需添加一个条件 .就可用三角形全等的条件“边角边”证明△AOD≌△COB.
课堂精讲知识点 三角形全等的条件——“边角边”（SAS） 及其应用（1）判定：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”.①此方法包含“边”和“角”两种元素，必须是两边夹一角才行，而不是两边及一边对角分别相等，一定要注意元素的“对应”关系.②书写格式：
③此方法是证明两个三角形全等最常用的方法之一，易和“边边角”(“SSA”)相混淆，误将“SAS”的条件写成“SSA”来证明两个三角形全等．在应用时，一定要按“边一角一边”的顺序排列条件，不能出现“边一边一角”的错误，因为“边边角”不能保证两个三角形全等.如图所示，在△ABC和△ABD中，AB =AB，AC=AD，∠B=∠B，但△ABC与△ABD不全等．（2）“ SAS ”的应用：证明分别属于两个三角形中的角相等或线段相等等问题，常用到证明两个三角形全等来解决.
【例1】在△ABC和△DEF中，下列给出的条件，能用“SAS”判定这两个三角形全等的是（ ）A．AB=DE，BC=DF，∠A=∠DB．AB=EF，AC=DF，∠A=∠DC．AB=BC，DE=EF，∠B=∠ED．BC=EF，AC=DF，∠C=∠F解析：根据选项中所给的条件结合SAS定理分别进行分析，可选出答案．只有BC=EF，AC=DF，∠C=∠F可以利用SAS证明△ABC和△DEF全等.答案：D
【例2】 已知，如下图，AB=AC，AD=AE. 求证：∠B=∠C. 解析：利用 SAS 证明两个三角形全等，∠A是公共角. 证明： 在△ABE和△ACD中，AB=AC，∠A=∠A，AE=AD.∴△ABE≌△ACD(SAS).∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）.
变式拓展1. 如下图，在△ABC和△DEF中，已知AB=DE，BC=EF，根据“ SAS ”判定△ABC≌△DEF，还需的条件是 （ ） A. ∠A=∠D B. ∠B=∠E C. ∠C=∠F D. 以上三个均可以
2. 如下图，AE=AC，AB=AD，∠EAB=∠CAD.求证：∠B=∠D.
证明：∵∠EAB=∠CAD,∴∠EAB+∠BAD=∠CAD+∠BAD,即∠EAD=∠CAB.在△ABC和△ADE中，AB=AD（已知），∠CAB=∠EAD（已证），AC=AE（已知），∴△ABC≌△ADE（SAS）∴∠B=∠D（全等三角形的对应角相等）.
随堂检测1．在△ADF和△BCE中，若AD=BC，∠A=∠B，能直接利用“SAS”证明△ADF≌△BCE的条件是( ) A.AE=BF B.DF=CE C.AF=BE D. ∠CEB=∠DFA2．如图，AB=AD，AC=AE，∠BAC= ∠DAE，下列结论错误的是( ) A.∠B=∠D B.∠C=∠E C. BC=DE D.BC=AE
3．如图，在△ABC和△DEF中，AB∥DE可以推出 ∠ =∠ ，加上条件AB=DE和 ，可得到△ABC≌△DEF,根据是 .
4．如图，CD= CA，∠1=∠2，EC=BC，求证：DE=AB．
证明：∵∠1=∠2，∴∠2+∠ECA=∠1+∠ECA,即∠ECD=∠BCA．在△ECD和△BCA中，∴△ECD≌△BCA（SAS）∴DE=AB.
5.已知：如图，AE=CF，AD∥BC，AD=CB．问：△ADF与△CBE全等吗？请说明理由．
证明：全等.∵AD∥BC，∴∠A=∠C.在△ADF和△CBE中，∵ ∴△ADF≌△CBE．
12.2.3 三角形全等的判定——ASA或AAS
课前预习1.已知AB=A′B′，∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，则△ABC≌△ A ′ B ′ C ′的根据是（ ） A.SAS B.SSA C.ASA D.AAS2.根据下列已知条件，能判定△ABC≌△ A ′ B ′ C ′的是（ ） A. AB=A′B′ ，AC=A′C′，∠C=∠C ′ B. ∠A=∠A ′，∠B=∠C ′，AB=A′B′ C.△ABC的周长等于△ A ′ B ′ C ′的周长 D. ∠A=∠A ′，∠C=∠C ′，AC=A′C′
3.下图中两个三角形全等的理由是 .4.如下图，已知AB∥CD，∠ABC=∠CDA，则由“AAS”直接判定△ ≌△ .
课堂精讲知识点1.三角形全等的条件——“角边角”（ASA）及 其应用（1）判定：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”.（2）用“ASA”来判定两个三角形全等，一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边分别相等，证明时要加强对夹边的认识．（3）书写格式：如图所示，在△ABC和△A′B′C′中，
注意：在书写两个三角形全等的条件时，一般把夹边相等写在中间，以突出边角的位置关系．（4）“ ASA ”的应用：在证明两个三角形中的角相等或线段相等常通过三角形全等来解决.
【例1】如图，点A、D、C、E在同一条直线上，AB∥EF，AB=EF，∠B=∠F，AE=10，AC=7，则CD的长为（ ）A．5.5 B．4 C．4.5 D．3解析：先证明△ABC≌△EFD，得出AC=ED=7，再求出AD=AE﹣ED=3，即可得出CD=AC﹣AD=4.解：∵AB∥EF，∴∠A=∠E，
在△ABC和△EFD中， ∴△ABC≌△EFD（ASA），∴AC=ED=7，∴AD=AE﹣ED=10﹣7=3，∴CD=AC﹣AD=7﹣3=4．答案：B
变式拓展1. 如下图，O是AB的中点，∠A=∠B，△AOC与△BOD全等吗？为什么？
解：全等.∵在△AOC与△BOD中，∠A=∠B（已知）,OA=OB（线段中点的定义）,∠AOC=∠BOD（对顶角相等）,∴△AOC≌△BOD（ASA）.
课堂精讲知识点2.三角形全等的条件——“角角边”（AAS）及 其应用（1）判定：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”.①这一结论很容易由“ASA”推得，将这一结论与“ASA”结合起来，即可得出：两个三角形如果具备两角和一条边对应相等，就可判定其全等．②书写格式：如图所示，在△ABC和△A′B′C′中，
注意：(1)“有两角和一边分别相等的两个三角形全等”这句话正确吗？不一定正确，这是因为：假设这条边是两角的夹边，则根据角边角可知正确；假设一个三角形的一边是两角的夹边，而与另一个三角形相等的边是其中一等角的对边，则两个三角形不一定全等．(2)有三个角对应相等的两个三角形不一定全等，如图所示，DE// BC，则∠ADE= ∠B，∠AED=∠C，∠A =∠A，但△ADE和△ABC不全等．（2）“ AAS ”的应用：证明角相等或线段相等可用三角形全等来解决问题.
【例2】 已知：如下图，△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高. 求证：AD=A′D′. 解析：已知△ABC≌△A′B′C′，相当于已知它们的对应边相等，对应角相等，在证明过程中，可根据需要，选取其中的一部分相等关系.
证明：∵△ABC≌△A′B′C′, ∴AB=A′B′,∠B=∠B′（全等三角形的对应边、对应角相等）. ∵AD、A′D′分别是△ABC、△A′B′C′的高（已知）， ∴∠ADB=∠A′D′B′=90°. 在△ABD和△A′B′D′中， ∠B=∠B′, ∠ADB=∠A′D′B′, AB=A′B′, ∴△ABD≌△A′B′D′(AAS). ∴AD=A′D′（全等三角形的对应边相等）.
变式拓展2.如图所示，AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于点F，BE⊥AD，交AD的延长线于点E．求证：BE= CF.
证明：∵AD为△ABC的中线，∴BD= CD.∵BE⊥AD,CF⊥AD,∴∠BED=∠CFD= 90°．△BED≌△CFD(AAS)．∴BE=CF.
随堂检测1．下列判断中错误的是（ ）A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角 形全等D．有一边对应相等的两个等边三角形全等
2.如图，要量湖两岸相对两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，这时可得△ABC≌△EDC，用于判定全等的是（ ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
3．已知，如图，∠B=∠DEF,AB=DE,△ABC≌△DEF.(1)若以∠ACB=∠DFE得出△ABC≌△DEF，依据是 ；(2)若以BC=EF得出△ABC≌△DEF，依据是 ；(3)若以∠A=∠D得出△ABC≌△DEF，依据是 .
4.如图，△ABC中，D是边BC的中点，延长AD到点E，且CE∥AB，求证：△ABD≌△ECD.
证明：∵CE∥AB，∴∠B=∠ECD，∵D为BC中点，∴BD=DC，在△ADB和△EDC中，∴△ABD≌△ECD（ASA）．
5.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过点A作任一直线AN，BD⊥AN于D，CE⊥AN于E，证明：DE=BD-CE.
证明：∵BD⊥AN ,CE⊥AN,∴∠BDA=∠AEC=90°，∵∠BAD+∠EAC=90°，∠EAC+∠ACE= 90°，∴∠BAD=∠ACE. 在△ABD和△CAE中，∴BD=AE,AD=CE.∴DE=AE-AD=BD-CE.
12.2.4 三角形全等的判定——HL
课前预习1.如下图，点P是∠BAC内一点，且P到AB、AC的距离PE=PF，则△PEA≌△PFA的理由 （ ） A.HL B.AAS C.SSS D.ASA
2.如右图，△ABC与△EDF中∠B=∠D=90°,∠A=∠E,B、F、C、D在同一直线上，再添上下列条件，不能判断△ABC≌△EDF的是 （ ） A.AB=EDB.AC=EF C.AC∥EFD.BC=DF
3. 如下图，AE⊥BD于点C，AB=ED，AC=EC，求证：△ABC≌△EDC.
证明：∵AE⊥BD,∴∠ACB和∠ECD是直角.在Rt△ABC和Rt△EDC中，AB=ED，AC=EC，∴Rt△ABC≌Rt△EDC.
课堂精讲知识点 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角 形全等，可以简写成“斜边、直角边”或“HL”（1）“HL”定理是直角三角形所独有的，对于一般三角形不成立．（2）书写格式：如下图所示，在 和 中，
（3）判定一般三角形全等的所有方法对判定两个直角三角形全等全部适用，至此我们可以根据SSS，SAS，ASA，AAS和HL五种方法去判定两个直角三角形全等，在用一般方法证明时，因为两个直角三角形中已具备一对直角相等的条件，故只需找另外丽个条件即可，在实际证明中可根据条件灵活选用不同的方法．
【例1】 如下图，已知AB=AC，AE=AF，AE⊥EC，AF⊥BF，垂足分别是点E、F.求证：∠1=∠2. 解析：由 HL 可证 Rt △AEC≌ Rt △AFB.得∠BAF=∠CAE，都减去∠BAC，从而∠1=∠2. 证明： ∵AE⊥EC，AF⊥BF， ∴△AEC、△AFB为直角三角形. ∵AE=AF，AB=AC（已知）. ∴ Rt△AEC≌ Rt△AFB(HL).∴∠EAC=∠FAB. ∴∠EAC-∠BAC=∠FAB-∠BAC，即∠1=∠2.
【例2】 如下图所示，有两个长度相等的滑梯（即BC=EF)，左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE= . 解析： 由 HL 可得两个直角三角形全等，把要求的两角之和转化为一个直角三角形的两锐角之和. 解： 由现实意义及图形提示可知CA⊥BF，ED⊥BF，即∠BAC=∠EDF=90°.又因为BC=EF，AC=DF，可知 Rt △ABC≌ Rt △DEF，得∠DFE=∠ACB.因为∠ACB+∠ABC=90°,故∠ABC+∠DFE=90°. 答案： 90°
变式拓展1. 如下图，已知AC=BD,∠C=∠D=90°,求证：Rt△ABC≌Rt△BAD.
证明：∵∠C=∠D=90°,∴△ABC与△BAD都是直角三角形.在Rt△ABC与Rt△BAD中，∵AB=BA,AC=BD,∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).
2. 如右图，有一正方形窗架，盖房时为了稳定，在上面钉了两个等长的木条GF与GE，E，F分别是AD，BC的中点，可证得 Rt △AGE≌ ,理由是 ，于是G是 的中点.
随堂检测1．下列条件中，能使两个直角三角形全等的条件是 ( )A．两直角边对应相等 B.一锐角对应相等C．两锐角对应相等 D．斜边相等2．已知，如图，∠A=∠D=90°，BE=CF,AC=DE，则△ABC≌ .
3.如图，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．
证明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，∵∠A=∠D=90°，∴△ABF与△DCE都为直角三角形，在Rt△ABF和Rt△DCE中， ∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）．
4.如图，在△ABC中，AC=BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足．AE=CF，求证：∠ACB=90°．
证明：如图，在Rt△ACE和Rt△CBF中，∴Rt△ACE≌Rt△CBF（HL），∴∠EAC=∠BCF，∵∠EAC+∠ACE=90°，∴∠ACE+∠BCF=90°，∴∠ACB=180°﹣90°=90°．
课堂精讲知识点.判定两个三角形全等常用的思路和方法
【例1】如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）A．BD=CD B．AB=AC C．∠B=∠C D．∠BAD=∠CAD解析：利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案．A.∵∠1=∠2，AD为公共边，若BD=CD，则△ABD≌△ACD（SAS）；B.∵∠1=∠2，AD为公共边，若AB=AC，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；C.∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）；D.∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠BAD=∠CAD，则△ABD≌△ACD（ASA）.答案：B
【例3】在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，CF=AE，BC=DA．求证：Rt△ABE≌Rt△CDF．解析：根据全等三角形的判定定理HL证得Rt△ADC≌Rt△CBA，在该全等三角形的对应边相等：DC=BA，然后再由HL来证得Rt△ABE≌Rt△CDF．证明：如图，在Rt△ADC与Rt△CBA中，
∴Rt△ADC≌Rt△CBA（HL），∴DC=BA．又∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，∴∠AEB=∠CFD=90°，在Rt△ABE与Rt△CDF中，∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）．
变式拓展1.如图，已知AD⊥BC，若用HL判定△ABD≌△ACD，只需添加的一个条件是 ．
2.（2015南宁模拟）如图，AB，CD相交于点O，AB=CD，（1）请你添加一个条件使得△AOB≌△COD．（2）证明你的结论．
解：（1）添加条件：∠A=∠C；（2）证明：在△AOB和△COD中，∵ ∴△AOB≌△COD（AAS）．
3.（2015晋江市一模）如图，AB∥CD，AB=CD，点E、F在AD上，且AE=DF．求证：△ABE≌△DCF．
证明：∵AB∥CD，∴∠A=∠D，在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF（SAS）．
随堂检测1.如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的条件是（ ） A．∠B=∠C，BD=DCB．∠ADB=∠ADC，BD=DCC．∠B=∠C，∠BAD=∠CADD．BD=DC，AB=AC
2.如图，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，BE=CD，则△ ≌△ ，理由是 ．
3.已知：如图，点E、C、D、A在同一条直线上，AB∥DF，ED=AB，∠E=∠CPD．求证：△ABC≌△DEF．
证明：∵AB∥DF，∴∠B=∠CPD，∠A=∠FDE，∵∠E=∠CPD．∴∠E=∠B，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（ASA）．
4.如图，A、B、C、D四点在同一条直线上，AB=CD，EC=DF，EC∥DF．求证：△ACE≌BDF．
证明：∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD．又∵EC∥DF，∴∠ACE=∠BDF．在△ACE与△BDF中，∴△ACE≌△BDF（SAS）．
5.如图所示，已知AC=BD，∠CAB=∠DBA．求证：（1）△CAB≌△DBA；（2）△CAO≌△DBO．
证明：（1）在△CAB和△DBA中，∴△CAB≌△DBA（SAS）；（2）由（1）可知△CAB≌△DBA，∴∠C=∠D，在△CAO和△DBO中，∴△CAO≌△DBO（AAS）．
12.3 角的平分线的性质
课前预习1. 在用尺规作图得一个角的平分线时，是用下列哪种方法证明三角形全等的 （ ） A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS2. 如下图，AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB,PF⊥AC，则PE= .
3. 如下图,已知AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm ，则点D到AC的距离是 （ ） A. 2 cm B. 3 cm C. 4 cm D. 6 cm
4.如下图，PD⊥AB，PE⊥AC,且PD=PE，连接AP,则∠BAP ∠CAP.
课堂精讲知识点1.画角的平分线的方法作已知角的平分线的方法有很多，主要有折叠法和尺规作图法，尺规作图法是常用的方法．尺规作图法的步骤归纳如下： （1）以点O为圆心，OA为半径画孤，交OB于B. （2）分别以点A，点B为圆心，以AB，BA为半径作孤，两孤相交于点D. （3）则射线OD为所求.
【例1】 利用尺规平分如下图的钝角∠AOB，并写出作图步骤. 解： 作法:(1)以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. (2)分别以D、E为圆心，大于 DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C. (3)射线OC即为所求（如下图）.
变式拓展1. 如下图，先作∠α的邻补角，再画该邻补角的平分线.
知识点2.角的平分线的性质（1）内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．（2）书写格式：如图所示，∵OM是∠AOB的平分线，C是OM上一点，CE⊥OA于点E，CF⊥OB于点F，∴CE= CF.
（3）运用角平分线的性质时应注意以下3个问题：①这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直
变式拓展2.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，若BC=10，AD平分∠BAC，交BC于点D，且BD:CD=2:3，则D点到线段AC的距离为（ ） A.4 B.6 C.8 D.10
知识点3.角平分线的判定（1）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.（2）书写格式：如图所示，∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，且PE=PF，∴点P在∠AOB的平分线上．
【例3】 如下图，已知BM、CN是△ABC的两条角平分线，且相交于点P.求证：P点也在∠BAC的平分线上. 解析： 要证P点在∠BAC的平分线上，即证P点到AB、AC距离相等.从已知可知：P在BM上，∴P到AB、BC两边的距离相等，P又在CN上，∴P到AC、BC两边的距离相等，从而由等量代换可得证.
证明： 过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足分别为D、E、F. ∵BM是∠ABC的平分线，点P在BM上，PD⊥AB，PE⊥BC， ∴PD=PE（角平分线上的点到角的两边距离相等）， 同理PE=PF，∴PD=PF. ∴P点在∠BAC的平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.
变式拓展3.已知，如下图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，试证明点P在∠AOB的平分线上.
证明：经过点P作射线OC.∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO.在Rt△PDO和Rt△PEO中，OP=OP，PD=PE，∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL),∴∠AOC=∠BOC,∴OC是∠AOB的平分线，即P点在∠AOB的平分线上.
随堂检测1．到三角形三边距离相等的点是（ ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．不能确定2.（2015萝岗区一模）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，若AB=4，且点D到BC的距离为3，则BD= ．
3.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°．请在线段BC上作一点D，使点D到边AC、AB的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
4.如图，点P为∠ABC和∠MAC的平分线的交点．求证：点P在∠ACN的平分线上．
证明： 过P作PE⊥BM于E，PF⊥AC于F，PG⊥BN于G，∵P为∠ABC和∠MAC的平分线的交点，∴PE=PF，PE=PG，∴PF=PG，∴点P在∠ACN的平分线上
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