2022年中考复习基础必刷40题专题35圆的有关性质

这是一份2022年中考复习基础必刷40题专题35圆的有关性质，共28页。试卷主要包含了6B， 如图，中，，．则的度数为等内容，欢迎下载使用。

1. 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC的延长线上，若∠DCE=132∘，则∠A= （ ）

A.38∘B.48∘C.58∘D.66∘

2. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E， CD=2OE，则∠BCD的度数为（ ）

A.15∘B.22.5∘C.30∘D.45∘

3. 如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD，如果∠BOC=70∘，那么∠A的度数为（ ）

A.70∘B.30∘C.35∘D.20∘

4. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE=3，OB=5，则CD的长度是（ ）

A.9.6B.45C.53D.10

5. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A=80∘，则∠C的度数是（ ）

A.80∘B.100∘C.110∘D.120∘

6. 如图，⊙O中，AB=AC，∠ABC=70∘．则∠BOC的度数为（ ）

A.100∘B.90∘C.80∘D.70∘

7. 如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BDC=20∘，则∠AOC的大小为（ ）

A.40∘B.140∘C.160∘D.170∘

8. 将含30∘角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若，则等于( )

A.80∘B.100∘C.110∘D.120∘

9. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108∘，则∠D的大小为（ ）

A.54∘B.62∘C.72∘D.82∘

10. 如图，中，，．则的度数为( )

A.100∘B.90∘C.80∘D.70∘

11. 如图，内接于，若，的半径，则阴影部分的面积为( )

A.B.C.D.

12. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40∘，则∠C＝（ ）

A.110∘B.120∘C.135∘D.140∘

13. 如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，O
C.30∘A.25∘B.27.5∘D.35∘

14. 如图，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE=40∘，则∠P的度数为（）

A.140∘B.70∘C.60∘D.40∘

15. 下列四条圆弧与直角三角板的位置关系中，可判断其中的圆弧为半圆的是（ ）
A.B.
C.D.

16. 如图，BD是⊙O的直径，弦AC⊥BD，垂足为E，∠AOB=60∘，则∠BDC等于（ ）
A.30∘B.45∘C.60∘D.90∘

17. 如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，直径AC=6，对角线AC、BD交于E点，且AB=BD，EC=1，则AD的长为（ ）
A.3152B.173C.112D.32

18. 如图，在半径为5的圆中，AB、CD互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（ ）
A.42B.32C.4D.3

19. 在⊙O内有一点P，已知OP=3，且圆内过点P的最短弦长为6，则⊙O的面积是（ ）
A.6πB.8πC.10πD.12π

20. 如图，圆内两条弦互相垂直，其中一条被分成2和6两段，另一条被分成3和4两段，此圆的直径为（ ）

A.46B.65C.9D.10

21. 如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BCA=50∘，则∠ADB=________​∘．


22. 如图,AB是半圆O的直径,AC=AD, OC=2, ∠CAB=30∘, 则点O 到CD 的距离OE=________.

23. 如图，点A，B，C在⊙O上，点C在优弧AB上，若∠OBA=50∘，则∠C的度数为________．


24. 如图，⊙O的两条相交弦AC、BD，∠ACB=∠CDB=60∘，AC=23，则⊙O的面积是________．


25. 已知一条弧所对的圆周角的度数是15∘，则它所对的圆心角的度数是________．

26. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝100∘，则∠DCE的度数为________；


27. 同圆中，已知AB所对的圆心角是100∘，则AB所对的圆周角是________．

28. ⊙O的直径为10，弦AB=6，P是弦AB上一动点，则OP的取值范围是________．

29. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C=∠D，则AB与CD的位置关系是________．

30. 如图，点B、D、C是⊙A上的点，∠BDC=130∘，则∠BAC=________​∘．

31. 如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，∠AOC=50∘，则∠ABC=________．

32. 如图，△ABC为⊙O的内接三角形，若AB为⊙O的直径，∠A=28∘，则∠B=________度．

33. 如图，半圆的直径AB长为2，C，D是半圆上的两点，若AC的度数为96∘，BD的度数为36∘，动点P在直径AB上，则CP+PD的最小值为________．


34. 如图，A，B，C是⊙O上的三点，若△OBC是等边三角形，则cs∠A________．


35. 为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（A，B，C，D，E是正五角星的五个顶点），则图中∠A的度数是________度．


36. 如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连结BD，BC平分∠ABD．

(1)求证：∠CAD=∠ABC；

(2)若AD=6，求CD的长．

37. 如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD=BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．

(1)求证：△CBA≅△DAB；

(2)若BE=BF，求证：AC平分∠DAB．

38. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D的直线EF交AC于点F，交AB的延长线于点E，且∠BAC=2∠BDE．

(1)求证：DF是⊙O的切线；

(2)当CF=2，BE=3时，求AF的长．

39. 小明家有一个如图所示的闹钟，他观察发现圆心角∠AOB=90∘，测得ACB的长为36cm，则ADB的长为________cm．


40. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD // BC，P为BD上一点，∠APB=∠BAD．
（1）证明：AB=CD；

（2）证明：DP⋅BD=AD⋅BC；
（2）证明：BD2=AB2+AD⋅BC．
参考答案与试题解析
2022年中考复习基础必刷题40题——专题三十四_圆的有关性质
一、 选择题 （本题共计 20 小题 ，每题 3 分 ，共计60分 ）
1.
【答案】
B
【考点】
圆周角定理
圆内接四边形的性质
圆心角、弧、弦的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ ∠DCE=132∘，
∴ ∠DCB=180∘−∠DCE=180∘−132∘=48∘
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∠A=∠DCB=48∘，
故选B．
2.
【答案】
B
【考点】
圆周角定理
圆的有关概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：连接OD，
∵ AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴ CD=2ED=2CE，
∵ CD=2OE，
∴ DE=OE，
∵ CD⊥AB，
∴ ∠DOE=∠ODE=45∘，
∴ ∠BCD=12∠DOE=22.5∘．
故选B．
3.
【答案】
B
【考点】
垂径定理
勾股定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ AB为直径，CD为弦，
∴ AB垂直平分CD，
∴ BC⌢=BD⌢，
∴ ∠BAD=12∠BOC=12×70∘=35∘．
故选B．
4.
【答案】
A
【考点】
垂径定理
全等三角形的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：连接OC，
∵ AB⊥CD,OE⊥AC，
∴ AE=EC,CF=FD，
∵ OE=3,OB=5，
∴ OB=OC=OA=5，
∴ 在Rt△OAE中，
AE=OA2−OE2=52−32=4，
∴ AE=EC=4，
设OF=x，则有AC2−AF2=OC2−OF2
82−5+x2=52−x2
x=1.4
在Rt△OFC，FC=OC2−OF2=52−1.42=4.8，
∴ CD=2FC=9.6
故选A．
5.
【答案】
B
【考点】
圆内接四边形的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠A+∠C=180∘，
∵ ∠A=80∘，∴ ∠C=100∘，
故选B．
6.
【答案】
C
【考点】
圆周角定理
圆心角、弧、弦的关系
【解析】
先根据圆周角定理得到∠ABC＝∠ACB＝70∘，再利用三角形内角和计算出∠A＝40∘，然后根据圆周角定理得到∠BOC的度数．
【解答】
解：∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB=70∘，
∴ ∠A=180∘−70∘−70∘=40∘，
∴ ∠BOC=2∠A=80∘．
故选C.
7.
【答案】
B
【考点】
圆周角定理
【解析】
先利用圆周角定理得到∠BOC＝40∘，然后根据邻补角的定义计算出∠AOC的度数．
【解答】
解：∵ ∠BOC=2∠BDC=2×20∘=40∘，
∴ ∠AOC=180∘−40∘=140∘．
故选B.
8.
【答案】
C
【考点】
平行线的判定与性质
平行线的性质
圆周角定理
【解析】
如图，先根据平行线性质求出−3，再求出∠4，根据四边形内角和为360∘即可求解．
【解答】
解：如图，由题意得DEIIGF，
∠1=∠3=50∘
．∠4=180∘−∠3=130∘
…在四边形ACMN中，∠2=360∘−∠A−∠C−∠4=110∘
B
故选：C
9.
【答案】
C
【考点】
圆内接四边形的性质
圆周角定理
【解析】
运用圆内接四边形对角互补计算即可．
【解答】
∵ 四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝108∘，
∴ ∠D＝180∘−∠B＝180∘−108∘＝72∘，
10.
【答案】
C
【考点】
圆周角定理
等腰三角形的判定
【解析】
首先根据弧、弦、圆心角的关系得到|AB=AC，再根据等腰三角形的性质可得∠A的度数，然后根据圆周角定理可得
∠BOC=2×A，进而可得答案．
【解答】
解：AB→=AC→
AB=AC
∴ ∠ABC=∠ACB=70∘
∴A=180∘−70∘×2=40∘
圆O是△ABC的外接圆，
∠BOC=2∠A=40∘×2=80∘
故选C．
11.
【答案】
A
【考点】
圆周角定理
【解析】
根据圆周角定理，再结合扇形面积公式和三角形面积公式，即可得出答案
【解答】
解：∠A=45
∠BOC=2∠A=90∘
…阴影部分的面积
故选A．
12.
【答案】
D
【考点】
圆内接四边形的性质
【解析】
直接利用圆内接四边形的对角互补计算∠C的度数．
【解答】
∵ 四边形ABCD内接于⊙O，
∴ ∠C+∠A＝180∘，
∴ ∠C＝180∘−40∘＝140∘．
13.
【答案】
D
【考点】
圆周角定理
【解析】
直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B以及∠ODC度数，再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案．
【解答】
∵ ∠A=60∘，∠ADC=85∘，
∴ ∠B=85∘−60∘=25∘，∠CDO=95∘，
∴ ∠AOC=2∠B=50∘，
∴ ∠C=180∘−95∘−50∘=35∘
14.
【答案】
B
【考点】
圆周角定理
【解析】
先根据四边形内角和定理求出∠DOE的度数，再由圆周角定理即可得出结论．
【解答】
解：CD⊥OA,CE⊥OB，垂足分别为D,E,∠DCE=40∘
∠DOE=180∘−40∘=140∘
…2P=12∠DOE=70∘
15.
【答案】
B
【考点】
圆周角定理
【解析】
根据90∘的圆周角所对的弦是直径求解即可求得答案．
【解答】
解：∵ 90∘的圆周角所对的弦是直径，
∴ 其中的圆弧为半圆的是B．
故选B．
16.
【答案】
A
【考点】
圆周角定理
垂径定理
【解析】
先根据垂径定理由AC⊥BD得到AB=BC，然后根据圆周角定理求解．
【解答】
解：∵ AC⊥BD，
∴ AB=BC，
∴ ∠BDC=12∠AOB=12×60∘=30∘．
故选A．
17.
【答案】
A
【考点】
相似三角形的性质与判定
圆周角定理
【解析】
连接BO并延长交AD于点F，连接OD，可证得BO⊥AD，可得BO // CD，可证明△CDE∽△OBE，可求得CD，在Rt△ACD中由勾股定理可求得AD．
【解答】
解：如图，连接BO并延长交AD于点F，连接OD，
∵ OD=OA，BD=BA，
∴ BO为AD的垂直平分线，
∵ AC为直径，
∴ CD⊥AD，
∴ ∠BFA=∠CDA，
∴ BO // CD，
∴ △CDE∽△OBE，
∴ CDBO=CEOE，
∵ OB=OC=3，CE=1，
∴ OE=2，
∴ CD3=12，
∴ CD=32，
在Rt△ACD中，由勾股定理可得AD=AC2−CD2=62−(32)2=1354=3152，
故选A．
18.
【答案】
B
【考点】
垂径定理
勾股定理
【解析】
作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OB、OD，如图，根据垂径定理得到AE=BE=12AB=4，DF=CF=12CD=4，再利用勾股定理可计算出OE=3，OF=3，接着证明四边形OEPF为矩形，则OF=PE=3，然后在Rt△OPE中利用勾股定理即可得到OP=2OE=32．
【解答】
解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OB、OD，如图，
则AE=BE=12AB=4，DF=CF=12CD=4，
在Rt△BOE中，∵ OB=5，BE=4，
∴ OE=OB2−BE2=3，
同理可得OF=3，
∵ AB⊥CD，OF⊥CD，OE⊥AB，
∴ 四边形OEPF为矩形，
∴ OF=PE=3，
在Rt△OPE中，∵ OE=3，PE=3，
∴ OP=2OE=32．
故选B．
19.
【答案】
D
【考点】
垂径定理
勾股定理
【解析】
如图，根据题意可以判断：最短弦AB⊥OP；求出BP的长度，借助勾股定理即可解决问题．
【解答】
解：如图，由题意得：OP=3，OP⊥AB，且AB=6；
∴ BP=AP=3；由勾股定理得：
OB2=OP2+BP2=3+9=12，
∴ ⊙O的面积=π⋅OB2=12π，
故选D．
20.
【答案】
B
【考点】
勾股定理
垂径定理
【解析】
首先过点O作OE⊥AB于E，过点O作DF⊥CD于F，连接OA，OC，根据勾股定理，即可求得BE，AE，DF，CF的值，又由圆内两条弦互相垂直，即可证得四边形OEMF是矩形，然后根据勾股定理，即可求得此圆的直径．
【解答】
过点O作OE⊥AB于E，过点O作OF⊥CD于F，连接OA，OC，
∴ BE＝AE=12AB=12×(3+4)=72，DF＝CF=12CD=12(2+6)＝4，
∴ MF＝DF−DM＝4−2＝2，
∵ AB⊥CD，
∴ ∠OEM＝∠OFM＝∠EMF＝90∘，
∴ 四边形OEMF是矩形，
∴ OE＝MF＝2，
在Rt△AOE中，OA=AE2+OE2=(72)2+22=652，
∴ 圆的直径为65．
二、 填空题 （本题共计 15 小题 ，每题 3 分 ，共计45分 ）
21.
【答案】
50
【考点】
三角形的外接圆与外心
圆周角定理
【解析】
根据圆周角定理即可得到结论．
【解答】
解：∵ AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴ 点A，B，C，D在⊙O上，
∵ ∠BCA=50∘，
∴ ∠ADB=∠BCA=50∘.
故答案为：50.
22.
【答案】
√
【考点】
圆周角定理
【解析】
试题分析：△CAB=30∘AC=AD,OA=OC，△ACD=75∘∠ACO=30∘，△OCE=45∘OE⊥CD，∴ △OCE为等腰直角三角形，OC=2，∴ OE=2
【解答】
此题暂无解答
23.
【答案】
40∘
【考点】
圆周角定理
【解析】
先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理得到∠C的度数．
【解答】
解：∵ OA=OB，
∴ ∠OAB=∠OBA=50∘，
∴ ∠AOB=180∘−50∘−50∘=80∘，
∴ ∠C=12∠AOB=40∘．
故答案为：40∘.
24.
【答案】
4π
【考点】
等边三角形的性质与判定
圆周角定理
三角形的外接圆与外心
【解析】
由∠A＝∠BDC，而∠ACB＝∠CDB＝60∘，所以∠A＝∠ACB＝60∘，得到△ACB为等边三角形，又AC＝23，从而求得半径，即可得到⊙O的面积．
【解答】
解：∵ ∠A=∠BDC，
而∠ACB=∠CDB=60∘，
∴ ∠A=∠ACB＝60∘，
∴ △ACB为等边三角形，
∵ AC=23，
∴ 圆的半径为2，
∴ ⊙O的面积是4π.
故答案为：4π.
25.
【答案】
30∘
【考点】
圆周角定理
圆心角、弧、弦的关系
【解析】
直接根据圆周角定理求解．
【解答】
∵ 一条弧所对的圆周角的度数是15∘，
∴ 它所对的圆心角的度数为2×15∘＝30∘．
26.
【答案】
100∘
【考点】
圆内接四边形的性质
【解析】
直接利用圆内接四边形的性质：外角等于它的内对角得出答案．
【解答】
∵ 四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴ ∠DCE＝∠A＝100∘，
27.
【答案】
50∘
【考点】
圆周角定理
【解析】
直接利用圆周角定理求解．
【解答】
解：弧AB所对的圆心角是100∘，则弧AB所对的圆周角为50∘．
故答案为：50∘.
28.
【答案】
4≤OP≤5
【考点】
勾股定理
垂径定理
【解析】
因为⊙O的直径为10，所以半径为5，则OP的最大值为5，OP的最小值就是弦AB的弦心距的长，所以，过点O作弦AB的弦心距OM，利用勾股定理，求出OM=4，即OP的最小值为4，所以4≤OP≤5．
【解答】
如图：连接OA，作OM⊥AB与M，
∵ ⊙O的直径为10，
∴ 半径为5，
∴ OP的最大值为5，
∵ OM⊥AB与M，
∴ AM=BM，
∵ AB=6，
∴ AM=3，
在Rt△AOM中，OM=52−32=4，
OM的长即为OP的最小值，
∴ 4≤OP≤5．
29.
【答案】
AB // CD
【考点】
圆内接四边形的性质
【解析】
由圆内接四边形的对角互补的性质以及等角的补角相等求解即可．
【解答】
解：∵ 四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴ ∠A+∠C=180∘
又∵ ∠C=∠D，
∴ ∠A+∠D=180∘．
∴ AB // CD．
故答案为：AB // CD．
30.
【答案】
100
【考点】
圆周角定理
【解析】
首先在优弧BC上取点E，连接BE，CE，由点B、D、C是⊙A上的点，∠BDC=130∘，即可求得∠E的度数，然后由圆周角定理，即可求得答案．
【解答】
解：在优弧BC上取点E，连接BE，CE，
∵ ∠BDC=130∘，
∴ ∠E=180∘−∠BDC=50∘，
∴ ∠BAC=2∠E=100∘．
故答案为：100∘．
31.
【答案】
25∘
【考点】
圆周角定理
【解析】
试题分析：AB是90的直径,∠AOC=50∘∴ABC=∠AOC=25∘
故答案为25∘
【解答】
此题暂无解答
32.
【答案】
62
【考点】
圆周角定理
【解析】
首先根据直径所对的圆周角是直角，可得∠C=90∘，然后用90∘减去∠A，求出∠B等于多少度即可．
【解答】
解：∵ AB是直径，
∴ ∠C=90∘，
∵ ∠A=28∘，
∴ ∠B=90∘−∠A=90∘−28∘=62∘．
故答案为：62．
33.
【答案】
3
【考点】
勾股定理
垂径定理
圆心角、弧、弦的关系
轴对称——最短路线问题
【解析】
首先将圆补成整圆．再作D点的对称点，利用垂径定理以及解直角三角形求出CD即可，进而得出CP+PD的最小值．
【解答】
将半圆补成整圆，作D点关于直径AB的对称点D′，连接CD，作ON⊥CD，
∵ AC的度数为96∘，BD的度数为36∘，
∴ ∠DOB＝36∘，
∠AOC＝96∘，
∴ ∠COD＝48∘，
∴ ∠BOD′＝36∘，
∴ ∠COD′＝36∘+36∘+48∘＝120∘，
∵ 半圆的直径AB长为2，
∴ ∠OCN＝30∘，
∴ ON=12，
∴ CN=1−(12)​2=32，
∴ CD=3，
∵ CD＝PC+PD，
∴ PC+PD=3．
34.
【答案】
32
【考点】
圆周角定理
特殊角的三角函数值
【解析】
由△OBC是等边三角形、贝加COB=60∘，然后由圆周角定理可得∠A=30∘然后运用余弦定义求解即可．
【解答】
解：∵△OBC是等边三角形，
∴∠COB=60∘，
∴ ∠A=12∠COB=30∘，
∴cs∠A=32.
故答案为：32.
35.
【答案】
36
【考点】
圆周角定理
圆心角、弧、弦的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图，
∵ 正五角星中，五边形FGHMN是正五边形，
∴ ∠GFN=∠FNM=5−2×180∘5=108∘，
∴ ∠AFN=∠ANF=180∘−∠GNN=180∘−108∘=72∘，
∴ ∠A=180∘−∠AFN−∠ANF=180∘−72∘−72∘=36∘．
故答案为：36.
三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 10 分 ，共计50分 ）
36.
【答案】
(1)证明：∵ BC平分∠ABD，
∴ ∠DBC=∠ABC.
∵ ∠CAD=∠DBC，
∴ ∠CAD=∠ABC.
(2)解：∵ ∠CAD=∠ABC，
∴ CD=AC.
∵ AD是⊙O的直径，AD=6，
∴ CD的长=12×12×π×6=32π．
【考点】
圆周角定理
弧长的计算
角平分线的性质
【解析】
（1）由角平分线的性质和圆周角定理可得∠DBC＝∠ABC＝∠CAD；
（2）由圆周角定理可得CD=AC，由弧长公式可求解．
【解答】
(1)证明：∵ BC平分∠ABD，
∴ ∠DBC=∠ABC.
∵ ∠CAD=∠DBC，
∴ ∠CAD=∠ABC.
(2)解：∵ ∠CAD=∠ABC，
∴ CD=AC.
∵ AD是⊙O的直径，AD=6，
∴ CD的长=12×12×π×6=32π．
37.
【答案】
证明：(1)∵ AB是半圆O的直径，
∴ ∠ACB=∠ADB=90∘，
在Rt△CBA与Rt△DAB中，BC=AD，BA=AB，
∴ Rt△CBA≅Rt△DAB(HL).
(2)∵ BE=BF，由(1)知BC⊥EF，
∴ ∠E=∠BFE，
∵ BE是半圆O所在圆的切线，
∴ ∠ABE=90∘，
∴ ∠E+∠BAE=90∘，
由(1)知∠D=90∘，
∴ ∠DAF+∠AFD=90∘，
∵ ∠AFD=∠BFE，
∴ ∠AFD=∠E，
∴ ∠DAF=90∘−∠AFD，∠BAF=90∘−∠E，
∴ ∠DAF=∠BAF，
∴ AC平分∠DAB．
【考点】
圆周角定理
全等三角形的性质与判定
切线的性质
【解析】
（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝∠ADB＝90∘，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠BFE，根据切线的性质得到∠ABE＝90∘，根据三角形的内角和以及角平分线的定义即可得到结论．
【解答】
证明：(1)∵ AB是半圆O的直径，
∴ ∠ACB=∠ADB=90∘，
在Rt△CBA与Rt△DAB中，BC=AD，BA=AB，
∴ Rt△CBA≅Rt△DAB(HL).
(2)∵ BE=BF，由(1)知BC⊥EF，
∴ ∠E=∠BFE，
∵ BE是半圆O所在圆的切线，
∴ ∠ABE=90∘，
∴ ∠E+∠BAE=90∘，
由(1)知∠D=90∘，
∴ ∠DAF+∠AFD=90∘，
∵ ∠AFD=∠BFE，
∴ ∠AFD=∠E，
∴ ∠DAF=90∘−∠AFD，∠BAF=90∘−∠E，
∴ ∠DAF=∠BAF，
∴ AC平分∠DAB．
38.
【答案】
(1)证明：连接OD，AD，
∵ AB是直径，
∴ ∠ADB=90∘，∴ AD⊥BC.
∵ AB=AC，∴ ∠BAC=2∠BAD.
∵ ∠BAC=2∠BDE，∴ ∠BDE=∠BAD.
∵ OA=OD，∴ ∠BAD=∠ADO.
∵ ∠ADO+∠ODB=90∘，
∴ ∠BDE+∠ODB=90∘，
∴ ∠ODE=90∘，即DF⊥OD.
∵ OD是⊙O的半径，
∴ DF是⊙O的切线．
(2)解：∵ AB=AC，AD⊥BC，∴ BD=CD，
∵ BO=AO，∴ OD // AC，
∴ △EOD∼△EAF，∴ ODAF=EOEA.
设OD=x，∵ CF=2，BE=3，
∴ OA=OB=x，AF=AC−CF=2x−2，
∴ EO=x+3，EA=2x+3，
∴ x2x−2=x+32x+3，解得x=6，
经检验，x=6是分式方程的解，
∴ AF=2x−2=10．
【考点】
圆周角定理
切线的判定
相似三角形的性质与判定
【解析】
（1）连接OD，AD，根据切线的判定即可求证．
（2）先证明△EOD∽△EAF，设OD＝x，根据相似三角形的性质列出关于x的方程从而可求出答案．
【解答】
(1)证明：连接OD，AD，
∵ AB是直径，
∴ ∠ADB=90∘，∴ AD⊥BC.
∵ AB=AC，∴ ∠BAC=2∠BAD.
∵ ∠BAC=2∠BDE，∴ ∠BDE=∠BAD.
∵ OA=OD，∴ ∠BAD=∠ADO.
∵ ∠ADO+∠ODB=90∘，
∴ ∠BDE+∠ODB=90∘，
∴ ∠ODE=90∘，即DF⊥OD.
∵ OD是⊙O的半径，
∴ DF是⊙O的切线．
(2)解：∵ AB=AC，AD⊥BC，∴ BD=CD，
∵ BO=AO，∴ OD // AC，
∴ △EOD∼△EAF，∴ ODAF=EOEA.
设OD=x，∵ CF=2，BE=3，
∴ OA=OB=x，AF=AC−CF=2x−2，
∴ EO=x+3，EA=2x+3，
∴ x2x−2=x+32x+3，解得x=6，
经检验，x=6是分式方程的解，
∴ AF=2x−2=10．
39.
【答案】
12
【考点】
圆心角、弧、弦的关系
【解析】
根据的长为36cm，可得半径OA，进而可得的长．
【解答】
解：∵ ACB与ADB所对应的圆心角度数的比值为270∘:90∘=3:1，
∴ ACB与ADB的弧长之比为3:1，
∴ ADB的弧长为36÷3=12(cm).
故答案为：12.
40.
【答案】
证明：（1）∵ AD // BC，
∴ ∠ADB=∠DBC，
∴ AB=DC，
∴ AB=BC；
（2）∵ ∠APB=∠BAD，∠BAD+∠BCD=180∘，∠APB+∠APD=180∘，
∴ ∠BCD=∠APD，
又∵ ∠ADB=∠CBD，
∴ △ADP∽△DBC，
∴ ADBD=DPBC，
∴ DP⋅BD=AD⋅BC；
（3）∵ ∠APB=∠BAD，∠BAD=∠BPA，
∴ △ABP∽△DBA，
∴ ABDB=PBAB，
∴ AB2=DB⋅PB，
∴ AB2+AD⋅BC=DB⋅PB+AD⋅BC
∵ 由（2）得：DP⋅BD=AD⋅BC，
∴ AB2+AD⋅BC=DB⋅PB+DP⋅BD=DB(PB+DP)=DB2，
即BD2=AB2+AD⋅BC．
【考点】
相似三角形的性质与判定
圆周角定理
【解析】
（1）利用平行线的性质结合圆周角定理得出AB=DC，进而得出答案；
（2）首先得出△ADP∽△DBC，进而利用相似三角形的性质得出答案；
（3）利用相似三角形的判定方法得出△ABP∽△DBA，进而求出AB2=DB⋅PB，再利用（2）中所求得出答案．
【解答】
证明：（1）∵ AD // BC，
∴ ∠ADB=∠DBC，
∴ AB=DC，
∴ AB=BC；
（2）∵ ∠APB=∠BAD，∠BAD+∠BCD=180∘，∠APB+∠APD=180∘，
∴ ∠BCD=∠APD，
又∵ ∠ADB=∠CBD，
∴ △ADP∽△DBC，
∴ ADBD=DPBC，
∴ DP⋅BD=AD⋅BC；
（3）∵ ∠APB=∠BAD，∠BAD=∠BPA，
∴ △ABP∽△DBA，
∴ ABDB=PBAB，
∴ AB2=DB⋅PB，
∴ AB2+AD⋅BC=DB⋅PB+AD⋅BC
∵ 由（2）得：DP⋅BD=AD⋅BC，
∴ AB2+AD⋅BC=DB⋅PB+DP⋅BD=DB(PB+DP)=DB2，
即BD2=AB2+AD⋅BC．