2022年中考复习基础必刷40题专题33梯形

这是一份2022年中考复习基础必刷40题专题33梯形，共41页。试卷主要包含了 图， 下列命题是真命题的是等内容，欢迎下载使用。


1. 如图的灰色小三角形为三个全等大三角形的重迭处，且三个大三角形各扣掉灰色小三角形后分别为甲、乙、丙三个梯形．若图中标示的∠1为58∘，∠2为62∘，∠3为60∘，则关于甲、乙、丙三梯形的高的大小关系，下列叙述何者正确？（ ）
A.乙>甲>丙B.乙>丙>甲C.丙>甲>乙D.丙>乙>甲

2. 如图，梯形ABCD中，AD // BC，E点在BC上，且AE⊥BC．若AB=10，BE=8，DE=63，则AD的长度为（ ）
A.8B.9C.62D.63

3. 如图，在直角梯形ABCD中，已知AD // BC，AB＝BC，∠ABC＝90∘，DE＝3cm，EC＝4cm，DC＝5cm，那么这个梯形ABCD的面积是（ ）

A.15217cm2B.19520cm2C.12cm2D.13cm2

4. 如图，在梯形ABCD中，AD // BC，AC交BD于点O，要使它成为等腰梯形需要添加的条件是（ ）
A.OA=OCB.AC=BDC.AC⊥BDD.AD=BC

5. 图（一）为一梯形ABCD，其中∠C=∠D=90∘，且AD=6，BC=18，CD=12．若将AD迭合在BC上，出现折线MN，如图（二）所示，则MN的长度为（ ）
A.10B.12C.15D.21

6. 在下列图形中，只有一组对边平行的是（ ）
A.平行四边形B.菱形C.矩形D.梯形

7. 如图，已知等腰梯形ABCD中，BC // AD，它的中位线长为28cm，周长为104cm，AD比AB短6cm，则AD:AB:BC=( )
A.8:12:15B.2:3:5C.8:12:20D.9:12:19

8. 在梯形ABCD中，AD // BC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD是等腰梯形的是（ ）
A.∠BDC=∠BCDB.∠ABC=∠DAB
C.∠ADB=∠DACD.∠AOB=∠BOC

9. 如图，阴影部分是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100∘，∠B=115∘，则梯形另外两个底角的度数分别是（ ）
A.100∘、115∘B.100∘、65∘C.80∘、115∘D.80∘、65∘

10. 下列命题是真命题的是（ ）
A.有一组内角相等的梯形是等腰梯形
B.矩形有四条对称轴
C.有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
D.四边形内角和是三角形内角和的43倍

11. 若梯形的面积为8cm2，高为2cm，则此梯形的中位线长是（ ）
A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm

12. 如图，用两个完全相同的直角三角板，不能拼成（ ）
A.平行四边形B.正方形C.等腰三角形D.梯形

13. 下列各命题正确的是（ ）
A.2，18是同类二次根式
B.梯形同一底上的两个角相等
C.过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D.两条直线被第三条直线所截，同位角相等

14. 梯形的上底长为3，下底长为5，那么梯形的中位线长等于（ ）
A.2B.4C.6D.8

15. 下列命题中，错误的命题是（ ）
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.等弧所对的圆周角相等
C.经过三点一定可作圆
D.若一个梯形内接于圆，则它是等腰梯形

16. 梯形ABCD中，AD // BC，AB⊥BC，BC=DC，∠C=30∘，AD=a，则BC的长为（ ）
A.(4+23)aB.(2+3)aC.(4−23)aD.(2−3)a

17. 已知等腰梯形的腰等于它的中位线的长，周长为24，则腰长为（ ）
A.3B.6C.8D.12

18. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC，BD于点E，P，连接OE，∠ADC=60∘，AB=12BC=1，则下列结论：①∠CAD=30∘; ②BD=7; ③S平行四边形ABCD=AB⋅AC; ④OE=14AD; ⑤S△APO=312，正确的个数是( )

A.2B.3C.4D.5

19. 如图直角梯形ABCD中，AD // BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90∘至ED，连AE、CE，则△ADE的面积是（ ）

A.1B.2C.3D.不能确定

20. 如图，已知等腰梯形ABCD中，AD // BC，AB=CD=AD=3，梯形中位线EF与对角线BD相交于点M，且BD⊥CD，则MF的长为（ ）
A.1.5B.3C.3.5D.4.5

21. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=OB，点E、点F分别是OA、OD的中点，连接EF，∠CEF=45∘,EM⊥BC于点M，EM交BD于点N，FN=10，则线段BC的长为_________．


22. 如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60∘，AE分别交BC、BD于点E、F，CE＝2，连接CF，以下结论：①△ABF≅△CBF；②点E到AB的距离是23；③tan∠DCF=337；④△ABF的面积为1253．其中一定成立的是________（把所有正确结论的序号都填在横线上）．


23. 如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，取EF的中点G，连接CG，BG，BD，DG，下列结论：
①BE=CD；
②∠DGF=135∘；
③∠ABG+∠ADG=180∘；
④若ABAD=23，则3S△BDG=13S△DGF．
其中正确的结论是________．（填写所有正确结论的序号）

24. 如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接OH，FH，EG与FH交于点M，对于下面四个结论：①GH⊥BE；②HO= // 12BG；③S正方形ABCD:S正方形ECGF=1:2；④EM:MG=1：(1+2)，其中正确结论的序号为________．

25. 【数学思考】
如图1，四边形ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG，BF⊥AG，垂足分别为E，F．试判断DE，BF，EF的数量关系，并说明理由．
【类比探究】
如图2，四边形ABCD是菱形，点G是BC上的任意一点，E，F是AG上的两点，∠AED=∠BFA=∠α．若要使(1)中的结论仍然成立，则∠DAB与∠α应满足的关系是________．
【拓展延伸】
如图3，四边形ABCD内接于圆，AB=AD，E，F是AC上的两点，且∠AED=∠BFA=∠BCD．试判断AC，DE，BF的数量关系，并说明理由．
【解决问题】
如图4，在圆的内接四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB，若∠DAB=120∘，AD=1，AC=3.4，求线段AB的长．


26. 阅读理解：
如图①，如果四边形ABCD满足AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90∘，那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”．
将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图②所示形状，再展开得到图③，其中CE，CF为折痕，∠BCE=∠ECF=∠FCD，点B′为点B的对应点，点D′为点D的对应点，连接EB′，FD′相交于点O．
简单应用：
（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是________；

（2）当图③中的∠BCD=120∘时，∠AEB′=________​∘；

（3）当图②中的四边形AECF为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有________个（包含四边形ABCD）．
拓展提升：
当图③中的∠BCD=90∘时，连接AB′，请探求∠AB′E的度数，并说明理由．

27. 如图，四边形ABCD是⊙O的外切等腰梯形，其周长为20，则梯形ABCD的中位线长为________．

28. 如图，在梯形ABCD中，AD // BC，AD=3，AB=CD=4，∠A=120∘，则下底BC的长为________．

29. 如图，等腰梯形ABCD中，AD // BC，AD:BC=1:2，AE⊥BC，垂足为E，连接BD交AE于F，则△BFE的面积与△DFA的面积之比为________．

30. 如图，梯形ABCD两条对角线交于E，CD上取一点F，使得EF // BC，若AD＝1，BC＝2，则S△ABDS△EBF=________．


31. 如图，在梯形ABCD中，AD // BC，中位线EF=5cm，高AH=4cm，则S梯形ABCD=________cm2．

32. 已知梯形中位线的长为6，下底的长为7，那么上底的长为________．

33. 一个等腰梯形上底等于腰长，下底等于腰长的两倍，那么较小的内角大小为________度．

34. 如果梯形中位线的长为6cm，下底长是上底长的2倍，则下底长是________cm．

35. 如图，梯形ABCD中，AD // BC，点M是AD的中点，不添加辅助线，梯形满足________条件时，有MB=MC（只填一个即可）．

36. 能够完全重合的平行四边形纸片ABCD和AEFG按图①方式摆放，其中AD=AG=5，AB=9．点D，G分别在边AE，AB上，CD与FG相交于点H．
【探究】求证：四边形AGHD是菱形．
【操作一】固定图①中的平行四边形纸片ABCD，将平行四边形纸片AEFG绕着点A顺时针旋转一定的角度，使点F与点C重合，如图②．则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为________．
【操作二】将图②中的平行四边形纸片AEFG绕着点A继续顺时针旋转一定的角度，使点E与点B重合，连接DG，CF，如图③，若sin∠BAD=45，则四边形DCFG的面积为________．


37. 如图，在直角梯形ABCD中，AB // DC，∠DAB=90∘，AB=8，CD=5，BC=35．
(1)求梯形ABCD的面积；

(2)联结BD，求∠DBC的正切值．

38. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P是BC边上的一点，且BP=2CP．

(1)用尺规在图①中作出CD边上的中点E，连接AE、BE（保留作图痕迹，不写作法）；

(2)如图②，在(1)的条件下，判断EB是否平分∠AEC，并说明理由；

(3)如图③，在(2)的条件下，连接EP并延长交AB的延长线于点F，连接AP，不添加辅助线，△PFB能否由都经过P点的两次变换与△PAE组成一个等腰三角形？如果能，说明理由，并写出两种方法.

39. （1）已知一次函数y=x+2与反比例函数y=kx，其中一次函数y=x+2的图象经过点P(k, 5)．
①试确定反比例函数的表达式；
②若点Q是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q的坐标． 39.
（2）如图，在梯形ABCD中，AD // BC，∠B=90∘，∠C=45∘，AD=1，BC=4，E为AB中点，EF // DC交BC于点F，求EF的长．

40. 如图，在等腰梯形ABCD中，已知∠B＝44∘，上底AD长为4，梯形的高为2，求梯形底边BC的长（精确到0.1）．

参考答案与试题解析
2022年中考复习基础必刷题40题——专题三十三_梯形
一、 选择题 （本题共计 20 小题 ，每题 3 分 ，共计60分 ）
1.
【答案】
A
【考点】
梯形
【解析】
根据大角对大边得到b>c>a，e>f>d，然后利用S梯形甲=S梯形乙=S梯形丙，得到梯形丙的两底>梯形甲的两底>梯形乙的两底，从而得到梯形乙的高>梯形甲的高>梯形丙的高，最后得到正确的选项即可．
【解答】
解：∵ ∠1=∠α=58∘，∠2=∠β=62∘，∠3=∠γ=60∘，
∴ b>c>a，e>f>d，
∵ S梯形甲=S梯形乙=S梯形丙，
∴ 梯形丙的两底>梯形甲的两底>梯形乙的两底，
∴ 梯形乙的高>梯形甲的高>梯形丙的高，
即：乙>甲>丙，
故选A．
2.
【答案】
C
【考点】
梯形
勾股定理
【解析】
利用勾股定理列式求出AE，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DAE=90∘，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
【解答】
解：∵ AE⊥BC，
∴ ∠AEB=90∘，
∵ AB=10，BE=8，
∴ AE=AB2−BE2=102−82=6，
∵ AD // BC，
∴ ∠DAE=∠AEB=90∘，
∴ AD=DE2−AE2=(63)2−62=62．
故选：C．
3.
【答案】
A
【考点】
勾股定理的逆定理
直角梯形
相似三角形的性质与判定
【解析】
根据勾股定理的逆定理判断△DCE是直角三角形，从而可以证明△ADE∽△BEC，设AE＝x，进而根据相似三角形对应边的比相等分别表示BE、BC、AD的长，根据勾股定理求得x的值，进而求得梯形的面积．
【解答】
∵ DE＝3cm，EC＝4cm，DC＝5cm，
∴ ∠DEC＝90∘，
又∠ABC＝90∘，
∴ ∠AED＝∠BCE，
∴ △ADE∽△BEC．
设AE＝x，则BC=43x，BE＝BC−AE=13x，AD=14x，
在直角三角形BCE中，根据勾股定理，得19x2+169x2=16，
解得x2=14417，
则这个梯形ABCD的面积是12×(14x+43x)⋅43x=15217(cm2)．
4.
【答案】
B
【考点】
等腰梯形的判定
【解析】
要求梯形ABCD为等腰梯形的条件，可先假设梯形ABCD为等腰梯形，由此进行推导，从而求出需要添加的条件．
【解答】
解：假设梯形ABCD为等腰梯形，则AB=CD，∠ABC=∠DCB，
∴ △ABC≅△DCB，
∴ AC=BD．
故选B．
5.
【答案】
B
【考点】
梯形中位线定理
梯形
【解析】
根据题意得MN是梯形的中位线，根据梯形的中位线定理即可求得MN的长．
【解答】
解：由已知得MN是梯形的中位线，所以MN=12(AD+BC)=12．
故选B．
6.
【答案】
D
【考点】
等腰梯形的性质
【解析】
根据概念我们知道平行四边形、菱形、矩形都是两组对边分别平行，只有梯形是一组对边平行，所以正确答案为D．
【解答】
解：根据梯形的性质可判断为梯形，故选D．
7.
【答案】
D
【考点】
等腰梯形的性质
梯形中位线定理
【解析】
先设AD=x，得到AB=x+6，因为中位线为28，ABCD为等腰梯形，所以12(AD+BC)=28，所以C（周长）=AD+BC+2(x+6)=28×2+2x+12=104，得到x=18所以AD=18，AB=24，BC=2×28−AD=56−18=38，所以AD:AB:BC=9:12:19
【解答】
解：设AD=x，∵ AD比AB短6cm，
∴ AB=x+6，
∵ 中位线为28，ABCD为等腰梯形，
∴ 12(AD+BC)=28，
∴ C（周长）=AD+BC+2(x+6)=28×2+2x+12=104，
解得：x=18，
∴ AD=18，AB=24，BC=2×28−AD=56−18=38，
∴ AD:AB:BC=9:12:19，
故选D．
8.
【答案】
C
【考点】
等腰梯形的判定
【解析】
等腰梯形的判定定理有：①有两腰相等的梯形是等腰梯形，②对角线相等的梯形是等腰梯形，③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，根据以上内容判断即可．
【解答】
解：A、∵ ∠BDC=∠BCD，
∴ BD=BC，
根据已知AD // BC不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；
B、根据∠ABC=∠DAB和AD // BC不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；
C、∵ ∠ADB=∠DAC，AD // BC，
∴ ∠ADB=∠DAC=∠DBC=∠ACB，
∴ OA=OD，OB=OC，
∴ AC=BD，
∵ AD // BC，
∴ 四边形ABCD是等腰梯形，故本选项正确；
D、根据∠AOB=∠BOC，只能推出AC⊥BD，
再根据AD // BC不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误．
故选：C．
9.
【答案】
D
【考点】
梯形
【解析】
由梯形的性质可知：∠A+∠D=180∘，∠B+∠C=180∘，继而可求出答案．
【解答】
解：由题意得：∠A+∠D=180∘，∠B+∠C=180∘，
∵ ∠A=100∘，∠B=115∘，
∴ ∠D=80∘，∠C=65∘．
故选D．
10.
【答案】
C
【考点】
等腰梯形的判定
多边形内角与外角
菱形的判定
矩形的性质
【解析】
A、根据等腰梯形的判定定理可判断正误；
B、根据轴对称图形的定义可判断正误；
C、根据菱形的判定定理可判断正误；
D、根据四边形的内角和是360∘，三角形的内角和是180∘可以判断正误．
【解答】
解：A、有一组内角相等的梯形是等腰梯形错误，例如直角梯形，故此选项错误；
B、矩形有二条对称轴，故此选项错误；
C、有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，故此选项正确；
D、四边形内角和是三角形内角和的43倍错误，四边形的内角和是360∘，三角形的内角和是180∘，是2倍关系，故此选项错误．
故选：C．
11.
【答案】
B
【考点】
梯形中位线定理
【解析】
根据梯形的中位线定理，知梯形的面积等于梯形中位线×高．
【解答】
解：根据梯形的面积=梯形的中位线×高，得
梯形的中位线的长=8÷2=4(cm)．
故选B．
12.
【答案】
D
【考点】
梯形
等腰三角形的判定与性质
平行四边形的判定
正方形的判定与性质
【解析】
根据梯形、平行四边形、正方形、等腰三角形的定义进行分析排除．
【解答】
解：A、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，因此只需让两个直角三角形的一条直角边重合，另一条直角边是对边即可拼成平行四边形；
B、根据有一个角是直角的菱形是正方形，则只需让两个直角三角形的斜边重合；
C、只需让两个直角三角形的一条直角边重合，另一条直角边共线即可拼成等腰三角形；
D、根据只有一组对边平行的四边形是梯形，显然不能拼成．
故选D．
13.
【答案】
A
【考点】
同类二次根式
平行线的判定与性质
等腰梯形的性质
命题与定理
【解析】
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】
解：A、正确，∵ 18=32，与2被开方数是否相同，
∴ 2，18是同类二次根式；
B、错误，梯形同一底上的两个角不一定相等，只有等腰梯形才有这一性质；
C、错误，必须“过直线外一点”；
D、错误，必须是“两平行直线”．
故选A．
14.
【答案】
B
【考点】
梯形中位线定理
【解析】
此题只需根据梯形的中位线定理进行计算．
【解答】
解：根据梯形的中位线定理，得：梯形的中位线长=12×(3+5)=4．故选B．
15.
【答案】
C
【考点】
确定圆的条件
平行四边形的判定
等腰梯形的判定
圆周角定理
【解析】
利用平行四边形的性质判定和圆的有关知识分析．
【解答】
解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，此选项正确；
B、等弧所对的圆周角相等，此选项正确；
C、经过不在同一直线的三点一定可作圆，故此选项错误；
D、若一个梯形内接于圆，则它是等腰梯形，此选项正确．
故选C．
16.
【答案】
A
【考点】
勾股定理
含30度角的直角三角形
梯形
【解析】
根据题意作出图形，过D做DE⊥BC于E，可知AD=BE，根据∠c=30∘，可设DE=x，则DC=2x，CE=3x，利用已知条件AD=a，BC=DC，可知BE=DC−CE=a，代入即可求得x的值，也可求出BC的长度．
【解答】
解：根据题意作出图形，过D做DE⊥BC于E，
∵ AD // BC，AB⊥BC，
∴ 四边形ABED是矩形，BE=AD，
设DE=x，
∵ ∠C=30∘，
∴ DC=2x，EC=(2x)2−x2=3x，
∵ DC=BC，
∴ BE=BC−EC=DC−EC=2x−3x=a，
∴ x=a2−3=(2+3)a，
∴ DC=2x=(4+23)a．
故选A．
17.
【答案】
B
【考点】
等腰梯形的性质
梯形中位线定理
【解析】
根据梯形的中位线等于上底与下底边长和的一半计算即可．
【解答】
解：∵ 等腰梯形的腰等于它的中位线的长，两底边长的和=2中位线的长，周长为24，
∴ 4腰长=24，
∴ 腰长=24÷4=6．
故选B．
18.
【答案】
D
【考点】
四边形综合题
相似三角形的性质与判定
平行四边形的性质
三角形中位线定理
含30度角的直角三角形
【解析】
①先根据角平分线和平行得：∠BAE=∠BEA，则AB=BE=1，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：∠ACE=30∘，最后由平行线的性质可作判断；
②先根据三角形中位线定理得：OE=12AB=12，OE // AB，根据勾股定理计算OC=12−(12)2=32和OD的长，可得BD的长；
③因为∠BAC=90∘，根据平行四边形的面积公式可作判断；
④根据三角形中位线定理可作判断；
⑤根据同高三角形面积的比等于对应底边的比可得：S△AOE=S△EOC=12OE⋅OC=38，S△POES△AOP=12，代入可得结论．
【解答】
解：①∵ AE平分∠BAD，
∴ ∠BAE=∠DAE，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD // BC，∠ABC=∠ADC=60∘，
∴ ∠DAE=∠BEA，
∴ ∠BAE=∠BEA，
∴ AB=BE=1，
∴ △ABE是等边三角形，
∴ AE=BE=1，
∵ BC=2，
∴ EC=1，
∴ AE=EC，
∴ ∠EAC=∠ACE，
∵ ∠AEB=∠EAC+∠ACE=60∘，
∴ ∠ACE=30∘，
∵ AD // BC，
∴ ∠CAD=∠ACE=30∘，
故①正确；
②∵ BE=EC，OA=OC，
∴ OE=12AB=12，OE // AB，
∴ ∠EOC=∠BAC=60∘+30∘=90∘，
Rt△EOC中，OC=12−(12)2=32，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠BCD=∠BAD=120∘，
∴ ∠ACB=30∘，
∴ ∠ACD=90∘，
Rt△OCD中，OD=12+(32)2=72，
∴ BD=2OD=7，
故②正确；
③由②知：∠BAC=90∘，
∴ S平行四边形ABCD=AB⋅AC，
故③正确；
④由②知：OE是△ABC的中位线，
∴ OE=12AB，
∵ AB=12BC，
∴ OE=14BC=14AD，
故④正确；
⑤∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC=32，
∴ S△AOE=S△EOC=12OE⋅OC=12×12×32=38，
∵ OE // AB，
∴ EPAP=OEAB=12，
∴ S△POES△AOP=12，
∴ S△AOP=23S△AOE=23×38=312；
故⑤正确；
本题正确的有：①②③④⑤，5个.
故选D.
19.
【答案】
A
【考点】
全等三角形的性质
直角梯形
旋转的性质
【解析】
如图作辅助线，利用旋转和三角形全等证明△DCG与△DEF全等，再根据全等三角形对应边相等可得EF的长，即△ADE的高，然后得出三角形的面积．
【解答】
如图所示，作EF⊥AD交AD延长线于F，作DG⊥BC，
∵ CD以D为中心逆时针旋转90∘至ED，
∴ ∠EDF+∠CDF=90∘，DE=CD，
又∵ ∠CDF+∠CDG=90∘，
∴ ∠CDG=∠EDF，
在△DCG与△DEF中，∠CDG=∠EDF∠EFD=∠CGD=90∘DE=CD ，
∴ △DCG≅△DEF(AAS)，
∴ EF=CG，
∵ AD=2，BC=3，
∴ CG=BC−AD=3−2=1，
∴ EF=1，
∴ △ADE的面积是：12×AD×EF=12×2×1=1．
20.
【答案】
B
【考点】
等腰梯形的性质
含30度角的直角三角形
三角形中位线定理
梯形中位线定理
【解析】
根据等腰梯形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，∠ABD与∠ADB的关系，根据等腰三角形的性质，可得∠ABD与∠ADB的关系，根据直角三角形的性质，可得BC的长，再根据三角形的中位线，可得答案．
【解答】
解：已知等腰梯形ABCD中，AD // BC，AB=CD=AD=3，
∴ ∠ABC=∠C，∠ABD=∠ADB，∠ADB=∠DBC．
∴ ∠ABD=∠CBD，∠C=2∠DBC．
∵ BD⊥CD，
∴ ∠BDC=90∘，
∴ ∠DBC=12∠C=30∘，
BC=2DC=2×3=6．
∵ EF是梯形中位线，
∴ MF是三角形BCD的中位线，
∴ MF=12BC=12×6=3，
故选：B．
二、 填空题 （本题共计 15 小题 ，每题 3 分 ，共计45分 ）
21.
【答案】
42
【考点】
平行线分线段成比例
梯形中位线定理
梯形
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设EF=x，
∵ 点E、点F分别是OA，OD的中点，
∴ EF是△OAD的中位线，
∴ AD=2x，AD // EF，
∴ ∠CAD=∠CEF=45∘，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD // BC，AD=BC=2x，
∴ ∠ACB=∠CAD=45∘，
∵ EM⊥BC，
∴ ∠EMC=90∘，
∴ △EMC是等腰直角三角形，
∴ ∠CEM=45∘，
连接BE，如图所示，
∵ AB=OB，AE=OE，
∴ BE⊥AO
∴ ∠BEM=45∘，
∴ BM=EM=MC=x，
∴ BM=FE，
易得△ENF≅△MNB，
∴ EN=MN=12x，BN=FN=10，
Rt△BNM中，由勾股定理得：BN2=BM2+MN2，
∴ (10)2=x2+(12x)2，
x=22或−22（舍），
∴ BC=2x=42，
故答案为：42．
22.
【答案】
①②③
【考点】
四边形综合题
【解析】
利用SAS证明△ABF与△CBF全等，得出①正确，根据含30∘角的直角三角形的性质得出点E到AB的距离是23，得出②正确，同时得出；△ABF的面积为1835得出④错误，得出tan∠DCF=337，得出③正确．
【解答】
∵ 菱形ABCD，
∴ AB＝BC＝6，
∵ ∠DAB＝60∘，
∴ AB＝AD＝DB，∠ABD＝∠DBC＝60∘，
在△ABF与△CBF中，
AB=BC∠ABF=∠FBCBF=BF ，
∴ △ABF≅△CBF(SAS)，
∴ ①正确；
过点E作EG⊥AB，过点F作MH⊥CD，MH⊥AB，如图：
∵ CE＝2，BC＝6，∠ABC＝120∘，
∴ BE＝6−2＝4，
∵ EG⊥AB，
∴ EG=23，
∴ 点E到AB的距离是23，
故②正确；
∵ BE＝4，EC＝2，
∴ S△BFE:S△FEC＝4:2＝2:1，
∴ S△ABF:S△FBE＝3:2，
∴ △ABF的面积为=35S△ABE=35×12×6×23=1835，
故④错误；
∵ S△ADB=12×6×33=93，
∴ S△DFC=S△ADB−S△ABF=93−1835=2735，
∵ S△DFC=12×6×FM=2735，
∴ FM=935，
∴ DM=MF3=9353=95，
∴ CM＝DC−DM＝6−95=215，
∴ tan∠DCF=MFCM=935215=337，
故③正确；
23.
【答案】
①③④
【考点】
四边形综合题
【解析】
先求出∠BAE=45∘，判断出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AB=BE，∠AEB=45∘，从而得到BE=CD，故①正确；
再求出△CEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得CG=EG，再求出∠BEG=∠DCG=135∘，然后利用“边角边”证明△DCG≅△BEG，得到∠BGE=∠DGC，由∠BGE<∠AEB，得到∠DGC=∠BGE<45∘，∠DGF<135∘，故②错误；
由于∠BGE=∠DGC，得到∠ABG+∠ADG=∠ABC+∠CBG+∠ADC−∠CDG=∠ABC+∠ADC=180∘，故③正确；
由△BGD是等腰直角三角形得到BD=AD2+AB2=13a，求得S△BDG，过G作GM⊥CF于M，求得S△DGF，进而得出答案．
【解答】
解：∵ AE平分∠BAD，
∴ ∠BAE=45∘，
∴ △ABE是等腰直角三角形，
∴ AB=BE，∠AEB=45∘，
∵ AB=CD，
∴ BE=CD，
故①正确；
∵ ∠CEF=∠AEB=45∘，∠ECF=90∘，
∴ △CEF是等腰直角三角形，
∵ 点G为EF的中点，
∴ CG=EG，∠FCG=45∘，
∴ ∠BEG=∠DCG=135∘，
在△DCG和△BEG中，
BE=CD∠BEG=∠DCGCG=EG，
∴ △DCG≅△BEG(SAS)．
∴ ∠BGE=∠DGC，
∵ ∠BGE<∠AEB，
∴ ∠DGC=∠BGE<45∘，
∵ ∠CGF=90∘，
∴ ∠DGF<135∘，
故②错误；
∵ ∠BGE=∠DGC，
∴ ∠ABG+∠ADG=∠ABC+∠CBG+∠ADC−∠CDG=∠ABC+∠ADC=180∘，
故③正确；
∵ ABAD=23，
∴ 设AB=2a，AD=3a，
∵ △DCG≅△BEG，
∵ ∠BGE=∠DGC，BG=DG，
∵ ∠EGC=90∘，
∴ ∠BGD=90∘，
∵ BD=AD2+AB2=13a，
∴ BG=DG=262a，
∴ S△BDG=12×262a×262a=134a2
∴ 3S△BDG=3×134a2，
过G作GM⊥CF于M，
∵ CE=CF=BC−BE=BC−AB=a，
∴ GM=12CF=12a，
∴ S△DGF=12⋅DF⋅GM=12×3a×12a=34a2，
∴ 13S△DGF=13×34a2，
∴ 3S△BDG=13S△DGF，
故④正确．
故答案为：①③④．
24.
【答案】
①②④
【考点】
四边形综合题
【解析】
证明△BCE≅△DCG，即可证得∠BEC=∠DGC，然后根据三角形的内角和定理证得∠EHG=90∘，则HG⊥BE，然后证明△BGH≅△EGH，则H是BE的中点，则OH是△BGE的中位线，根据三角形的中位线定理即可判断②．根据△DHN∽△DGC求得两个三角形的边长的比，则③④即可判断．
【解答】
解：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ BC=DC，∠BCE=90∘，
同理可得CE=CG，∠DCG=90∘，
在△BCE和△DCG中，
BC=DC∠BCE=∠DCG=90∘CE=CG，
∴ △BCE≅△DCG，
∴ ∠BEC=∠DGC，
∵ ∠EDH=∠CDG，∠DGC+∠CDG=90∘，
∴ ∠EDH+∠BEC=90∘，
∴ ∠EHD=90∘，
∴ HG⊥BE，故①正确；
∵ 在△BGH和△EGH中，∠EHG=∠BHGHG=HG∠EGH=∠BGH，
∴ △BGH≅△EGH，
∴ BH=EH，
又∵ O是EG的中点，
∴ HO= // 12BG，
故②正确；
设EC和OH相交于点N．
设HN=a，则BC=2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC=b，CD=2a，
∵ OH // BC，
∴ △DHN∽△DGC，
∴ DNDC=HNCG，即b−2a2a=a2b，即a2+2ab−b2=0，
解得：a=−2+222b=(−1+2)b，或a=(−1−2)b（舍去），
则ab=2−1；
则S正方形ABCD:S正方形ECGF=(2−1)2=3−22，故③错误；
∵ EF // OH，
∴ △EFM∽△OMH，
∴ EMOM=EFOH=2ba+b，
∴ EMOE=2ba+3b，EMEG=ba+3b
∴ EMMG=ba+2b=1ab+2=12−1+2=12+1，故④正确．
故正确的是①②④．
25.
【答案】
互补
【考点】
四边形综合题
【解析】
数学思考：根据ABCD是正方形，利用正方形的性质和DE⊥AG，BF⊥AG，证明△ABF≅△DAE，得到AF=DE，AE=BF，所以DE−BF=AF−AE=EF；
类比探究：根据△ABF≅△DAE，得到∠DAB与∠α互补（或∠DAB=180∘−∠α）；
拓展延伸：结合已知探究及圆内接四边形的性质得△ADE≅△BAF，所以AF=DE，AE=BF，∠ADE=∠BAF，连接BD，根据在同一个圆中，同弧所对的圆周角相等，得到∠CDB=∠CAB，∠DCA=∠DBA，再证明EC=ED，即可解答；
解决问题：过点D作DE // AB交AC于点E，过点B作BF // AD交AC于点F，所以∠DEA=∠BAE=60∘，∠BFA=∠DAE=60∘，所以△ADE和△ABF是等边三角形，利用等边三角形的性质，AB=BF，AD=DE，由拓展延伸知AC=DE+BF，又DE=AD=1，AC=3.4，所以BF=AC−DE=3.4−1=2.4，所以AB=BF=2.4．
【解答】
解：数学思考：DE−BF=EF．
理由如下：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=AD，∠BAD=90∘，
∴ ∠BAF+∠DAE=90∘，
∵ DE⊥AG，BF⊥AG，
∴ ∠BFA=∠AED=90∘，
∴ ∠BAF+∠ABF=90∘，
∴ ∠DAE=∠ABF，
∴ △ABF≅△DAE，
∴ AF=DE，AE=BF，
∴ DE−BF=AF−AE=EF．
类比探究：互补（或∠DAB=180∘−∠α）
拓展延伸：AC=DE+BF，
理由如下：结合已知探究及圆内接四边形的性质得△ADE≅△BAF，
∴ AF=DE，AE=BF，∠ADE=∠BAF，
如图(1)连接BD，
则∠CDB=∠CAB，∠DCA=∠DBA，
∴ ∠CDB=∠ADE，
∴ ∠ADB=∠CDE，
∵ AB=AD，
∴ ∠ADB=∠ABD，
∴ ∠CDE=∠ABD，
又∵ ∠ABD=∠ACD，
∴ ∠CDE=∠ACD，
∴ EC=ED，
∴ AC=AE+EC=DE+BF．
解决问题：如图2，过点D作DE // AB交AC于点E，过点B作BF // AD交AC于点F．
∵ 对角线AC平分∠DAB，∠DAB=120∘，
∴ ∠DAE=∠BAE=60∘，
∵ DE // AB，BF // AD，
∴ ∠DEA=∠BAE=60∘，∠BFA=∠DAE=60∘，
∴ △ADE和△ABF是等边三角形，
∴ ∠DEC=∠BFC=∠DAB=120∘，
∴ ∠DAC=∠BAC=60∘，
∴ CB=CD，
由拓展延伸知AC=DE+BF，
又∵ DE=AD=1，AC=3.4，
∴ BF=AC−DE=3.4−1=2.4，
∴ AB=BF=2.4．
26.
【答案】
正方形；
（2）根据题意得：∠B′=∠B=90∘，
∴ 在四边形CBEB′中，∠BEB′+∠BCB′=180∘，
∵ ∠AEB′+∠BEB′=180∘，
∴ ∠AEB′=∠BCB′，
∵ ∠BCE=∠ECF=∠FCD，∠BCD=120∘，
∴ ∠BCE=∠ECF=40∘，
∴ ∠AEB′=∠BCB′=40∘+40∘=80∘；
故答案为：80；
（3）当图②中的四边形AECF为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有5个；理由如下；
根据题意得：BE=B′E，BC=B′C，∠B=∠CB′E=90∘，CD=CD′，FD=FD′，∠D=∠CD′F=90∘，
∴ 四边形EBCB′、四边形FDCD′是“完美筝形”；
∵ 四边形ABCD是“完美筝形”，
∴ AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90∘，
∴ CD′=CB′，∠CD′O=∠CB′O=90∘，
∴ ∠OD′E=∠OB′F=90∘，
∵ 四边形AECF为菱形，
∴ AE=AF，CE=CF，AE // CF，AF // CE，
∴ D′E=B′F，∠AEB′=∠CB′E=90∘，∠AFD′=∠CD′F=90∘，
在△OED′和△OFB′中，∠OD′E=∠OB′F∠EOD′=∠FOB′D′E=B′F，
∴ △OED′≅△OFB′(AAS)，
∴ OD′=OB′，OE=OF，
∴ 四边形CD′OB′、四边形AEOF是“完美筝形”；
∴ 包含四边形ABCD，对应图③中的“完美筝形”有5个；
故答案为：5；
当图③中的∠BCD=90∘时，如图所示：
四边形ABCD是正方形，
∴ ∠A=90∘，
∵ ∠EB′F=90∘，
∴ ∠A+∠EB′F=180∘，
∴ A、E、B′、F四点共圆，
∵ AE=AF，
∴ AE=AF，
∴ ∠AB′E=∠AB′F=12∠EB′F=45∘．
【考点】
四边形综合题
【解析】
（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和“完美筝形”的定义容易得出结论；
（2）先证出∠AEB′=∠BCB′，再求出∠BCE=∠ECF=40∘，即可得出结果；
（3）由折叠的性质得出BE=B′E，BC=B′C，∠B=∠CB′E=90∘，CD=CD′，FD=FD′，∠D=∠CD′F=90∘，即可得出四边形EBCB′、四边形FDCD′是“完美筝形”；
由题意得出∠OD′E=∠OB′F=90∘，CD′=CB′，由菱形的性质得出AE=AF，CE=CF，再证明△OED′≅△OFB′，得出OD′=OB′，OE=OF，证出∠AEB′=∠AFD′=90∘，即可得出四边形CD′OB′、四边形AEOF是“完美筝形”；即可得出结论；
当图③中的∠BCD=90∘时，四边形ABCD是正方形，证明A、E、B′、F四点共圆，得出AE=AF，由圆周角定理即可得出∠AB′E的度数．
【解答】
解：（1）①∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，AD=BC，∠A=∠C≠90∘，∠B=∠D≠90∘，
∴ AB≠AD，BC≠CD，
∴ 平行四边形不一定为“完美筝形”；
②∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘，AB=CD，AD=BC，
∴ AB≠AD，BC≠CD，
∴ 矩形不一定为“完美筝形”；
③∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB=BC=CD=AD，∠A=∠C≠90∘，∠B=∠D≠90∘，
∴ 菱形不一定为“完美筝形”；
④∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘，AB=BC=CD=AD，
∴ 正方形一定为“完美筝形”；
∴ 在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是正方形；
（2）根据题意得：∠B′=∠B=90∘，
∴ 在四边形CBEB′中，∠BEB′+∠BCB′=180∘，
∵ ∠AEB′+∠BEB′=180∘，
∴ ∠AEB′=∠BCB′，
∵ ∠BCE=∠ECF=∠FCD，∠BCD=120∘，
∴ ∠BCE=∠ECF=40∘，
∴ ∠AEB′=∠BCB′=40∘+40∘=80∘；
（3）当图②中的四边形AECF为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有5个；理由如下；
根据题意得：BE=B′E，BC=B′C，∠B=∠CB′E=90∘，CD=CD′，FD=FD′，∠D=∠CD′F=90∘，
∴ 四边形EBCB′、四边形FDCD′是“完美筝形”；
∵ 四边形ABCD是“完美筝形”，
∴ AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90∘，
∴ CD′=CB′，∠CD′O=∠CB′O=90∘，
∴ ∠OD′E=∠OB′F=90∘，
∵ 四边形AECF为菱形，
∴ AE=AF，CE=CF，AE // CF，AF // CE，
∴ D′E=B′F，∠AEB′=∠CB′E=90∘，∠AFD′=∠CD′F=90∘，
在△OED′和△OFB′中，∠OD′E=∠OB′F∠EOD′=∠FOB′D′E=B′F，
∴ △OED′≅△OFB′(AAS)，
∴ OD′=OB′，OE=OF，
∴ 四边形CD′OB′、四边形AEOF是“完美筝形”；
∴ 包含四边形ABCD，对应图③中的“完美筝形”有5个；
27.
【答案】
5
【考点】
切线长定理
等腰梯形的性质
梯形中位线定理
【解析】
根据切线长定理，可得出(AD+BC)的值，再由中位线的性质可得出中位线的长．
【解答】
解：
∵ 四边形ABCD是⊙O的外切等腰梯形，
∴ AE=AG，DG=DF，BE=BH，CF=CH，
∴ 梯形ABCD的周长=2(AD+BC)=20，
解得：AD+BC=10，
∴ 梯形的中位线的长=12(AD+BC)=5．
故答案为：5．
28.
【答案】
【考点】
梯形
等边三角形的判定方法
平行四边形的应用
【解析】
分别过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，分别利用解直角三角形的知识得出BE、CF的长，继而可得出答案．
【解答】
解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，
∵ AB=4，∠B=60∘，
∴ BE=2；
同理可得CF=2，
故BC的长=BE+EF+FC=4+AD=7．
故答案为：7
29.
【答案】
1:4
【考点】
等腰梯形的性质
相似三角形的性质与判定
【解析】
首先过D作DM⊥CB，证明四边形AEMD是平行四边形，可得AD=EM，进而得到(BE+MC)：AD=1:1，再证明BE=CM，可得到BE:AD=1:2，最后证明△ADF∽△EBF，可根据面积之比等于对应边AD，BE之比的平方，即可得到答案．
【解答】
解：过D作DM⊥CB，
∵ AE⊥BC，
∴ AE // DM，
∵ AD // EM，
∴ 四边形AEMD是平行四边形，
∴ AD=EM，
∵ AD:BC=1:2，
∴ (BE+MC)：AD=1:1，
∵ AB=CD，AE=DM，
∴ Rt△ABE≅Rt△DCM，
∴ BE=CM，
∴ BE:AD=1:2，
∵ AD // BC，
∴ △ADF∽△EBF，
∵ △BFE的面积与△DFA的面积之比为1:4，
故答案为：1:4．
30.
【答案】
94
【考点】
梯形
相似三角形的性质与判定
【解析】
由已知梯形ABCD和EF // BC可得△DEF∽△DBC及△CEF∽△CAD，则EFBC=DFCD，EFAD=CFCD，那么得EFBC+EFAD=DF+CFCD=1，又已知AD＝1，BC＝2，从而求出EF，再由△CEF∽△CAD求得S△CADS△CEF，
再根据已知梯形ABCD和EF // BC得S△ABD＝S△CAD，S△EBF＝S△CEF，从而求得S△ABDS△EBF．
【解答】
已知梯形ABCD和EF // BC，
∴ △DEF∽△DBC，△CEF∽△CAD，
∴ EFBC=DFCD，EFAD=CFCD，
得EFBC+EFAD=DF+CFCD=1，
又已知AD＝1，BC＝2，
∴ EF2+EF＝1，
∴ EF=23，
∵ △CEF∽△CAD，
∴ 得S△CADS△CEF=(ADEF)2=(123)2=94，
∵ 已知梯形ABCD和EF // BC，
∴ 得S△ABD＝S△CAD，S△EBF＝S△CEF，
∴ 得S△ABDS△EBF=94．
31.
【答案】
20
【考点】
梯形中位线定理
【解析】
此题只需根据梯形的中位线定理进行计算．梯形的面积等于梯形的中位线长×梯形的高．
【解答】
解：∵ 梯形的面积=梯形的中位线长×高，
∴ 梯形的面积=4×5=20．
故答案为：20．
32.
【答案】
5
【考点】
梯形中位线定理
【解析】
根据“梯形中位线的长等于上底与下底和的一半”，即可求得下底．
【解答】
解：根据梯形的中位线定理，得梯形的上底长=中位线的2倍-下底=12−7=5．
33.
【答案】
60
【考点】
等腰梯形的性质
【解析】
由等腰梯形的性质及题中腰和底的关系，可推出csD=DEAD=12，从而得出∠D=60∘．
【解答】
解：如图，AE，BF分别是等腰梯形的高，
∵ AB=AD，DC=2AD
∴ DE+FC=AD，DE=12AD
∴ csD=DEAD=12
∴ ∠D=60∘
即：较小的内角为60∘
34.
【答案】
8
【考点】
梯形中位线定理
【解析】
设上底的长为xcm，然后根据两底关系表示出下底长，利用梯形的中位线定理列出方程即可求得结果．
【解答】
解：设梯形的上底长为xcm，则下底长为2xcm，
则有：x+2x=2×6
解得x=4．
故梯形的下底长为2x=2×4=8cm．
故答案为8．
35.
【答案】
AB=DC（或∠ABC=∠DCB、∠A=∠D）等
【考点】
梯形
全等三角形的判定
【解析】
根据题意得出△ABM≅△DCM，进而得出MB=MC．
【解答】
解：当AB=DC时，∵ 梯形ABCD中，AD // BC，
∴ ∠A=∠D，
∵ 点M是AD的中点，
∴ AM=MD，
在△ABM和△DCM中，
AM=DM∠A=∠DAB=DC，
∴ △ABM≅△DCM(SAS)，
∴ MB=MC，
同理可得出：∠ABC=∠DCB、∠A=∠D时都可以得出MB=MC，
故答案为：AB=DC（或∠ABC=∠DCB、∠A=∠D）等．
三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 10 分 ，共计50分 ）
36.
【答案】
解：【操作一】根据题意得，这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为：
ME+EF+MC+AD+DM+AM+AG+GN+AN+BN+BC+NF
=(ME+AM+AG+EF+NF+GN)+(AD+BC+DM+MC+AN+BN)
=2(AE+AG)+2(AB+AD)
=2×(9+5)+2×(9+5)=56.
故答案为：56.
【操作二】如图，
由题意知，AD=AG=5，∠DAB=∠BAG，
又AM=AM，
∴△AMD≅△AMG(SAS)，
∴DM=GM，∠AMD=∠AMG，
∵∠AMD+∠AMG=180∘，
∴∠AMD=∠AMG=90∘，
∵sin∠BAD=DMAD=45，
∴DM=45AD=4，
∴DG=8，
∵四边形ABCD和四边形AEFG是平行四边形，
∴DC // AB // GF，DC=AB=GF=9，
∴四边形CDGF是平行四边形，
∵∠AMD=90∘，
∴∠CDG=∠AMD=90∘，
∴四边形CDGF是矩形，
∴S矩形DCFG=DG⋅DC=8×9=72.
故答案为：72．
【考点】
四边形综合题
全等三角形的性质与判定
锐角三角函数的定义
【解析】
【探究】先由平行四边形的性质得AE // GF，DC // AB，进而得四边形AGHD是平行四边形，再结合邻边相等，得四边形AGHD是菱形；
【操作一】这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和实际为平行四边形ABCD和平行四边形AEFG的周长和，由此求得结果便可；
【解答】
解：【操作一】根据题意得，这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为：
ME+EF+MC+AD+DM+AM+AG+GN+AN+BN+BC+NF
=(ME+AM+AG+EF+NF+GN)+(AD+BC+DM+MC+AN+BN)
=2(AE+AG)+2(AB+AD)
=2×(9+5)+2×(9+5)=56.
故答案为：56.
【操作二】如图，
由题意知，AD=AG=5，∠DAB=∠BAG，
又AM=AM，
∴△AMD≅△AMG(SAS)，
∴DM=GM，∠AMD=∠AMG，
∵∠AMD+∠AMG=180∘，
∴∠AMD=∠AMG=90∘，
∵sin∠BAD=DMAD=45，
∴DM=45AD=4，
∴DG=8，
∵四边形ABCD和四边形AEFG是平行四边形，
∴DC // AB // GF，DC=AB=GF=9，
∴四边形CDGF是平行四边形，
∵∠AMD=90∘，
∴∠CDG=∠AMD=90∘，
∴四边形CDGF是矩形，
∴S矩形DCFG=DG⋅DC=8×9=72.
故答案为：72．
37.
【答案】
解：(1)过C作CE⊥AB于E，如图，
∵ AB // DC，∠DAB=90∘，
∴ ∠D=90∘，
∴ ∠A=∠D=∠AEC=90∘，
∴ 四边形ADCE是矩形，
∴ AD=CE，AE=CD=5，
∴ BE=AB−AE=3.
∵ BC=35，
∴ CE=BC2−BE2=6，
∴ 梯形ABCD的面积=12×(5+8)×6=39.
(2)过C作CH⊥BD于H，如图，
∵ CD // AB，
∴ ∠CDB=∠ABD，
∵ ∠CHD=∠A=90∘.
∴ △CDH∼△DBA，
∴ CHAD=CDBD.
∵ BD=AB2+AD2=82+62=10，
∴ CH6=510，
∴ CH=3，
∴ BH=BC2−CH2=(35)2−32=6，
∴ ∠DBC的正切值=CHBH=36=12．
【考点】
梯形的面积
相似三角形的性质与判定
解直角三角形
矩形的判定与性质
勾股定理
【解析】
（1）过C作CE⊥AB于E，推出四边形ADCE是矩形，得到AD＝CE，AE＝CD＝5，根据勾股定理得到CE=BC2−BE2=6，于是得到梯形ABCD的面积=12×(5+8)×6＝39；
（2）过C作CH⊥BD于H，根据相似三角形的性质得到CHAD=CDBD，根据勾股定理得到BD=AB2+AD2=82+62=10，BH=BC2−CH2=(35)2−32=6，于是得到结论．
【解答】
解：(1)过C作CE⊥AB于E，如图，
∵ AB // DC，∠DAB=90∘，
∴ ∠D=90∘，
∴ ∠A=∠D=∠AEC=90∘，
∴ 四边形ADCE是矩形，
∴ AD=CE，AE=CD=5，
∴ BE=AB−AE=3.
∵ BC=35，
∴ CE=BC2−BE2=6，
∴ 梯形ABCD的面积=12×(5+8)×6=39.
(2)过C作CH⊥BD于H，如图，
∵ CD // AB，
∴ ∠CDB=∠ABD，
∵ ∠CHD=∠A=90∘.
∴ △CDH∼△DBA，
∴ CHAD=CDBD.
∵ BD=AB2+AD2=82+62=10，
∴ CH6=510，
∴ CH=3，
∴ BH=BC2−CH2=(35)2−32=6，
∴ ∠DBC的正切值=CHBH=36=12．
38.
【答案】
解：(1)依题意作出图形如图①所示，
(2)EB是平分∠AEC，
理由：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠C=∠D=90∘，CD=AB=2，BC=AD=3，
∵ 点E是CD的中点，
∴ DE=CE=12CD=1，
在△ADE和△BCE中，AD=BC∠C=∠D=90∘DE=CE ，
∴ △ADE≅△BCE，
∴ ∠AED=∠BEC，
在Rt△ADE中，AD=3，DE=1，
∴ tan∠AED=ADDE=3，
∴ ∠AED=60∘，
∴ ∠BEC=∠AED=60∘
∴ ∠AEB=180∘−∠AED−∠BEC=60∘=∠BEC，
∴ BE平分∠AEC；
(3)∵ BP=2CP，BC=3，
∴ CP=33，BP=233，
在Rt△CEP中，tan∠CEP=CPCE=33，
∴ ∠CEP=30∘，
∴ ∠BEP=30∘，
∴ ∠AEP=90∘，
∵ CD // AB，
∴ ∠F=∠CEP=30∘，
在Rt△ABP中，tan∠BAP=BPAB=33，
∴ ∠PAB=30∘，
∴ ∠EAP=30∘=∠F=∠PAB，
∵ CB⊥AF，
∴ AP=FP，
∴ △AEP≅△FBP，
∴ △PFB能由都经过P点的两次变换与△PAE组成一个等腰三角形，
变换的方法为：将△BPF绕点B顺时针旋转120∘和△EPA重合，①沿PE折叠，②沿AE折叠．
【考点】
四边形综合题
【解析】
（1）根据作线段的垂直平分线的方法作图即可得出结论；
（2）先求出DE=CE=1，进而判断出△ADE≅△BCE，得出∠AED=∠BEC，再用锐角三角函数求出∠AED，即可得出结论；
（3）先判断出△AEP≅△FBP，即可得出结论．
【解答】
解：(1)依题意作出图形如图①所示，
(2)EB是平分∠AEC，
理由：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠C=∠D=90∘，CD=AB=2，BC=AD=3，
∵ 点E是CD的中点，
∴ DE=CE=12CD=1，
在△ADE和△BCE中，AD=BC∠C=∠D=90∘DE=CE ，
∴ △ADE≅△BCE，
∴ ∠AED=∠BEC，
在Rt△ADE中，AD=3，DE=1，
∴ tan∠AED=ADDE=3，
∴ ∠AED=60∘，
∴ ∠BEC=∠AED=60∘
∴ ∠AEB=180∘−∠AED−∠BEC=60∘=∠BEC，
∴ BE平分∠AEC；
(3)∵ BP=2CP，BC=3，
∴ CP=33，BP=233，
在Rt△CEP中，tan∠CEP=CPCE=33，
∴ ∠CEP=30∘，
∴ ∠BEP=30∘，
∴ ∠AEP=90∘，
∵ CD // AB，
∴ ∠F=∠CEP=30∘，
在Rt△ABP中，tan∠BAP=BPAB=33，
∴ ∠PAB=30∘，
∴ ∠EAP=30∘=∠F=∠PAB，
∵ CB⊥AF，
∴ AP=FP，
∴ △AEP≅△FBP，
∴ △PFB能由都经过P点的两次变换与△PAE组成一个等腰三角形，
变换的方法为：将△BPF绕点B顺时针旋转120∘和△EPA重合，①沿PE折叠，②沿AE折叠．
39.
【答案】
解：（1）①因一次函数y=x+2的图象经过点P(k, 5)，
所以得5=k+2，
解得k=3，
所以反比例函数的表达式为y=3x；
②联立得方程组y=x+2y=3x，
解得x=1y=3或x=−3y=−1，
经检验：都是原方程组的解，
故第三象限的交点Q的坐标为(−3, −1)．
（2）解：过点A作AG // DC，
∵ AD // BC，
∴ 四边形AGCD是平行四边形，
∴ GC=AD，
∴ BG=BC−AD=4−1=3，
在Rt△ABG中，
AG=2BG2=32，
∵ EF // DC // AG，
∴ EFAG=BEAB=12，
∴ EF=12AG=322．
【考点】
函数的综合性问题
勾股定理
平行四边形的应用
梯形
平行线分线段成比例
【解析】
（1）①由一次函数y=x+2的图象经过点P(k, 5)可以得到5=k+2，可以求出k，也就求出了反比例函数的表达式；
②由于点Q是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，联立得方程组y=x+2y=3x，解方程组即可求解；
（2）过点A作AG // DC，然后证明四边形AGCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得到GC=AD，然后利用已知条件求出BG，再在Rt△ABG中利用勾股定理求出AG，又EF // DC // AG，利用平行线分线段成比例即可解决问题．
【解答】
解：（1）①因一次函数y=x+2的图象经过点P(k, 5)，
所以得5=k+2，
解得k=3，
所以反比例函数的表达式为y=3x；
②联立得方程组y=x+2y=3x，
解得x=1y=3或x=−3y=−1，
经检验：都是原方程组的解，
故第三象限的交点Q的坐标为(−3, −1)．
（2）解：过点A作AG // DC，
∵ AD // BC，
∴ 四边形AGCD是平行四边形，
∴ GC=AD，
∴ BG=BC−AD=4−1=3，
在Rt△ABG中，
AG=2BG2=32，
∵ EF // DC // AG，
∴ EFAG=BEAB=12，
∴ EF=12AG=322．
40.
【答案】
梯形底边BC的长为8.1．
【考点】
全等三角形的判定
等腰梯形的性质
解直角三角形
【解析】
根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角边之间的关系解出所求边长．
【解答】
过A、D两点分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足为E、F．
∵ 梯形ABCD，∴ AD // BC，
又∵ AE⊥BC，DF⊥BC，
∴ AE // DF，∴ 四边形AEFD是矩形．
∴ AD＝EF，AE＝DF＝2．
又∵ 等腰梯形ABCD，∴ AB＝CD，∠B＝∠C，
∴ △ABE≅△DCF，∴ BE＝CF．
∵ 在Rt△ABE中，ctB=BEAE，
∴ BE＝AEctB＝2ct44∘，
∴ BC＝2BE+AD＝4ct44∘+4≈8.1．