2020-2021学年14.3.2 公式法精品复习练习题

这是一份2020-2021学年14.3.2 公式法精品复习练习题，文件包含专训1432公式法因式分解+因式分解应用-应用数学之2021-2022学年八年级上册考点专训原卷版人教版docx、专训1432公式法因式分解+因式分解应用-应用数学之2021-2022学年八年级上册考点专训解析版人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共44页， 欢迎下载使用。

专训14.3.2 公式法因式分解+因式分解应用
一、单选题
1．下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据完全平方公式的特点判断即可；
【详解】
不能用完全平方公式，故A不符合题意；
不能用完全平方公式，故B不符合题意；
，能用完全平方公式，故C符合题意；
不能用完全平方公式，故D不符合题意；
故答案选C．
【点睛】
本题主要考查了因式分解公式法的判断，准确判断是解题的关键．
2．下面的多项式中，能因式分解的是（　　）
A．m2+1 B．m2﹣m+1 C．mx+n D．m2﹣2m+1
【答案】D
【分析】
直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而得出答案．
【详解】
解：A．m2+1，不能因式分解，故不合题意；
B．m2-m+1，不能因式分解，故不合题意；
C．mx+n，不能因式分解，故不合题意；
D．m2-2m+1=(m-1)2，能因式分解，故符合题意；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
3．下列四个多项式中，能因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
尝试用提公因式或者公式法因式分解的方法分解各选项，即可
【详解】
A.B.C选项都不能通过提公因式或者公式法直接因式分解，
=，
故选D
【点睛】
本题考查了公式法分解因式，熟悉完全平方公式是解题的关键．
4．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是　　
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据平方差公式的定义判断即可；
【详解】
、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；
、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；
、原式，能利用平方差公式进行因式分解，符合题意；
、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意，
故选：．
【点睛】
本题主要考查了平方差公式的应用，准确判断是解题的关键．
5．下列因式分解正确的是（　　）
A．﹣a2﹣b2＝（﹣a+b）（﹣a﹣b） B．x2+16＝（x+4）2
C．a2﹣2a+4＝（a﹣2）2 D．a3﹣4a2＝a2（a﹣4）
【答案】D
【分析】
根据平方差和完全平方公式，逐一判断选项即可．
【详解】
A. ﹣a2﹣b2，不能因式分解，故该选项错误；
B. x2+16，不能因式分解，故该选项错误；
C. a2﹣2a+4，不能因式分解，故该选项错误；
D. a3﹣4a2＝a2（a﹣4），因式分解正确．
故选D．
【点睛】
本题主要考查分解因式，掌握平方差和完全平方公式分解因式，是解题的关键．
6．若能用完全平方公式进行因式分解，则常数的值是（ ）
A．或 B． C．-1 D．7或
【答案】D
【分析】
直接利用完全平方公式进而分解因式得出答案．
【详解】
解：∵a2+（m-3）a+4能用完全平方公式进行因式分解，
∴m-3=±4，
解得：m=-1或7．
故选：D．
【点睛】
本题考查了公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键．
7．下列各式用公式法分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
分别利用平方差公式与完全平方公式分解因式进而得出答案．
【详解】
A.不能用公式法分解因式，故错误；
B.，正确；
C. 不能用公式法分解因式，故错误；
D.不能用公式法分解因式，故错误；
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式与完全平方公式是解题关键．
8．下列因式分解结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
将各自分解因式后即可做出判断．
【详解】
解：A、原式=（x+1）（x+2），故本选项错误；
B、原式=（2x+3）（2x3），故本选项错误；
C、原式=（x2）（x3），故本选项正确；
D、原式=（x1）2，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】
此题考查了因式分解——十字相乘法，提公因式法，以及运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
9．下列多项式：①；②；③；④；⑤．能用公式法分解因式的是（ ）
A．①③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②③④⑤
【答案】C
【分析】
根据公式法的特点即可分别求解．
【详解】
①不能用公式法因式分解；
②，可以用公式法因式分解；
③不能用公式法因式分解；
④=，能用公式法因式分解；
⑤=，能用公式法因式分解．
∴能用公式法分解因式的是②④⑤
故选C．
【点睛】
此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知乘方公式的特点．
10．中三边a、b、c满足，则这个三角形一定为（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】
三项相乘得0，那么至少有一项为0，从而判断至少有两条边相等，所以一定为等腰三角形．
【详解】
∵ 则相乘的三项中至少有一项为0．
∴
∴
综上所述，三条边中至少有两条相等，所以△ABC一定为等腰三角形．
故选B．
【点睛】
本题考查多项式乘法与三角形的结合，理解多项式相乘为0的性质和等腰等边三角形的性质是解题关键．
二、填空题
11．分解因式：________．
【答案】
【分析】
先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式，即可．
【详解】
原式=
=，
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查分解因式，掌握提取公因式法以及完全平方公式是解题的关键．
12．分解因式：4x2y2+xy-1=___________________．
【答案】
【分析】
先拆项，再根据完全平方公式变形，最后根据平方差公式分解即可．
【详解】
解：
=
=
=
故答案为：．
【点睛】
本题考查了分解因式，能选择正确的方法分解因式是解此题的关键．
三、解答题
13．已知A＝16x2+4x，B＝4x+1，回答下列问题：
（1）求A+B，并将它因式分解；
（2）若A＝B，求满足条件的x的值．
【答案】（1）16x2+8x＋1，（4x＋1）2；（2）±
【分析】
（1）把A与B代入A＋B，分解因式即可；
（2）令A＝B，求出方程的解即可得到x的值．
【详解】
解：（1）∵A＝16x2+4x，B＝4x+1，
∴A＋B＝16x2+4x＋4x+1＝16x2+8x＋1＝（4x＋1）2；
（2）把A＝16x2+4x，B＝4x+1，代入A＝B得：16x2+4x＝4x+1，
解得：x＝±．
【点睛】
此题考查了利用平方根解方程，分解因式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
14．分解因式：
（1）x（x﹣2）﹣3（2﹣x）；
（2）﹣3a2＋6ab﹣3b2．
【答案】（1）（x﹣2）（x＋3）；（2）﹣3（a﹣b）2．
【分析】
（1）原式变形后，提取公因式即可得到结果；
（2）原式提公因式后，最后利用完全平方公式分解即可．
【详解】
解：（1）x（x﹣2）﹣3（2﹣x）
＝x（x﹣2）＋3（x﹣2）
＝（x﹣2）（x＋3）；
（2）﹣3a2＋6ab﹣3b2
＝﹣3（a2﹣2ab＋b2）
＝﹣3（a﹣b）2．
【点睛】
本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法是关键．
15．分解因式：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）直接提公因式n即可分解；
（2）直接利用平方差公式分解；
（3）先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式分解．
【详解】
解：（1）
=；
（2）
=；
（3）
=
=
【点睛】
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
16．因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先提取公因式，再用 平方差公式分解即可；
（2）先用完全平方公式分解，再提取公因式即可．
【详解】
解：（1）
＝
＝；
（2）
＝
＝．
【点睛】
本题考查了因式分解，解题关键是熟练运用提取公因式和公式法进行因式分解，注意：因式分解要彻底．
17．因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先提公因式，再用平方差公式分解因式即可；
（2）先用完全平方公式因式分解，再用平方差公式分解因式即可．
【详解】
解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】
本题主要考了多项式的因式分解，解题的关键是熟练掌握多项式的因式分解的方法——提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、分组分解法、十字相乘法，并根据多项式的特征灵活选取不同的方法，还要注意一定要分解彻底．
18．分解因式：
（1）x2﹣4y2；
（2）2a3﹣12a2+18a．
【答案】（1）（x+2y）（x-2y）；（2）2a（a-3）2
【分析】
（1）根据平方差公式计算；
（2）先提公因式2a，再用完全平方公式即可．
【详解】
解：（1）原式=x2-（2y）2
=（x+2y）（x-2y）；
（2）原式=2a（a2-6a+9）
=2a（a-3）2．
【点睛】
本题考查了因式分解的方法，牢记公式是解题的关键．
19．因式分解：
（1）3x2﹣3；
（2）x（x﹣4y）+4y2．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先提取公因式3，然后利用平方差公式求解即可；
（2）先去括号，然后利用完全平方公式求解即可．
【详解】
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】
本题主要考查了因式分解，解题的关键在于能够熟练掌握因式分解的方法．
20．阅读下列材料：整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解的过程．将“x2+2x”看成一个整体，令x2+2x＝y，则原式＝y2+2y+1＝（y+1）2再将“y”还原即可．
解：设x2+2x＝y．
原式＝y（y+2）+1（第一步）
＝y2+2y+1（第二步）
＝（y+1）2（第三步）
＝（x2+2x+1）2（第四步）．
问题：
（1）①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果 　 　；
②请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16进行因式分解；
（2）请你模仿以上方法尝试计算：
（1﹣2﹣3﹣…﹣2021）×（2+3+…+2022）﹣（1﹣2﹣3﹣…﹣2022）×（2+3+…+2021）．
【答案】（1）①没有，（x＋1）4；②（x−2）4；（2）2022
【分析】
（1）①根据因式分解的意义进行判断，再利用完全平方公式分解因式即可；②利用换元法进行因式分解即可；
（2）设x＝1−2−3−…−2021，y＝2＋3＋…＋2022，则1−2−3−…−2022＝x−2022，2＋3＋…＋2021＝y−2022，整体代入计算即可．
【详解】
解：（1）①没有，
设x2＋2x＝y．
原式＝y（y＋2）＋1（第一步）
＝y2＋2y＋1（第二步）
＝（y＋1）2（第三步）
＝（x2＋2x＋1）2（第四步）
＝（x＋1）4（第五步）．
故答案为：（x＋1）4；
②设x2−4x＝y．
原式＝y（y＋8）＋16
＝y2＋8y＋16
＝（y＋4）2
＝（x2−4x＋4）2
＝（x−2）4；
（2）设x＝1−2−3−…−2021，y＝2＋3＋…＋2022，
则1−2−3−…−2022＝x−2022，
2＋3＋…＋2021＝y−2022，
x＋y＝1＋2022＝2023，
所以原式＝xy−（x−2022）（y−2022）
＝xy−xy＋2022（x＋y）−20222
＝2022×2023−20222
＝2022（2022＋1）−20222
＝2022．
【点睛】
本题考查公式法分解因式，理解整体思想是解决问题的前提，掌握完全平方公式的结构特征和必要的恒等变形是正确解答的关键．
21．阅读下列材料：
材料1：将一个形如x²＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n则可以把x²＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）．
材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：将“x＋y看成一个整体，令xy＝A，则原式＝A²＋2A＋1＝（A＋1）²，再将“A”还原得：原式＝（x＋y＋1）²
上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2＋2x﹣24分解因式；
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题；
①分解因式：（x﹣y）²﹣8（x﹣y）＋16；
②分解因式：m（m﹣2）（m²﹣2m﹣2）﹣3
【答案】（1）（x-y-4）2；（2）①（x-y-4）2；②（m-3）（m+1）（m-1）2
【分析】
（1）将x2+2x-24写成x2+（6-4）x+6×（-4），根据材料1的方法可得（x+6）（x-4）即可；
（2）①令x-y=A，原式可变为A2-8A+16，再利用完全平方公式即可；
②令B=m（m-2）=m2-2m，原式可变为B（B-2）-3，即B2-2B-3，利用十字相乘法可分解为（B-3）（B+1），再代换后利用十字相乘法和完全平方公式即可．
【详解】
解：（1）x2+2x-24=x2+（6-4）x+6×（-4）=（x+6）（x-4）；
（2）①令x-y=A，则原式可变为A2-8A+16，
A2-8A+16=（A-4）2=（x-y-4）2，
所以（x-y）2-8（x-y）+16=（x-y-4）2；
②设B=m2-2m，则原式可变为B（B-2）-3，
即B2-2B-3=（B-3）（B+1）
=（m2-2m-3）（m2-2m+1）
=（m-3）（m+1）（m-1）2，
所以m（m-2）（m2-2m-2）-3=（m-3）（m+1）（m-1）2．
【点睛】
本题考查十字相乘法，公式法分解因式，掌握十字相乘法和完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
22．先阅读材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将x+y看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将A还原，得到原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是整体思想，整体思想是数学中常用的方法，请根据上面的方法将下面的式子因式分解：
（1）（a+b）（a+b﹣2）+1；
（2）（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）令，代入后因式分解，再代入即可将原式因式分解．
（2）令，代入后因式分解，再代入即可将原式因式分解．
【详解】
解：（1）令，则原式变为，
．
（2）令，则原式变为

【点睛】
本题考查因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
23．阅读材料：分解因式：x2+2x﹣3
解：原式＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）
此种方法抓住了二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项成为完全平方式，请仿照上面的方法，将下列各式因式分解：
（1）x2﹣6x﹣27
（2）x2﹣（2n+1）x+n2+n
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据题意所给方法先给原式加一个9再减去9，然后运用平方差公式因式分解即可；
（2）当二次项系数为1时，常数项是一次项系数一半的平方，即加上一个再减去一个，化简后运用平方差公式因式分解即可．
【详解】
（1）x2﹣6x﹣27
=x2﹣6x+9-9-27
=(x-3)2-36
=(x-3+6)(x-3-6)
=(x+3)(x-9)；
（2）x2﹣（2n+1）x+n2+n

=
=
=
=
=
【点睛】
本题主要考查公式法因式分解，明确当二次项系数为1时，常数项是一次项系数一半的平方是解题的关键．
24．某老师在讲因式分解时，为了提高同学们的思维训练力度，他补充了一道这样的题：对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解，有个学生解答过程如下，并得到了老师的夸奖：
解：设x2﹣4x=y．
原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）
=y2+8y+16（第二步）
=（y+4）2（第三步）
=（x2﹣4x+4）2（第四步）
根据以上解答过程回答以下问题：
（1）该同学第二步到第三步的变形运用了　　（填选项）；
A．提取公因式法
B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式
D．两数差的完全平方公式
（2）第四步的结果继续因式分解得到结果为　　；
（3）请你模仿以上方法对多项式（x2+6x）（x2+6x+10）+25进行因式分解．
【答案】（1）C；（2）（x﹣2）4；（3）(x+1)2(x+5)2．
【分析】
（1）利用完全平方公式判断即可；
（2）检查第四步结果，利用完全平方公式分解即可；
（3）仿照阅读材料中的方法将原式分解即可．
【详解】
（1）该同学第二步到第三步的变形运用了完全平方公式，
故选：C；
（2）第四步的结果还能继续因式分解，直接写出结果(x﹣2)4；
故答案为：(x﹣2)4；
（3）设x2+6x=y，
原式=y(y+10)+25
=y2+10y+25
=(y+5)2
=(x2+6x+5)2．
=(x+1)2(x+5)2．
【点睛】
本题考查了因式分解-运用公式法，以及提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
25．计算：（要求：应用因式分解巧算，写明计算过程）
（1）；
（2）；
（3）；
（4）已知，，求的值．
【答案】（1）7；（2）10；（3）0.999；（4）
【分析】
（1）根据因式分解的方法，提出公因数，进而计算即可；
（2）提出公因数，再进行计算即可；
（3）提出公因数，再进行计算即可；
（4）提出公因式，进而代入求值即可；
【详解】
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）

当，时，
原式．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，掌握因式分解的方法是解题的关键．
26．简便计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）45.8；（2）80；（3）4000000
【分析】
（1）利用平方差公式即可求解；
（2）提取8，故可求解；
（3）利用完全平方公式即可求解．
【详解】
（1）
=
=10×4.58
=45.8；
（2）
=
=8×10
=80
（3）
=
=
=20002
=4000000．
【点睛】
此题主要考查因式分解的应用，解题的关键是熟知提公因式法、公式法分解因式．
27．用简便方法计算：
（1）8502﹣1700×848+8482
（2）
【答案】（1）4；（2）．
【分析】
（1）原式变形后，利用完全平方公式化简，计算即可得到结果．
（2）利用平方差公式分解后，计算即可得到结果．
【详解】
解：（1）8502﹣1700×848+8482
=8502-2×850×848+8482
=(850-848)2
=4；
（2）




．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解本题的关键．
28．利用因式分解计算：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）5050；（2）564；（3）
【分析】
（1）原式结合后，利用平方差公式计算即可得到结果；
（2）原式第二项分子分母乘以52-1，利用平方差公式化简，计算即可得到结果；
（3）原式计算后，提取公因式，约分即可得到结果．
【详解】
解：（1）1002-992+982-972+…+42-32+22-12
=（100+99）（100-99）+（98+97）（98-97）+…+（4+3）（4-3）+（2-1）（2+1）
=100+99+98+97+…+4+3+2+1
=101×50
=5050；
（2）1+24（52+1）（54+1）（58+1）•…•（532+1）
=1+24××（52+1）（54+1）（58+1）•…•（532+1）
=1+564-1
=564；
（3）
=
=
=
【点睛】
此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
29．如图，在一块长为米，宽为米的长方形广场中心，留一块长为米，宽为米的活动场地，其余的地方做花坛．
（1）求花坛的面积；
（2）当，，且修建花坛每平方米需花费50元时，则修建整个花坛需要多少元？

【答案】（1）花坛的面积为平方米；（2）修建整个花坛需要元
【分析】
（1）根据题意可知长方形广场的面积为平方米，活动场地的面积为平方米，结合图形可知花坛的面积长方形广场的面积活动场地的面积，从而进行计算即可；
（2）根据提公因式及平方差公式得到，从而将，代入求解即可．
【详解】
解：（1）根据题意可知长方形广场的面积为平方米活动场地的面积为平方米，
故花坛的面积为平方米；
（2）当，时，，
（平方米），
答：修建整个花坛需要80000元．
【点睛】
本题考查因式分解的应用，解题的关键是应结合图形从中寻找等量关系（花坛的面积长方形广场的面积活动场地的面积），并适当地运用因式分解来简化计算过程．
30．（例题讲解）因式分解：x3﹣1．
∵x3﹣1为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想x3﹣1可以分解成（x﹣1）（x2+ax+b），展开等式右边得：x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b，∴x3﹣1＝x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b恒成立．
∴等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即解得．
∴x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）．
（方法归纳）
设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法．
（学以致用）
（1）若x2﹣mx﹣12＝（x+3）（x﹣4），则m＝　 　；
（2）若x3+3x2﹣3x+k有一个因式是x+1，求k的值；
（3）请判断多项式x4+x2+1能否分解成两个整系数二次多项式的乘积，若能，请直接写出结果，否则说明理由．
【答案】（1）1；（2）－5；（3）能，（x2+x+1）（x2﹣x+1）
【分析】
（1）根据题目中的待定系数法原理即可求得结果；
（2）根据待定系数法原理先设另一个多项式，然后根据恒等原理即可求得结论；
（3）根据待定系数原理和多项式乘以多项式即可求得结论．
【详解】
解：（1）∵（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣12，
∴﹣m＝﹣1，
∴m＝1，
故答案为：1；
（2）设另一个因式为（x2+ax+k），
（x+1）（x2+ax+k）＝x3+ax2+kx+x2+ax+k＝x3+（a+1）x2+（a+k）x+k，
∴x3+（a+1）x2+（a+k）x+k＝x3+3x2﹣3x+k，
∴a+1＝3，a+k＝﹣3，
解得a＝2，k＝﹣5；
答：k的值为﹣5；
（3）多项式x4+x2+1能分解成两个整系数二次多项式的乘积．理由如下：
设多项式x4+x2+1能分解成①（x2+1）（x2+ax+b）或②（x2+x+1）（x2+ax+1），
①（x2+1）（x2+ax+b）
＝x4+ax3+bx2+x2+ax+b
＝x4+ax3+（b+1）x2+ax+b，
∴a＝0，b+1＝1，b＝1，
由b+1＝1得b＝0≠1，
②（x2+x+1）（x2+ax+1）
＝x4+（a+1）x3+（a+2）x2+（a+1）x+1，
∴a+1＝0，a+2＝1，
解得a＝﹣1．
即x4+x2+1＝（x2+x+1）（x2﹣x+1），
∴x4+x2+1能分解成两个整系数二次三项式的乘积却不能分解成两个整系数二次二项式与二次三项式的乘积．
答：多项式x4+x2+1能分解成两个整系数二次三项式的乘积．
【点睛】
本题主要考查了多项式乘以多项式，因式分解，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
31．（1）已知、满足，求的值；
（2）若一个三角形的三边、、满足，试说明该三角形是等边三角形．
【答案】（1）1；（2）说明见解析．
【分析】
（1）先把原等式化为：，再利用非负数的性质求解 从而可得答案；
（2）先把条件化为：，再利用非负数的性质可得： 从而可得结论.
【详解】
解：（1）



解得：

（2）




为等边三角形
【点睛】
本题考查的是完全平方式的灵活运用，因式分解的应用，非负数的性质，等边三角形的判定，熟练确定一个代数式是完全平方式是解题的关键.
32．（画图痕迹用黑色签字笔加粗加黑）
如图，正方形纸片A类，B类和长方形纸片C类若干张，
（1）①请你选取适当数量的三种纸片，拼成一个长为、宽为的长方形，画出拼好后的图形．

②观察拼图共用__________张A类纸片，__________张B类纸片，__________张C类纸片，通过面积计算可以发现=__________．
（2）①请你用这三类卡片拼出面积为的长方形，画出拼好后的图形．

②观察拼图共用__________张A类纸片，__________张B类纸片，__________张C类纸片，通过面积计算可以发现__________．
③利用拼图，把下列多项式因式分解
=__________；__________．
【答案】①见解析；②1，2，3，；（2）①见解析；②3，1，4，；③；
【分析】
（1）由如图要拼成一个长为、宽为的长方形，即可得出答案；‚利用面积公式可得出这个；
（2）根据题意画出相应图形；‚利用面积公式可得出；ƒ根据长方形的面积分解因式．
【详解】
①解：如图：

②1，2，3，
；
（2）①解：如图：

②3，1，4．
；
③
；
【点睛】
本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是能运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解．
33．在“整式乘法与因式分解“一章的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，借助直观、形象的几何模型，加深对公式的认识和理解，从中感悟数形结合的思想方法，感悟几何与代数内在的统一性，根据课堂学习的经验，解决下列问题：

（1）如图1，有若干张A类、C类正方形卡片和B类长方形卡片（其中a＜b），若取2张A类卡片、3张B类卡片、1张C类卡片拼成如图的长方形，借助图形，将多项式2a2+3ab+b2分解因式：2a2+3ab+b2＝　 　．
（2）若现有3张A类卡片，6张B类卡片，10张C类卡片，从其中取出若干张，每种卡片至少取一张，把取出的这些卡片拼成一个正方形（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分），则拼成的正方形的边长最大是　 　．
（3）若取1张C类卡片和4张A类卡片按图3、4两种方式摆放，求图4中，大正方形中未被4个小正方形覆盖部分的面积（用含m、n的代数式表示）．
【答案】（1）（2a+b）（a+b）；（2）a+3b；（3）mn
【分析】
（1）用两种方法表示正方形的面积，即可得到答案；
（2）先算出纸片的总面积，然后凑出完全平方公式，进而即可求解；
（3）根据图（3）用含m，n的代数式表示a，b，进而即可求解．
【详解】
解：（1）∵长方形的面积=2a2+3ab+b2，长方形的面积=（2a+b）（a+b），
∴2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b），
故答案是：（2a+b）（a+b）；
（2）由题意可知：这些纸片的总面积=3a2+6ab+10b2，
∵需要拼成正方形，
∴取a2+6ab+9b2=（a+3b）2，此时正方形的边长为a+3b，
故答案是：a+3b；
（3）由图（3）可知：2a+b=m，由图（4）可知：b-2a=n，
∴，，
∴大正方形中未被4个小正方形覆盖部分的面积=．
【点睛】
本题主要考查完全平方公式和几何图形的面积，用代数式表示图形的面积，掌握完全平方公式，是解题的关键．