人教版八年级上册第十四章 整式的乘法与因式分解14.3 因式分解14.3.1 提公因式法精品精练

   专训14.3.1 提公因式法

一、单选题

1．下列变形属于因式分解的是（    ）

A．x2+2x+1＝x（x+2）+1 B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1

C．x2+4x＝x（x+4） D．a（x﹣y）＝ax﹣ay

【答案】C

【分析】

根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解进行判断即可．

【详解】

解：A、右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；

B、右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；

C、是因式分解，符合题意；

D、右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；

故选C．

【点睛】

本题主要考查了因式分解的定义，解题的关键在于能够熟练掌握因式分解的定义．

2．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

将多项式写成几个整式的积的形式，叫做将多项式分解因式，也叫因式分解，根据定义解答．

【详解】

解：A、不是因式分解；

B、不是因式分解；

C、是因式分解；

D、不是因式分解；

故选：C．

【点睛】

此题考查因式分解，掌握因式分解的定义及因式分解的方法是解题的关键．

3．下列由左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　）

A．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 B．x2﹣1＝x（x﹣）

C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x D．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4

【答案】A

【分析】

根据因式分解的定义逐个判断即可．

【详解】

解：A、x2-4x+4=（x-2）2，是因式分解，故本选项符合题意；

B、x2-1=x（x-），不是整式 ，所以不是因式分解，故本选项不符合题意；

C、x2-4+3x=（x+2）（x-2）+3x，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；

D、（x+2）（x-2）=x2-4，是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；

故选：A．

【点睛】

本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．

4．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

根据因式分解定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式为因式分解，利用因式分解定义对选项进行一一判断即可．

【详解】

解：A. 是因式分解，故选项A正确；   

B. 是多项式乘法，故选项B不正确；

C. 不是因式分解，故选项C不正确；   

D. 是单项式乘的逆运算，不是因式分解，故选项D不正确．

故选择A．

【点睛】

本题考查多项式的因式分解，掌握多项式的因式分解定义与特征是解题关键．

5．学完因式分解后，李老师在黑板上写下了4个等式：①；②；③；④．其中是因式分解的有（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】B

【分析】

把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，根据定义即可判断．

【详解】

①不是因式分解，故错误；

②结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，故错误；

③是因式分解；

④结果含有分式，故错误；

故选B

【点睛】

本题考查了因式分解的定义，因式分解是整式的变形，注意结果是整式的乘积的形式，并且变形前后值不变．

6．多项式中，各项的公因式是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据公因式的定义：一个多项式中每一项都含有的相同的因式，进行求解即可．

【详解】

解：中每一项都含有，

∴的公因式是，

故选A．

【点睛】

本题主要考查了公因式的定义，解题的关键在于能够熟知定义．

7．多项式的各项公因式是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项．

【详解】

解：系数的最大公约数是4，相同字母的最低指数幂是mn，

所以多项式的各项公因式是4mn，

故选：C．

【点睛】

此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“-1”．

8．多项式2xmyn﹣1﹣4xm﹣1yn（m，n均为大于1的整数）各项的公因式是（　　）

A．4xm﹣1yn﹣1 B．2xm﹣1yn﹣1 C．2xmyn D．4xmyn

【答案】B

【分析】

直接利用公因式的定义进而得出各项的公因式．

【详解】

解：多项式2xmyn-1-4xm-1yn（m，n均为大于1的整数）各项的公因式是：2xm-1yn-1．

故选：B．

【点睛】

此题主要考查了公因式，正确把握公因式的定义是解题关键．

9．多项式的公因式是（　　）

A．x2y3 B．x4y5 C．4x4y5 D．4x2y3

【答案】D

【分析】

根据公因式的意义，将原式写成含有公因式乘积的形式即可．

【详解】

解：因为，

所以的公因式为，

故选：D．

【点睛】

本题考查了公因式，解题的关键是理解公因式的意义是得出正确答案的前提，将各个项写成含有公因式积的形式．

10．代数式，，中的公因式是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

先把5a2b（b−a）变形为−5a2b（a−b），−120a3b3（a2−b2）变形为−120a3b3（a＋b）（a−b），再根据确定公因式的方法确定公因式即可得出答案．

【详解】

解：因为5a2b（b−a）＝−5a2b（a−b），−120a3b3（a2−b2）＝−120a3b3（a＋b）（a−b），
所以代数式15a3b3（a−b），5a2b（b−a），−120a3b3（a2−b2）中的公因式是5a2b（b−a）．
故选：A．

【点睛】

本题主要考查了公因式，熟练应用公因式的概念进行求解是解决本题的关键．

11．分解因式的结果是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

直接提公因式分解因式即可．

【详解】

解：

故选C．

【点睛】

此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．

12．下列各式中，运用提取公因式分解正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

分别将各选项利用提取公因式分解因式进而判断得出即可．

【详解】

解：A.，分解错误，不符合题意；

B. ，分解错误，不符合题意；

C. ，分解错误，不符合题意；

D. ，分解正确，符合题意；

故选D．

【点睛】

此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．

13．下列因式分解正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

根据因式分解的定义与方法对选项进行一一分析即可得出结论．

【详解】

解：A. 不是因式分解，故选项A不正确；

B. 是因式分解，故选项B正确；

C.     是多项式乘法，不是因式分解，故选项C不正确；

D. 因式分解不正确，故选项D不正确．

故选择B．

【点睛】

本题考查因式分解的定义与方法，掌握因式分解的定义与方法是解题关键．

14．已知多项式3x2＋bx＋c分解因式为3(x－3)(x＋1)，则b、c的值为（    ）

A．b＝3，c＝－1 B．b＝－6，c＝-9

C．b＝－6，c＝9 D．b＝－4，c＝-6

【答案】B

【分析】

根据整式的计算，得到3(x－3)(x＋1)=，根据两个整式相等，得到一次项系数和常数项分别相等，即可得出结果．

【详解】

3x2＋bx＋c=3(x－3)(x＋1)

，c=-9，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算及代数式相等的条件，属于基础题，将已知的式子进行乘法运算是解题的关键．

15．把多项式因式分解，得，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a与b的值，即可求出a+b的值．

【详解】

解：根据题意得：

∴，

∴，，

∴，

故选A．

【点睛】

本题考查因式分解，解决本题的关键是要理解两个多项式相等的条件，两个多项式分别经过合并同类项后，如果他们的对应项系数都相等,那么称这两个多项式相等．

16．若x2+mx+n分解因式的结果是（x﹣2）（x+1），则m+n的值为（　　）

A．﹣3 B．3 C．1 D．﹣1

【答案】A

【分析】

先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再根据已知条件求出m、n的值，最后求出答案即可．

【详解】

解：（x﹣2）（x+1）

＝x2+x﹣2x﹣2

＝x2﹣x﹣2，

∵二次三项式x2+mx+n可分解为（x﹣2）（x+1），

∴m＝﹣1，n＝﹣2，

∴m+n＝﹣1+（﹣2）＝﹣3，

故选：A．

【点睛】

本题考查了多项式乘以多项式法则和分解因式，能够理解分解因式和多项式乘多项式是互逆运算是解决本题的关键．

17．若多项式x2+mx+n因式分解的结果为（x﹣3）•（x+1），则m，n的值分别为（　　）

A．﹣2，﹣3 B．﹣2，3 C．2，﹣3 D．2，3

【答案】A

【分析】

根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得m、n的值．

【详解】

解：∵

=

=

∴m=-2，n=-3，

故选：A．

【点睛】

本题考查了因式分解的定义和多项式的乘法，解题的关键是将因式分解的结果展开．

18．若多项式可分解为，且，，均为整数，则的值是（    ）

A．2 B．4 C． D．

【答案】C

【分析】

把用多项式乘法计算出来对比原式，结合题中条件，分析的值．

【详解】

又

，，均为整数

故选C．

【点睛】

本题考查了多项式的乘法，因式分解的概念，熟练多项式的乘法根据条件求出的值是解题的关键．

19．多项式的公因式是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

根据题意可直接进行求解．

【详解】

解：由多项式可知该多项式的公因式为；

故选C．

【点睛】

本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式是解题的关键．

二、填空题

20．若x＋y＝6，xy＝4，则x2y＋xy2＝________．

【答案】24

【分析】

先对后面的式子进行因式分解，然后根据已知条件代值即可．

【详解】

x＋y＝6，xy＝4，

x2y＋xy2

故答案为：24．

【点睛】

本题主要考查提取公因式进行因式分解，属于基础题，比较容易，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．

21．分解因式：______．

【答案】

【分析】

先将提取负号，再提取公因式即可．

【详解】

解：

，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查的是提公因式法因式分解，解题关键是熟练掌握找公因式的方法，以及提负号的方法．

22．若多项式可分解因式，则_______，_______．

【答案】64    9   

【分析】

利用平方差公式可得，进而可得答案．

【详解】

解：∵多项式可分解因式，

∴，

∴m=64，n=9．

故答案为：64，9．

【点睛】

此题主要考查了因式分解，关键是掌握平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）．

23．已知关于的多式的一个因式是，则的值是__．

【答案】

【分析】

设另一个因式为，根据多项式乘以多项式展开，左右两边对比得到等量关系求解即可；

【详解】

设另一个因式为，

则，

即，

，

解得，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了多项式乘以多项式的应用，准确计算是解题的关键．

三、解答题

24．分解因式：

（1）；                

（2）（其中）；

（3）；                    

（4）．

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）

【分析】

（1）提取公因式即可求解；

（2）提取公因式即可求解；

（3）提取公因式即可求解；

（4）提取公因式即可求解．

【详解】

解：（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）

．

【点睛】

本题主要考查了分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握分解因式的方法．

25．分解因式：

（1）；              

（2）；

（3）；                 

（4）．

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）

【分析】

直接提取公因式法逐一分解即可．

【详解】

解：（1）

（2）

（3）

（4）

【点睛】

本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法是解决本题的关键．

26．先阅读下面的解法，然后解答问题．

例：已知多项式3x3-x2+m分解因式的结果中有一个因式是（3x+1），求实数m．

解：设3x3-x2+m=（3x+1）•K（K为整式）

令（3x+1）=0，则x=-，得3（-）3-（-）2+m=0，∴m=

这种方法叫特殊值法，请用特殊值法解决下列问题．

（1）若多项式x2+mx-8分解因式的结果中有一个因式为（x-2），则实数m=     ；

（2）若多项式x3+3x2+5x+n分解因式的结果中有一个因式为（x+1），求实数n的值；

（3）若多项式x4+mx3+nx-14分解因式的结果中有因式（x+1）和（x-2），求m，n的值．

【答案】（1）2；（2）n=3；（3）．

【分析】

（1）根据题干中的例题，因式分解，然后由特殊值法求得的值；

（2）根据题干中的例题，写成因式分解的形式，然后由特殊值法求得的值；

（3）根据题干中的例题，写成因式分解的形式，然后由特殊值法求得关于的方程组，求解方程组即可求得的值．

【详解】

解：（1）由题意得，x2+mx-8=（x-2）•K（K为整式），

令x-2=0，则x=2，

把x=2代入x2+mx-8=0，

得，m=2，

故答案为：2；

（2）设：x3+3x2+5x+n=（x+1）•A（A为整式），

若x3+3x2+5x+n=（x+1）•A=0，则x+1=0或A=0，

当x+1=0时，x=-1．

则x=-1是方程x3+3x2+5x+n=0的解，

∴（-1）3+3×（-1）2+5×（-1）+n=0，即-1+3-5+n=0，

解得，n=3；

（3）设x4+mx3+nx-14=（x+1）（x-2）•B（B为整式），

若x4+mx3+nx-14=（x+1）（x-2）•B=0，则x+1=0或x-2=0或B=0，

当x+1=0时，即x=-1，

∴（-1）4+m•（-1）3+n•（-1）-14=0，

即m+n=-13①，

当x-2=0时，即x=2，

∴24+m•23+n•2-14=0，

即4m+n=-1②，

联立①②解方程组得：．

【点睛】

本题考查了方程的根的定义，因式分解的定义，解二元一次方程组，理解题意，运用特殊值法解决是解题的关键．