初中数学人教版八年级上册14.3.2 公式法教学课件ppt

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14.3.3 运用完全平方公式因式分解
人教版数学八年级上册
1.理解并掌握用完全平方公式分解因式．（重点）2.灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解进行计算．（难点）
(a＋b)2=a2＋2ab＋b2，(a－b)2=a2－2ab＋b2.
可以合写成 (a±b)2=a2±2ab＋b2
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.
(简记为：“首平方，尾平方，积的2倍中间放”)
计算下列各式：①(x+2)2=____________； ②(x-2)2=____________；③(2x+3y)2=______________； ④(2x-3y)2=______________.
x2＋4x＋4
x2 - 4x＋4
4x2+12xy＋9y2
4x2-12xy＋9y2
多项式 a2+2ab+b2 与 a2-2ab+b2 有什么特点？你能将它们分解因式吗？
（1）每个多项式有几项？
（3）中间项和第一项、第三项有什么关系？
（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
这两项都是数或式的平方，并且符号相同
中间项是第一项和第三项底数的积的±2倍
三项
我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.
完全平方式的特点：1.必须是三项式(或可以看成三项的)2.有两个同号的平方项3.有一个乘积项(等于平方项底数的±2倍)简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.
 
×
√
√
√
×
×
 
 
D
【点睛】本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．
 
±8
C
把整式乘法的完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2的等号两边互换位置，就得到
a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
例2.分解因式：(1) 16x2+24x+9 (2) -x2+4xy-4y2
分析：在(1)中，16x2=(4x)2，9=32，24x=2·4x·3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即
16x2+24 x+9= (4 x)2 + 2·4 x·3 + 32
a2
+
2 · a ·b + b2
解：(1)原式=(4 x)2+2·4 x·3+32=(4x+3)2
例2.分解因式：(1) 16x2+24x+9 (2) -x2+4xy-4y2
(2)原式=-(x2-4xy+4y2) =-[(x2-2·x·2y+(2y)2] =-(x-2y)2
分析:(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为-(x2-4xy+4y2)，然后再利用公式分解因式.
分解因式：(1) x2+12x+36 (2) -2xy-x2-y2 (3) a2+2a+1 (4) 4x2-4x+1
解：(1)原式= x2+2·x 6+62=(x+6)2(2)原式= -(x2+2xy+y2)=-(x+y)2(3)原式=(a+1)2(4)原式=(2x)2-2·2x·1+1=(2x-1)2
例3.分解因式：(1) 3ax2+6axy+3ay2 (2) (a+b)2-12(a+b)+36
分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解；(2)中，将a+b看作一个整体，设a+b=m，则原式化为完全平方式m2-12m+36.
解：(1)原式=3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2
(2)原式=(a+b)2-2·(a+b)·6+62=(a+b-6)2
分解因式：(1) ax2+2a2x+a3 (2) -3x2+6xy-3y2 (3) (x+y)2-12x-12y+36
解：(1)原式= a(x2+2ax+a2)=a(x+a)2
(3)原式=(x+y)2-12(x+y)+36=(x+y)2-2·(x+y)·6+62=(a+b-6)2
(2)原式= -3(x2-2xy+y2)=-3(x-y)2
把整式乘法的平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2和完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式：
用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
例4.把下列各式分解因式:(1) (x2+y2)2-4x2y2 (2)4x2(x-1)-16(1-x)2 (3)16x4-72x2+81
解: (1) 原式=(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy)=(x+y)2(x-y)2
(2)原式=4x2(x-1)-16(x-1)2=4(x-1)[x2-4(x-1)]=4(x-1)(x2-4x+4)=4(x-1)(x-2)2
(3)原式=(4x2)2-2 · 4x2 · 9+92= (4x2-9)2=[(2x+3)(2x-3)]2=(2x+3)2(2x-3)2
例5.简便计算：(1)1002－2×100×99+99²； (2)342＋34×32＋162.
解：(1)原式=（100－99)²=1；
(2)原式＝(34＋16)2＝2500.
 
 
已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
解：△ABC是等边三角形．理由如下：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即(a－b)2＋(b－c)2＝0，∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形．
1.下列式子为完全平方式的是( )A. a2+2a+b2 B. a2+2a+2 C. a2-2+b2 D. a2+2a+1.2.分解因式x2-2x+1的最终结果是( )A.x(x-2)+1 B. (x+1) (x-2) C. (x-1)2 D. (x+1)23.分解因式后结果是-(x-y)2的多项式是( )A.-x2+2xy-y2 B. x2-2xy-y2 C. x2-2xy+y2 D. -x2-2xy-y2
D
C
A
 
D
A
D
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
（2）20222-2022×4042+20212=20222-2×2022×2021+20212=（2022-2021）2=12=1．
14.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值；(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
解：(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.当a－b＝3时，原式＝32＝9.(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.当ab＝2，a＋b＝5时，原式＝2×52＝50.
 
 
 
 
完全平方式的特点：1.必须是三项式(或可以看成三项的)2.有两个同号的平方项3.有一个乘积项(等于平方项底数的±2倍)简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.
把整式乘法的完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2的等号两边互换位置，就得到
a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
把整式乘法的平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2和完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式：
用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.