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苏科版九年级上册2.1 圆教学设计
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这是一份苏科版九年级上册2.1 圆教学设计，共12页。
【关键词】 动手操作 自己设计问题 自主探究 发现数学
对于章头图导学课，相信大家都比较陌生，它力图通过短短的图文，揭示本章的学习内容、知识结构、思想方法等，那么，如何把这一张图与本章所有的知识点联系起来，又要在学生并未学习本章新知识之前，自己探索发现新的知识，无疑是我们教者该静下心来认真研究的。
初见“章头图导学课”
初次见到章头图导学课，早在2008年5月份，在第十届“五四杯”青年教师教育教学论文大赛颁奖大会期间（江苏省教育厅主办），符永平老师应主办方邀请，上了一节课改汇报课：一元二次方程章头图导学课，受到专家和听课老师的一致好评，其课型结构主要为“为什么要学这一章”“学什么”“怎么学”“如何培养学生的信心”等，这节课让我们“耳目一新”，用时也记忆犹新，于是便一直想着也尝试上一节章头图导学课，下面以《圆章头图导学课》为例，谈一谈我的想法和做法。
二、教材分析和设计创意
本节课是九年级上册第二章《对称图形--圆》的章头图，对于本章的知识点，归一下类，无非就是六大部分内容：1.圆的定义及相关概念；（通过画圆的过程，可以得到圆的描述性定义）2.圆的对称性；（通过把一个圆沿着直径翻折，即可得到圆的轴对称性；通过把一个圆绕着圆心旋转，即可得到圆的中心对称性）；3.与圆有关的计算；（通过翻折，除了得到线段相等、角相等、三角形全等外，还能生成新的知识：弧相等，引出弧的概念后，自然探讨弧长的求法，弧长的求法与圆的周长有关，由圆的周长自然想到圆的面积，圆的面积自然反过来想到扇形的面积）4.位置关系；（由弧的定义，找到关键词“圆上”，于是发现有的点在圆上，有的点不在圆上，进而得到点和圆的三种位置关系，此时还渗透了非常重要的贯穿本章的数学思想方法：数形结合思想和分类讨论思想，接下来由点和圆的位置关系，自然联想到直线和圆的位置关系）5.圆与多边形的关系。（在得到直线与圆的位置关系后，直线移动过程中必然出现两条直线都经过圆心，并互相垂直的情况，此时依次连接四个与圆相交的点，必然得到一个正方形，顺理成章地得到了圆与多边形的关系）而刚才的所有内容，都是通过一个最基本的图形一步一步引申拓展的，而要得到这些结论，必然需要同学们动手操作，自主探究，从而发现新的与圆有关的知识。于是就有了如下的课堂：
三、教学设计和课堂实录
（一）创设情境，引入新课
师：（展示摩天轮）同学们，首先请看这张图片，你们觉得这张图片中最吸引你眼球的是什么呢？
生齐答:摩天轮。
师：是的，这是我们宿迁欢乐岛上的摩天轮，它是长三角地区最高的摩天轮，在世界排名第四，所以，趁着假期，同学们可以去玩一玩，领略它的美与壮观！（设计意图：以身边的摩天轮为例，让学生感受到真实，同时激发了学生探究的欲望）
师：再回到这张图，（用手比划）你们看到摩天轮，会回想起以前学过的什么图形呢？
生：圆。（教师板书：圆）
师：是的，那么，在现实生活中，你们还能举出哪些与圆有关的例子吗？
生1：车轮。
师：对！还有吗？
生2：呼啦圈。
师：对！还有吗？
生3：月饼；
师：应该是什么形状的月饼？
生3改正：圆形的月饼。
师：对！还有吗？
生4：太阳。
师：对！还有吗？
生5：月亮。
...（设计意图：再次让学生感受圆是生活中常见的图形）
（二）温故知新，定义引入
师：对！同学们列举出了很多生活中与圆有关的例子（展示幻灯片），是的，圆是生活中常见的物体，很多物体给我们以圆的形象！著名的希腊数学家毕达哥拉斯认为：在一切平面图形中，圆是最美的图案，既然圆那么美，你们会画圆吗？（设计意图：让学生学会欣赏，欣赏圆的美，从而有种迫切的愿望想把圆画出来）
生齐答：会！
师：那你们准备怎么画圆呢？
生：圆规！
师：其实画圆的方法有很多种，同学们之前都学过，既然大家异口同声地提到用圆规画圆，那么就请大家用圆规在刚才发的白纸上画一个圆，并把画好的圆剪下来。（设计意图：本节课就是试图通过多次翻折生成一系列的结论，剪下来才便于动手操作）
我请一位同学在黑板上画圆，请你！
生6：（在黑板上画出了一个圆）
师：画好圆并把圆剪下来的同学请举手示意我一下！
（等到所有同学都举手了再继续）
好！现在请刚才在黑板上画圆的同学说说你是怎么画出这个圆的？
（设计意图：让学生通过表达画圆的过程，自然而然地得到圆的描述性定义）
生6：把圆规的尖头作为圆心。
师：好，请把圆心用字母O来表示，接下来呢？
生6：把圆规拉开一段距离，圆规的尖头和笔头之间的距离作为半径。
师：好，请把半径画出来，另一端标上字母A。（用手示意这位学生在什么位置画）
我们可以把半径看做一条
生6：线段！
师：那么，请你把半径看做一条线段，描述一下你刚才画圆的过程吧！
生6：把一条线段OA绕着固定的短点O旋转一周，另一个短点A形成的图形叫做圆！
师：很好！请回到自己的位置上！其实同学们，这位同学不仅画出了圆，还得到了圆的描述性定义！为他点赞！（教师板演：1.圆的定义）
当然，前提条件是在一个平面内！
师追问：通过刚才画圆的过程以及圆的描述性定义，你们觉得画圆的关键是什么呢？
生7：圆心！
师：没错！圆心决定什么？（图1）
生7：圆的位置。
师：还有呢？
生7：半径！
师：没错！半径决定什么？
生7：圆的大小！
师：对！那么通过刚才圆的描述性定义，你们觉得圆是指圆周还是圆面？
生齐答：圆周！（设计意图：很多学生认为圆是圆面，此时通过圆的定义让学生明白：圆是指圆周）（如图1）
(三)巧用操作，性质呈现
师：是的，所以，刚才大家列举的例子只能说是与圆有关或给我们以圆的形象，而不能说整个物体都是圆。
接下来，我们再来看这个最基本的图形！由半径你们会想到什么呢？
生8：直径！
师：请你上黑板画一条与OA有关的直径吧。
生8上黑板画图：（如图2）（延长AO，画出一条直径AB）（图2）
师：其实一个圆有多少条直径？
生齐答：无数条！
师：没错！我们现在画的是与OA有关的直径。
师追问：那么由直径我们会想到什么呢？仍然请你回答。
生8：把这个圆沿着直径翻折！
师：很好！请回到自己的位置上！
同学们，请把手中的圆形纸片沿着直径AB翻折，你们发现了什么？
生9：直径两旁的部分能完全重合！
师：没错！这说明什么？
生9：说明它是一个轴对称图形！（设计意图：由半径自然想到直径，由直径自然想到翻折，由翻折自然想到轴对称性，从而得到圆的很重要的性质：对称性）
师：很好！（师板演：2.圆的对称性：（1）轴对称图形；）
接下来，我在圆上任点一个点C，我们再把这张圆形纸片翻折，你们又能发现什么呢？
生10：能找到点C的对称点D。
师追问：接下来你准备怎么操作？ （图3）
生10：连接CD！
师继续追问：连接CD能得到什么结论？
生10：AB垂直平分CD。
师：很好！这是根据什么知识一步到位的？
生10：以前学过的轴对称的知识。（如图3）
师：很好！我们通过翻折，找到了点C的对称点D，再连接CD，（课件演示这个过程，设计意图：形象生动，给学生直观的感受），根据圆的轴对称性，直接得到AB垂直平分CD。
同学们，此时，黑板和课件上同时出现了一个图形，你们能从书本上找到这张图吗？找找看这张图在书本的什么位置第一次出现？（设计意图：让学生惊喜的发现：原来大家通过动手操作、自主探究发现的图形是本章开头的章头图，感受惊喜的同时增加了信心）
（学生翻书寻找）
找到了吗？
生11：找到了？
师：在哪里？
生11：书本第二章开头。
师：很好！这张图在书本第二章开头第一次出现，我们把这张图叫做章头图。
(图4)
（师板演：接着之前写的“圆”后面补充“章头图”）（图4）
同学们，其实章头图是编教材的老师经过很长时间的探讨研究，最终确定下来的，而我们的同学花了这么短的时间就得到了这张图片，你们和编教材的老师想到一块儿去了，真的非常不错！（设计意图：这是给予学生们的最高评价，编教材的老师对于所有学生，包括所有老师来说都是高深莫测的，而让学生认为他们自己在编写着教材，和编教材的老师有相同的想法，无疑是最大程度上增加了学生的信心，对于接下来的学习也是很有帮助的）
师：同学们，我们回到这个图形，请同学们再次通过翻折，继续发现“还有哪些相等的量？”
生12：AC=AD,BC=BD,OC=OD.
师：还有吗？
生12：
师：很好！这位同学不仅找到了相等的线段，还找到了相等的角，除此之外，还有吗？
生12：还有三角形全等。
师：请你具体说说有哪些三角形全等？
生12：
师：非常好！这位同学还得到了三角形全等，全等也是本章解决与圆有关的问题的关键！（设计意图：渗透章节之间的联系，提醒学生在解决本章问题时可以用三角形全等来解决）再次请问这位同学，你是通过什么得到这么多结论的呢？
生12：通过翻折！
师：很好！也就是通过...？ （图5）
生12：圆的轴对称性！（如图5）
师：很好，给你点赞！
如果此时我们知道圆的半径，也知道点O到CD的距离，那么能求出CD的长度吗？
生13：能！在直角三角形COP中，根据勾股定理，求出CP的长，而CD是CP的2倍，就求出了CD的长度！
师：非常好！其实在学习圆这章的内容时，刚才提到的三角形全等和勾股定理，都是解决问题的“法宝”，会经常用到的。（设计意图：提醒学生在解决本章问题时可以用到的两个非常重要的已学知识）
(四)再用操作，新知续现
师：同学们，接下来，请再次把你们手上的圆形纸片沿着直径AB翻折，还能发现什么？
生14：（用手比划）不好表达。
师：不好表达，那就也请到黑板上来展示一下吧！
生14:(继续用手比划)这部分。（学生未学过“弧”，所以这位学生不知道怎么表达）
师：这位同学不知道怎么表达，那么大家一起帮帮忙，给这个部分起个名字吧！
生：弧！（设计意图：请同学帮忙，可以让学生在课堂中感受同学之间的友情与合作精神）
师：是的，没错！我们把圆上两点间的部分叫做弧。
那你能用一个符号来表示这条弧吗？就像三角形有三角形的符号，平行四边形有平行四边形的符号一样。
生14:（画出弧线）
师：很好！很形象！事实上确实应该这么表示！那么请你把这个结论写下来吧。
生14：（板演： eq \(\s\up12(⌒),\s\d4(AC)) = eq \(\s\up12(⌒),\s\d4(AD)) , eq \(\s\up12(⌒),\s\d4(BC)) = eq \(\s\up12(⌒),\s\d4(BD)) .）
师：很好！我们可以读作：弧AC等于弧AD,弧BC等于弧BD.
师追问：提到弧，你会想到什么？（设计意图：让学生自己提出问题，自己设计问题）
生14：求弧长。
师：很好！那你觉得怎么求弧长呢？以弧AC为例吧。
生14：把一根绳子一端固定在点A,绕着这条弧转一下，标上另一端点C，再把这条绳子拉直，量出长度。
师：可以的，这个方法很不错，那你觉得这种方法有什么弊端吗？
生14：考试时不易操作。
师：还有呢？
生14：会有误差。
师：很好！那你能想到其他更好的解决办法吗？
生14：可以先求出的度数，用这个角的度数除以360°，再乘以圆的周长。
师：思路很好！就是把弧长转化为圆的周长。那么，由圆的周长，你又会想到什么？
生14：圆的面积！
师：很好！由圆的面积你又会想到求什么？
生14:扇形的面积（用手比划了一下扇形AOC）。
师：你为什么把这部分直接起名为扇形呢？
生14：因为它像扇子！
师：可是有的扇子不是这个形状的，那么，请再给我一个理由吧。
生14：以前学过扇形统计图。
师：很好！联想到以前学过的扇形统计图的知识了。没错，我们把一个平面内，一条弧以及经过这条弧的短点的两条半径组成的图形叫做扇形。那么，如何求它的面积呢？（设计意图：弧长转化为圆的周长去求，再由圆的周长想到圆的面积，由圆的面积再求扇形的面积）
这样，为了考一考你刚才讲的新知识同学们有没有听懂，你随机提问一个同学吧。（设计意图：学生提问学生的方式，一方面是增加学生之间的交流，一方面增加学生的信心，当回小老师，这种经历学生还是很惊喜的）
生14：好的！（指了一位学生）
生15：仍然用的度数除以，再乘以圆的面积，就求出了扇形AOC的面积。
师：很好！教的同学教的好，听的同学听的也认真，真不错！
其实同学们在不知不觉中又得到了与圆有关的计算。（师板演：3.与圆有关的计算；）
接下来，我们再回到这张图，继续探究。
刚才我们讲到一个新的名词“弧”，那么同学们还记得我是如何定义的吗？
生：圆上两点间的部分。
师：很好！那么你们觉得在这个定义中，关键词是什么呢？
生16：圆上！
师：很好！那么你又发现了什么？
生16：有的点在圆上，有的点不在圆上。
师：哪些点在圆上，那些点不在圆上呢？
生17：点A、点C、点B、点D在圆上，点O、点P不在圆上。
师：不在圆上，在哪里呢？
生17：在圆里面。
师：还可以有更简单的说法吗？
生18：在圆内。
师：既然有的点在圆上，有的点在圆内，那必然会有一些点在哪里呢？
生齐答：在圆外。
师：很好！那么问题来了：如何判断一个点到底在圆上、还是在圆内、还是在圆外呢？
（设计意图：为了让学生通过本题，得到两个非常重要的数学思想方法：分类讨论思想和数形结合思想，这也将是贯穿本章的数学思想方法）
大家互相讨论一下。（1分钟左右）（教师板演：4.位置关系：（1）点和圆的位置关系；）
有答案了吗？
生齐答：有了！
师：我请一位同学说一说吧。（幻灯片显示）
生19：比如图中的点C，把点C和圆心连接，把这个距离和半径进行比较，如果d=r,则点c在圆上；比如图中的点P,把这个距离和半径进行比较，如果dr,则点Q在圆外。
师：很好！完全正确！（如图6）
（图6）
师追问：由点和圆的位置关系，又能想到什么呢？
生：线！
师：没错！由点和圆的位置关系，可以想到直线和圆的位置关系，那么直线和圆有哪几种位置关系呢?我们以CD为例，此时CD与圆有几个公共点？
生20:2个。
师：接下来我们可以把这条直线
（有的学生说向下平移，有的学生说向上平移。）
都可以。如果把直线CD向下平移，会怎么样呢？（教师课件展示）
生：有1个交点。
师：再向下呢？
生：没有交点。
师：如果向上平移呢？
（教师在黑板上用尺演示，随着尺子移动，学生再次分别得到直线与圆的三种位置关系）
（教师板演：（2）直线和圆的位置关系。）（如图7）（图7）
师：如何判断直线和圆的位置关系，我们将留作学习这一课时时再共同探究。
接下来，请同学们回忆刚才的直线CD平移的过程，你们觉得有没有特殊的位置？
生21：直线CD经过圆心时比较特殊。
师：为什么特殊？
生21：此时线段AB和线段CD互相垂直平分且相等。
师追问：那么你现在最想做什么呢？
生21：连接AC,CB,BD,DA.
师：能得到什么结论？
生21：四边形ACBD是正方形。（设计意图：由直线平移的过程中一个特殊情况，巧妙得到圆与正方形的关系）（如图8）
（图8）
师：非常好！其实这位同学不知不觉中得到了圆与正方形的关系，其实圆除了与正方形有关外，它还与三角形、四边形、五边形等其他的一些多边形有关，这在今后我们也会具体的去探究。
同学们，由于时间关系，本节课已经接近尾声了，那么你们觉得黑板上还有遗憾吗？
生：有！
师：遗憾在哪里呢？
生22：在板书的第2点，缺少“中心对称图形”。
师：很好！那么圆是中心对称图形吗？
生22：是的！
师：为什么呢？
生22：因为把一个圆绕着圆心旋转180°能和自身完全重合。
师：是的，很好！其实把圆绕着圆心旋转任意一个角度都能和自身完全重合，当然，旋转180°也能和自身完全重合！
（师板演：（2）中心对称图形。）
（设计意图：留下一份遗憾，让学生去补充，体验“圆满”的主题）
师:好!那么到此为止，同学们本节课学什么了？
生23：学了圆的定义，圆的对称性，与圆有关的弧长、扇形面积的计算，点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系，圆和多边形的关系。
师：很好！这些都是本章的知识框架，具体的内容会在本章每一课时里具体探讨。
那么，我们本节课是如何通过这个最基本的图形得到这么美的图案，和这个知识框架的呢？也就是我们是“怎么学”的呢？
生24：自己探究发现的！
师：很好！（师板演：怎么学？1.自己探究发现；）
生25：自己动手操作！
师：很好！（师板演：2.自己动手操作；）
生26：自己设计问题！
师：很好！（师板演：3.自己设计问题；）
师：那么，本节课是通过哪些数学思想方法来学习的呢？
生：数形结合思想，分类讨论思想。
师：很好！这两种数学思想方法也将贯穿本章！（师板演：4.数学思想方法：（1）数形结合思想；（2）分类讨论思想。）
师：同学们这节课的表现非常的出色，老师也想送一段话给大家：（课件展示）
定义是我们给的！
对称性等结论是我们发现的！
我们编写着教材！
我们设计着问题！
我们迎来朝阳！
我们送走落日！
我们只要像今天这节课一样充满信心地去思考、去学习、去探究，一定能创造圆满人生！
（设计意图：太阳本身就给我们“圆”的形象，“圆满”两个字中也有一个“圆”字，作为首尾呼应、课末点题）
师：下课！
生：起立！
师：同学们再见！
生：老师再见！
四、教学反思
本节课结束了，我想，这节课，对我和学生们来说都是记忆犹新的。圆是一种常见的平面图形，也是一种常见的曲线图形。小学阶段，学生从学习直线图形到学习曲线图形，无论是内容本身还是研究问题的方法都有所改变，尤其是借助直线图形研究曲线图形的思维方法，对小学学生来说是一个飞跃。小学在处理这个问题时，往往先借助实物让学生充分感知“圆”，让学生感受到圆与现实生活的密切联系（因此，和小学类似，本节课从摩天轮开始，引出“圆”，再让学生列举出现实生活中与圆有关的物体），再引导学生用各种方式画圆，初步感受圆的特征，并掌握用圆规画圆的方法（本节课，在这个环节的处理上与小学不太一样，由于小学已经学过用圆规画圆，因此，本节课，在画圆这个环节，中学生首先想到的就是直接用圆规画圆），在此基础上，再引导学生通过折一折、画一画、比一比、量一量等活动帮助学生进一步认识圆心、半径、直径等概念，探索、发现圆的基本特征（本节课仍然把“翻折”作为贯穿本节课的一个重要环节，在小学的基础上得到与圆有关的其他新知识）。(图9)
（图9）（小学）
其实，章头图就是要通过一张图片把本章的知识框架、思想方法等呈现出来，同时让学生明白学什么？怎么学？这不仅是本节课要探究的问题，更是贯穿本章的主心骨！仿照符老师的课堂，便有了本节《圆》章头图导学课。通过这节课，我明白了：在备课时，我们除了要了解学生感兴趣的听课方式是什么?（比如本节课的动手操作）还要了解学生已有的知识背景、生活经验、已有的数学思想方法基础、最近发展区、思维的深度和广度等，当然，我们也可以在上课之前和学生多做交流，平时和学生多接触多谈心，多走进学生中去，这样，才能真正的了解学生，真正的“备学生”。
通过认真的备课，精心的设计，使课堂贴近生活，富有活力的同时，层层深入，抽丝剥茧，让学生自主探究，自己设计问题，自己发现结论，“把冰冷的美丽化为热情的思考”！真正的从数学学习的角度“走进学生心里”，相信我们的数学课堂必然可以“破茧成蝶”！
附板书设计：
圆章头图导学课
学什么？ 怎么学？
1.圆的定义及相关概念； 1.自己探究发现； 定义是我们给的！
2.圆的对称性： 2.自己动手操作； 对称性等结论是我们发现的！
（1）轴对称图形； 3.自己设计问题； 我们编写着教材！
（2）中心对称图形。 4.数学思想方法： 我们设计着问题！
3.与圆有关的计算； （1）数形结合思想； 我们迎来朝阳！
4.位置关系： （2）分类讨论思想。 我们送走落日！
（1）点和圆的位置关系； 我们充满信心！
（2）直线和圆的位置关系。 创造圆满人生！5.圆与多边形的关系。
【关键词】 动手操作 自己设计问题 自主探究 发现数学
对于章头图导学课，相信大家都比较陌生，它力图通过短短的图文，揭示本章的学习内容、知识结构、思想方法等，那么，如何把这一张图与本章所有的知识点联系起来，又要在学生并未学习本章新知识之前，自己探索发现新的知识，无疑是我们教者该静下心来认真研究的。
初见“章头图导学课”
初次见到章头图导学课，早在2008年5月份，在第十届“五四杯”青年教师教育教学论文大赛颁奖大会期间（江苏省教育厅主办），符永平老师应主办方邀请，上了一节课改汇报课：一元二次方程章头图导学课，受到专家和听课老师的一致好评，其课型结构主要为“为什么要学这一章”“学什么”“怎么学”“如何培养学生的信心”等，这节课让我们“耳目一新”，用时也记忆犹新，于是便一直想着也尝试上一节章头图导学课，下面以《圆章头图导学课》为例，谈一谈我的想法和做法。
二、教材分析和设计创意
本节课是九年级上册第二章《对称图形--圆》的章头图，对于本章的知识点，归一下类，无非就是六大部分内容：1.圆的定义及相关概念；（通过画圆的过程，可以得到圆的描述性定义）2.圆的对称性；（通过把一个圆沿着直径翻折，即可得到圆的轴对称性；通过把一个圆绕着圆心旋转，即可得到圆的中心对称性）；3.与圆有关的计算；（通过翻折，除了得到线段相等、角相等、三角形全等外，还能生成新的知识：弧相等，引出弧的概念后，自然探讨弧长的求法，弧长的求法与圆的周长有关，由圆的周长自然想到圆的面积，圆的面积自然反过来想到扇形的面积）4.位置关系；（由弧的定义，找到关键词“圆上”，于是发现有的点在圆上，有的点不在圆上，进而得到点和圆的三种位置关系，此时还渗透了非常重要的贯穿本章的数学思想方法：数形结合思想和分类讨论思想，接下来由点和圆的位置关系，自然联想到直线和圆的位置关系）5.圆与多边形的关系。（在得到直线与圆的位置关系后，直线移动过程中必然出现两条直线都经过圆心，并互相垂直的情况，此时依次连接四个与圆相交的点，必然得到一个正方形，顺理成章地得到了圆与多边形的关系）而刚才的所有内容，都是通过一个最基本的图形一步一步引申拓展的，而要得到这些结论，必然需要同学们动手操作，自主探究，从而发现新的与圆有关的知识。于是就有了如下的课堂：
三、教学设计和课堂实录
（一）创设情境，引入新课
师：（展示摩天轮）同学们，首先请看这张图片，你们觉得这张图片中最吸引你眼球的是什么呢？
生齐答:摩天轮。
师：是的，这是我们宿迁欢乐岛上的摩天轮，它是长三角地区最高的摩天轮，在世界排名第四，所以，趁着假期，同学们可以去玩一玩，领略它的美与壮观！（设计意图：以身边的摩天轮为例，让学生感受到真实，同时激发了学生探究的欲望）
师：再回到这张图，（用手比划）你们看到摩天轮，会回想起以前学过的什么图形呢？
生：圆。（教师板书：圆）
师：是的，那么，在现实生活中，你们还能举出哪些与圆有关的例子吗？
生1：车轮。
师：对！还有吗？
生2：呼啦圈。
师：对！还有吗？
生3：月饼；
师：应该是什么形状的月饼？
生3改正：圆形的月饼。
师：对！还有吗？
生4：太阳。
师：对！还有吗？
生5：月亮。
...（设计意图：再次让学生感受圆是生活中常见的图形）
（二）温故知新，定义引入
师：对！同学们列举出了很多生活中与圆有关的例子（展示幻灯片），是的，圆是生活中常见的物体，很多物体给我们以圆的形象！著名的希腊数学家毕达哥拉斯认为：在一切平面图形中，圆是最美的图案，既然圆那么美，你们会画圆吗？（设计意图：让学生学会欣赏，欣赏圆的美，从而有种迫切的愿望想把圆画出来）
生齐答：会！
师：那你们准备怎么画圆呢？
生：圆规！
师：其实画圆的方法有很多种，同学们之前都学过，既然大家异口同声地提到用圆规画圆，那么就请大家用圆规在刚才发的白纸上画一个圆，并把画好的圆剪下来。（设计意图：本节课就是试图通过多次翻折生成一系列的结论，剪下来才便于动手操作）
我请一位同学在黑板上画圆，请你！
生6：（在黑板上画出了一个圆）
师：画好圆并把圆剪下来的同学请举手示意我一下！
（等到所有同学都举手了再继续）
好！现在请刚才在黑板上画圆的同学说说你是怎么画出这个圆的？
（设计意图：让学生通过表达画圆的过程，自然而然地得到圆的描述性定义）
生6：把圆规的尖头作为圆心。
师：好，请把圆心用字母O来表示，接下来呢？
生6：把圆规拉开一段距离，圆规的尖头和笔头之间的距离作为半径。
师：好，请把半径画出来，另一端标上字母A。（用手示意这位学生在什么位置画）
我们可以把半径看做一条
生6：线段！
师：那么，请你把半径看做一条线段，描述一下你刚才画圆的过程吧！
生6：把一条线段OA绕着固定的短点O旋转一周，另一个短点A形成的图形叫做圆！
师：很好！请回到自己的位置上！其实同学们，这位同学不仅画出了圆，还得到了圆的描述性定义！为他点赞！（教师板演：1.圆的定义）
当然，前提条件是在一个平面内！
师追问：通过刚才画圆的过程以及圆的描述性定义，你们觉得画圆的关键是什么呢？
生7：圆心！
师：没错！圆心决定什么？（图1）
生7：圆的位置。
师：还有呢？
生7：半径！
师：没错！半径决定什么？
生7：圆的大小！
师：对！那么通过刚才圆的描述性定义，你们觉得圆是指圆周还是圆面？
生齐答：圆周！（设计意图：很多学生认为圆是圆面，此时通过圆的定义让学生明白：圆是指圆周）（如图1）
(三)巧用操作，性质呈现
师：是的，所以，刚才大家列举的例子只能说是与圆有关或给我们以圆的形象，而不能说整个物体都是圆。
接下来，我们再来看这个最基本的图形！由半径你们会想到什么呢？
生8：直径！
师：请你上黑板画一条与OA有关的直径吧。
生8上黑板画图：（如图2）（延长AO，画出一条直径AB）（图2）
师：其实一个圆有多少条直径？
生齐答：无数条！
师：没错！我们现在画的是与OA有关的直径。
师追问：那么由直径我们会想到什么呢？仍然请你回答。
生8：把这个圆沿着直径翻折！
师：很好！请回到自己的位置上！
同学们，请把手中的圆形纸片沿着直径AB翻折，你们发现了什么？
生9：直径两旁的部分能完全重合！
师：没错！这说明什么？
生9：说明它是一个轴对称图形！（设计意图：由半径自然想到直径，由直径自然想到翻折，由翻折自然想到轴对称性，从而得到圆的很重要的性质：对称性）
师：很好！（师板演：2.圆的对称性：（1）轴对称图形；）
接下来，我在圆上任点一个点C，我们再把这张圆形纸片翻折，你们又能发现什么呢？
生10：能找到点C的对称点D。
师追问：接下来你准备怎么操作？ （图3）
生10：连接CD！
师继续追问：连接CD能得到什么结论？
生10：AB垂直平分CD。
师：很好！这是根据什么知识一步到位的？
生10：以前学过的轴对称的知识。（如图3）
师：很好！我们通过翻折，找到了点C的对称点D，再连接CD，（课件演示这个过程，设计意图：形象生动，给学生直观的感受），根据圆的轴对称性，直接得到AB垂直平分CD。
同学们，此时，黑板和课件上同时出现了一个图形，你们能从书本上找到这张图吗？找找看这张图在书本的什么位置第一次出现？（设计意图：让学生惊喜的发现：原来大家通过动手操作、自主探究发现的图形是本章开头的章头图，感受惊喜的同时增加了信心）
（学生翻书寻找）
找到了吗？
生11：找到了？
师：在哪里？
生11：书本第二章开头。
师：很好！这张图在书本第二章开头第一次出现，我们把这张图叫做章头图。
(图4)
（师板演：接着之前写的“圆”后面补充“章头图”）（图4）
同学们，其实章头图是编教材的老师经过很长时间的探讨研究，最终确定下来的，而我们的同学花了这么短的时间就得到了这张图片，你们和编教材的老师想到一块儿去了，真的非常不错！（设计意图：这是给予学生们的最高评价，编教材的老师对于所有学生，包括所有老师来说都是高深莫测的，而让学生认为他们自己在编写着教材，和编教材的老师有相同的想法，无疑是最大程度上增加了学生的信心，对于接下来的学习也是很有帮助的）
师：同学们，我们回到这个图形，请同学们再次通过翻折，继续发现“还有哪些相等的量？”
生12：AC=AD,BC=BD,OC=OD.
师：还有吗？
生12：
师：很好！这位同学不仅找到了相等的线段，还找到了相等的角，除此之外，还有吗？
生12：还有三角形全等。
师：请你具体说说有哪些三角形全等？
生12：
师：非常好！这位同学还得到了三角形全等，全等也是本章解决与圆有关的问题的关键！（设计意图：渗透章节之间的联系，提醒学生在解决本章问题时可以用三角形全等来解决）再次请问这位同学，你是通过什么得到这么多结论的呢？
生12：通过翻折！
师：很好！也就是通过...？ （图5）
生12：圆的轴对称性！（如图5）
师：很好，给你点赞！
如果此时我们知道圆的半径，也知道点O到CD的距离，那么能求出CD的长度吗？
生13：能！在直角三角形COP中，根据勾股定理，求出CP的长，而CD是CP的2倍，就求出了CD的长度！
师：非常好！其实在学习圆这章的内容时，刚才提到的三角形全等和勾股定理，都是解决问题的“法宝”，会经常用到的。（设计意图：提醒学生在解决本章问题时可以用到的两个非常重要的已学知识）
(四)再用操作，新知续现
师：同学们，接下来，请再次把你们手上的圆形纸片沿着直径AB翻折，还能发现什么？
生14：（用手比划）不好表达。
师：不好表达，那就也请到黑板上来展示一下吧！
生14:(继续用手比划)这部分。（学生未学过“弧”，所以这位学生不知道怎么表达）
师：这位同学不知道怎么表达，那么大家一起帮帮忙，给这个部分起个名字吧！
生：弧！（设计意图：请同学帮忙，可以让学生在课堂中感受同学之间的友情与合作精神）
师：是的，没错！我们把圆上两点间的部分叫做弧。
那你能用一个符号来表示这条弧吗？就像三角形有三角形的符号，平行四边形有平行四边形的符号一样。
生14:（画出弧线）
师：很好！很形象！事实上确实应该这么表示！那么请你把这个结论写下来吧。
生14：（板演： eq \(\s\up12(⌒),\s\d4(AC)) = eq \(\s\up12(⌒),\s\d4(AD)) , eq \(\s\up12(⌒),\s\d4(BC)) = eq \(\s\up12(⌒),\s\d4(BD)) .）
师：很好！我们可以读作：弧AC等于弧AD,弧BC等于弧BD.
师追问：提到弧，你会想到什么？（设计意图：让学生自己提出问题，自己设计问题）
生14：求弧长。
师：很好！那你觉得怎么求弧长呢？以弧AC为例吧。
生14：把一根绳子一端固定在点A,绕着这条弧转一下，标上另一端点C，再把这条绳子拉直，量出长度。
师：可以的，这个方法很不错，那你觉得这种方法有什么弊端吗？
生14：考试时不易操作。
师：还有呢？
生14：会有误差。
师：很好！那你能想到其他更好的解决办法吗？
生14：可以先求出的度数，用这个角的度数除以360°，再乘以圆的周长。
师：思路很好！就是把弧长转化为圆的周长。那么，由圆的周长，你又会想到什么？
生14：圆的面积！
师：很好！由圆的面积你又会想到求什么？
生14:扇形的面积（用手比划了一下扇形AOC）。
师：你为什么把这部分直接起名为扇形呢？
生14：因为它像扇子！
师：可是有的扇子不是这个形状的，那么，请再给我一个理由吧。
生14：以前学过扇形统计图。
师：很好！联想到以前学过的扇形统计图的知识了。没错，我们把一个平面内，一条弧以及经过这条弧的短点的两条半径组成的图形叫做扇形。那么，如何求它的面积呢？（设计意图：弧长转化为圆的周长去求，再由圆的周长想到圆的面积，由圆的面积再求扇形的面积）
这样，为了考一考你刚才讲的新知识同学们有没有听懂，你随机提问一个同学吧。（设计意图：学生提问学生的方式，一方面是增加学生之间的交流，一方面增加学生的信心，当回小老师，这种经历学生还是很惊喜的）
生14：好的！（指了一位学生）
生15：仍然用的度数除以，再乘以圆的面积，就求出了扇形AOC的面积。
师：很好！教的同学教的好，听的同学听的也认真，真不错！
其实同学们在不知不觉中又得到了与圆有关的计算。（师板演：3.与圆有关的计算；）
接下来，我们再回到这张图，继续探究。
刚才我们讲到一个新的名词“弧”，那么同学们还记得我是如何定义的吗？
生：圆上两点间的部分。
师：很好！那么你们觉得在这个定义中，关键词是什么呢？
生16：圆上！
师：很好！那么你又发现了什么？
生16：有的点在圆上，有的点不在圆上。
师：哪些点在圆上，那些点不在圆上呢？
生17：点A、点C、点B、点D在圆上，点O、点P不在圆上。
师：不在圆上，在哪里呢？
生17：在圆里面。
师：还可以有更简单的说法吗？
生18：在圆内。
师：既然有的点在圆上，有的点在圆内，那必然会有一些点在哪里呢？
生齐答：在圆外。
师：很好！那么问题来了：如何判断一个点到底在圆上、还是在圆内、还是在圆外呢？
（设计意图：为了让学生通过本题，得到两个非常重要的数学思想方法：分类讨论思想和数形结合思想，这也将是贯穿本章的数学思想方法）
大家互相讨论一下。（1分钟左右）（教师板演：4.位置关系：（1）点和圆的位置关系；）
有答案了吗？
生齐答：有了！
师：我请一位同学说一说吧。（幻灯片显示）
生19：比如图中的点C，把点C和圆心连接，把这个距离和半径进行比较，如果d=r,则点c在圆上；比如图中的点P,把这个距离和半径进行比较，如果d
师：很好！完全正确！（如图6）
（图6）
师追问：由点和圆的位置关系，又能想到什么呢？
生：线！
师：没错！由点和圆的位置关系，可以想到直线和圆的位置关系，那么直线和圆有哪几种位置关系呢?我们以CD为例，此时CD与圆有几个公共点？
生20:2个。
师：接下来我们可以把这条直线
（有的学生说向下平移，有的学生说向上平移。）
都可以。如果把直线CD向下平移，会怎么样呢？（教师课件展示）
生：有1个交点。
师：再向下呢？
生：没有交点。
师：如果向上平移呢？
（教师在黑板上用尺演示，随着尺子移动，学生再次分别得到直线与圆的三种位置关系）
（教师板演：（2）直线和圆的位置关系。）（如图7）（图7）
师：如何判断直线和圆的位置关系，我们将留作学习这一课时时再共同探究。
接下来，请同学们回忆刚才的直线CD平移的过程，你们觉得有没有特殊的位置？
生21：直线CD经过圆心时比较特殊。
师：为什么特殊？
生21：此时线段AB和线段CD互相垂直平分且相等。
师追问：那么你现在最想做什么呢？
生21：连接AC,CB,BD,DA.
师：能得到什么结论？
生21：四边形ACBD是正方形。（设计意图：由直线平移的过程中一个特殊情况，巧妙得到圆与正方形的关系）（如图8）
（图8）
师：非常好！其实这位同学不知不觉中得到了圆与正方形的关系，其实圆除了与正方形有关外，它还与三角形、四边形、五边形等其他的一些多边形有关，这在今后我们也会具体的去探究。
同学们，由于时间关系，本节课已经接近尾声了，那么你们觉得黑板上还有遗憾吗？
生：有！
师：遗憾在哪里呢？
生22：在板书的第2点，缺少“中心对称图形”。
师：很好！那么圆是中心对称图形吗？
生22：是的！
师：为什么呢？
生22：因为把一个圆绕着圆心旋转180°能和自身完全重合。
师：是的，很好！其实把圆绕着圆心旋转任意一个角度都能和自身完全重合，当然，旋转180°也能和自身完全重合！
（师板演：（2）中心对称图形。）
（设计意图：留下一份遗憾，让学生去补充，体验“圆满”的主题）
师:好!那么到此为止，同学们本节课学什么了？
生23：学了圆的定义，圆的对称性，与圆有关的弧长、扇形面积的计算，点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系，圆和多边形的关系。
师：很好！这些都是本章的知识框架，具体的内容会在本章每一课时里具体探讨。
那么，我们本节课是如何通过这个最基本的图形得到这么美的图案，和这个知识框架的呢？也就是我们是“怎么学”的呢？
生24：自己探究发现的！
师：很好！（师板演：怎么学？1.自己探究发现；）
生25：自己动手操作！
师：很好！（师板演：2.自己动手操作；）
生26：自己设计问题！
师：很好！（师板演：3.自己设计问题；）
师：那么，本节课是通过哪些数学思想方法来学习的呢？
生：数形结合思想，分类讨论思想。
师：很好！这两种数学思想方法也将贯穿本章！（师板演：4.数学思想方法：（1）数形结合思想；（2）分类讨论思想。）
师：同学们这节课的表现非常的出色，老师也想送一段话给大家：（课件展示）
定义是我们给的！
对称性等结论是我们发现的！
我们编写着教材！
我们设计着问题！
我们迎来朝阳！
我们送走落日！
我们只要像今天这节课一样充满信心地去思考、去学习、去探究，一定能创造圆满人生！
（设计意图：太阳本身就给我们“圆”的形象，“圆满”两个字中也有一个“圆”字，作为首尾呼应、课末点题）
师：下课！
生：起立！
师：同学们再见！
生：老师再见！
四、教学反思
本节课结束了，我想，这节课，对我和学生们来说都是记忆犹新的。圆是一种常见的平面图形，也是一种常见的曲线图形。小学阶段，学生从学习直线图形到学习曲线图形，无论是内容本身还是研究问题的方法都有所改变，尤其是借助直线图形研究曲线图形的思维方法，对小学学生来说是一个飞跃。小学在处理这个问题时，往往先借助实物让学生充分感知“圆”，让学生感受到圆与现实生活的密切联系（因此，和小学类似，本节课从摩天轮开始，引出“圆”，再让学生列举出现实生活中与圆有关的物体），再引导学生用各种方式画圆，初步感受圆的特征，并掌握用圆规画圆的方法（本节课，在这个环节的处理上与小学不太一样，由于小学已经学过用圆规画圆，因此，本节课，在画圆这个环节，中学生首先想到的就是直接用圆规画圆），在此基础上，再引导学生通过折一折、画一画、比一比、量一量等活动帮助学生进一步认识圆心、半径、直径等概念，探索、发现圆的基本特征（本节课仍然把“翻折”作为贯穿本节课的一个重要环节，在小学的基础上得到与圆有关的其他新知识）。(图9)
（图9）（小学）
其实，章头图就是要通过一张图片把本章的知识框架、思想方法等呈现出来，同时让学生明白学什么？怎么学？这不仅是本节课要探究的问题，更是贯穿本章的主心骨！仿照符老师的课堂，便有了本节《圆》章头图导学课。通过这节课，我明白了：在备课时，我们除了要了解学生感兴趣的听课方式是什么?（比如本节课的动手操作）还要了解学生已有的知识背景、生活经验、已有的数学思想方法基础、最近发展区、思维的深度和广度等，当然，我们也可以在上课之前和学生多做交流，平时和学生多接触多谈心，多走进学生中去，这样，才能真正的了解学生，真正的“备学生”。
通过认真的备课，精心的设计，使课堂贴近生活，富有活力的同时，层层深入，抽丝剥茧，让学生自主探究，自己设计问题，自己发现结论，“把冰冷的美丽化为热情的思考”！真正的从数学学习的角度“走进学生心里”，相信我们的数学课堂必然可以“破茧成蝶”！
附板书设计：
圆章头图导学课
学什么？ 怎么学？
1.圆的定义及相关概念； 1.自己探究发现； 定义是我们给的！
2.圆的对称性： 2.自己动手操作； 对称性等结论是我们发现的！
（1）轴对称图形； 3.自己设计问题； 我们编写着教材！
（2）中心对称图形。 4.数学思想方法： 我们设计着问题！
3.与圆有关的计算； （1）数形结合思想； 我们迎来朝阳！
4.位置关系： （2）分类讨论思想。 我们送走落日！
（1）点和圆的位置关系； 我们充满信心！
（2）直线和圆的位置关系。 创造圆满人生！5.圆与多边形的关系。
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