高中数学8.5 空间直线、平面的平行课后练习题

8.5　空间直线、平面的平行

8.5.1　直线与直线平行

基础过关练

题组一　基本事实4及其应用 　　　　　 　　　　　

1.如图所示,在三棱锥S-MNP中,E,F,G,H分别是棱SN,SP,MN,MP的中点,则EF与HG的位置关系是(　　)

A.平行 B.相交

C.异面 D.平行或异面

2.如图,设E、F、G、H依次是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上除端点外的点,==λ,==μ,则下列结论中不正确的是(　　)

A.当λ=μ时,四边形EFGH是平行四边形

B.当λ≠μ时,四边形EFGH是梯形

C.当λ≠μ时,四边形EFGH一定不是平行四边形

D.当λ=μ时,四边形EFGH是梯形

3.如图,平面α与平面β相交于直线a,直线b在平面α内,直线c在平面β内,且b∩a=P,c∥a,求证:直线b,c是异面直线.

4.如图所示,已知E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,CC1的中点,求证:四边形BED1F是平行四边形.

题组二　等角定理及其应用

5.下列命题中,正确的结论有(　　)

①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等;

②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等;

③如果两条直线和第三条直线所成的角相等,那么这两条直线平行.

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

6.空间两个角α,β的两边分别对应平行,且α=60°,则β为(　　)

A.60° B.120° C.30° D.60°或120°

7.已知∠BAC=∠B1A1C1,AB∥A1B1,则AC与A1C1的位置关系是(　　)

A.相交 B.异面

C.平行 D.以上均有可能

8.在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别是棱AB,AD,B1C1,C1D1的中点.

求证:(1)EF?E1F1;

(2)∠EA1F=∠E1CF1.深度解析

9.如图所示,在三棱锥A-BCD中,E,F,G分别是棱AB,AC,AD上的点,且满足==.求证:△EFG∽△BCD.

答案全解全析

基础过关练

1.A　因为E、F分别是SN、SP的中点,所以EF∥PN,同理可证HG∥PN,所以EF∥HG.

2.D　连接BD.因为==λ,==μ,所以EH∥BD,且EH=λBD,FG∥BD,且FG=μBD,所以若λ=μ,则EH?FG,四边形EFGH是平行四边形;若λ≠μ,则EH∥FG,但EH≠FG,四边形EFGH是梯形.故选D.

3.证明　假设b∥c,由c∥a,得b∥a,与b∩a=P矛盾,所以b与c不平行.

假设直线b与c相交,

且b∩c=M,

因为直线b在平面α内,直线c在平面β内,所以M∈α,M∈β.

又α∩β=a,所以M∈a,

故c与a相交或重合,与c∥a矛盾.

所以b与c不相交.

综上,直线b,c是异面直线.

4.证明　如图,取D1D的中点G,连接EG,GC.

因为E是A1A的中点,G是D1D的中点,

所以EG?AD,

由正方体的性质知,AD?BC,所以EG?BC,

所以四边形EGCB是平行四边形,

所以EB?GC.

因为G,F分别是D1D,C1C的中点,

所以D1G?FC,

所以四边形D1GCF为平行四边形,

所以D1F?GC,所以EB?D1F,

所以四边形BED1F是平行四边形.

5.B　①中,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补,故①错误;②中,如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等,故②正确;③中,两条直线和第三条直线所成的角相等,这两条直线不一定平行,故③错.故选B.

6.D　根据等角定理知,两个角的两边分别对应平行,则这两个角相等或互补,所以β为60°或120°,故选D.

7.D　如图①②③所示,∠BAC=∠B1A1C1,AB∥A1B1,AC与A1C1的位置关系分别是平行、相交、异面.故选D.

图①　　　　　　　　图②

图③

8.证明　(1)连接BD、B1D1,在△ABD中,因为E、F分别为AB、AD的中点,所以EF∥BD,且EF=BD,同理E1F1∥B1D1,且E1F1=B1D1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为AA1?DD1,AA1?BB1,所以B1B?DD1,所以四边形BDD1B1是平行四边形,所以BD?B1D1,所以EF?E1F1.

(2)取A1B1的中点M,连接BM、F1M,则MF1?B1C1,又B1C1?BC,所以MF1?BC,所以四边形BCF1M是平行四边形,所以MB∥CF1.易知A1M?EB,所以四边形EBMA1是平行四边形,所以A1E∥MB,所以A1E∥CF1,同理可证A1F∥E1C,又∠EA1F与∠E1CF1的对应两边的方向相反,所以∠EA1F=∠E1CF1.

方法归纳

证明两个角相等的常用方法:(1)三角形相似;(2)三角形全等;(3)等角定理.

依据等角定理证明两角相等的步骤:①证明两个角的两边分别对应平行;②证明两个角的两边的方向都相同或者都相反.

9.证明　在△ABC中,∵=,

∴EF∥BC,且=.

同理,EG∥BD,且=.

∴=.

∵∠FEG与∠CBD的对应两边方向相同,

∴∠FEG=∠CBD.

∴△EFG∽△BCD.