2020-2021学年第七章 复数本章综合与测试课后练习题

本章达标检测

(满分:150分;时间:120分钟)

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)　　　　 　　　　　 　　　　　

1.计算:i(1+i)2=(　　)

A.-2 B.2 C.2i D.-2i

2.复数 =(　　)

A.-1-i B.-1+i

C.1+i D.1-i

3.在复平面内,复数z=+i2 018对应的点位于(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

4.已知复数z=-,则z的共轭复数的虚部为(　　)

A. B. C.- D.-i

5.已知复数z=+,a∈R,若复数z对应的点在复平面内位于第四象限,则实数a的取值范围是(　　)

A.a<0 B.a>1

C.0<a<1 D.a<1

6.如图,在复平面内,一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1+2i,-2+i,0,那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为(　　)

A.3+i B.3-i

C.1-3i D.-1+3i

7.若z1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i,m∈R,z2=3-2i,则“m=1”是“z1=z2”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

8.已知复数z在复平面内对应的点为A,将点A绕坐标原点按逆时针方向旋转,再向左平移一个单位,最后向下平移一个单位得到点B,此时点B与点A恰好关于坐标原点对称,则复数z为(　　)

A.-1 B.1 C.i D.-i

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)

9.已知复数z=,下列命题是真命题的为(　　)

A.|z|=2

B.z2=2i

C.z的共轭复数为1-i

D.z的虚部为i

10.下列说法中正确的是(　　)

A.在复平面内,实轴上的点都表示实数,虚轴上的点都表示虚数

B.=+

C.已知i为虚数单位,若m∈Z,则im+im+1+im+2+im+3=0

D.若复数z满足|z-i|=|z+i|,则复数z对应的点的集合是圆

11.设z1,z2为复数,则下列结论中错误的是(　　)

A.若+>0,则>-

B.|z1-z2|=

C.+=0⇔z1=z2=0

D.z1-是纯虚数或零

12.已知复数z,下列结论正确的是(　　)

A.“z+=0”是“z为纯虚数”的充分不必要条件

B.“z+=0”是“z为纯虚数”的必要不充分条件

C.“z=”是“z为实数”的充要条件

D.“z·∈R”是“z为实数”的充分不必要条件

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)

13.设复数z=,则|z|=　　　　. 

14.在复平面内,复数1+i与-1+3i分别对应向量和,其中O为坐标原点,则||=　　　　. 

15.已知i为虚数单位,若复数z=a2-4+(a-2)i(a∈R)是纯虚数,则|z+1|=　　　　;z·=　　　　.(本题第一空2分,第二空3分)  

16.定义复数的一种运算z1* z2=(等式右边为普通运算),若复数z=a+bi,且正实数a,b满足a+b=3,则z*的最小值为　　　　. 

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)计算:

(1);

(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i.

18.(本小题满分12分)已知复数z=a-1+ai(a∈R).

(1)若z是纯虚数,求a;

(2)若|z|=,求.

19.(本小题满分12分)已知z是复数,z+2i与均为实数.

(1)求复数z;

(2)若复数(z+ai)2在复平面内对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.

20.(本小题满分12分)已知复数z满足|z|=,z2的虚部是2.

(1)求复数z;

(2)设z,z2,z-z2在复平面内对应的点分别为A,B,C,求△ABC的面积.

21.(本小题满分12分)已知z为虚数,z+为实数.

(1)若z-2为纯虚数,求虚数z;

(2)求|z-4|的取值范围.

22.(本小题满分12分)已知ω=-+i(i为虚数单位).

(1)求(ω+2ω2)2+(2ω+ω2)2;

(2)求ω2+;

(3)类比i(i2=-1),探讨ω(ω3=1,ω为虚数)的性质,求ωn(n∈N*)的值.

答案全解全析

一、单项选择题

1.A　i(1+i)2=i·2i=-2.

2.A　复数==-i(1-i)=-i-1.

3.C　因为z=+i2 018=+·i2=-1=--i,所以复数z=+i2 018对应的点的坐标为 ,所以复数z=+i2 018对应的点位于第三象限.

4.B　复数z=-=-=,则z的共轭复数的虚部为.

5.B　z=+=2a+(1-a)i,

因为复数z对应的点在复平面内位于第四象限,

所以解得a>1.

6.D　由题图得,=+,所以对应的复数为1+2i-2+i=-1+3i,所以点C对应的复数为-1+3i.

7.A　若z1=z2,则解得m=1或m=-2.

所以“m=1”是“z1=z2”的充分不必要条件.

8.B　设z=a+bi(a,b∈R),点B对应的复数为z1,则A(a,b),z1=(a+bi)i-1-i=(-b-1)+(a-1)i,因为点B与点A恰好关于坐标原点对称,所以解得于是z=1.

二、多项选择题

9.BC　z===1+i,所以|z|=,故A是假命题 ;z2=2i,故B是真命题;

z的共轭复数为1-i,故C是真命题;z的虚部为1,故D是假命题.

10.BC　对于A,在复平面内,实轴上的点都表示实数,虚轴上的点除原点外都表示虚数,A错误;对于B,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则=(a+c)-(b+d)i,+=(a+c)-(b+d)i,所以=+,B正确;对于C,im+im+1+im+2+im+3=im(1+i+i2+i3)=im(1+i-1-i)=0,C正确;对于D,若|z-i|=|z+i|,则在复平面内,复数z到点(0,1)和(0,-1)的距离相等,所以复数z对应的点的集合是实轴,D错误.故选BC.

11.ABC　当z1=4+i,z2=2-2i时,=15+8i,=-8i,满足+>0,但与-都是虚数,不能比较大小,故A中结论错;因为|z1-z2|2不一定等于(z1-z2)2,所以|z1-z2|与不一定相等,故B中结论错;当z1=2+i,z2=1-2i时,=3+4i,=-3-4i,满足z1+z2=0,但z1=z2=0不成立,故C中结论错;设z1=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,故z1-=2bi,当b=0时,z1-=0,当b≠0时,z1-是纯虚数,故D中结论正确.

12.BC　若z+=0,则z不一定为纯虚数,也可以为0,反之,若z为纯虚数,则z+=0,

∴“z+=0”是“z为纯虚数”的必要不充分条件,A错误,B正确;“z=”是“z为实数”的充要条件,C正确;若z·∈R,则z不一定为实数,也可以为虚数,反之,若z∈R,则z·∈R,∴“z·∈R”是“z为实数”的必要不充分条件,D错误.故选BC.

三、填空题

13.答案　1

解析　z====i,∴|z|=1.

14.答案　2

解析　=-,所以对应的复数为(-1+3i)-(1+i)=-2+2i,所以||=2.

15.答案　;16

解析　∵复数z=a2-4+(a-2)i(a∈R)是纯虚数,∴解得a=-2,∴z=-4i,∴=4i,∴|z+1|=|1-4i|=,z·=16.

16.答案　

解析　z*==

==.

∵a+b=3,∴ab≤=,

当且仅当a=b=时,等号成立,

∴-ab≥-,∴z*≥ ==.

故z*的最小值为.

四、解答题

17.解析　(1)原式=

=

=

===-1+i.(5分)

(2)原式=(3+11i)(3-4i)+2i=53+21i+2i=53+23i.(10分)

18.解析　(1)若z是纯虚数,

则(3分)

所以a=1.(6分)

(2)因为|z|==,

所以a2-a-2=0,

所以a=2或a=-1.(10分)

当a=2时,z=1+2i,=1-2i,

当a=-1时,z=-2-i,=-2+i.(12分)

19.解析　(1)设z=x+yi(x,y∈R),

则z+2i=x+(y+2)i,(1分)

==.(2分)

由条件得,y+2=0且x+2y=0,

所以x=4,y=-2.(5分)

所以复数z=4-2i.(6分)

(2)(z+ai)2=(4-2i+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i.(8分)

由条件得(10分)

解得2<a<6,

所以实数a的取值范围是(2,6).(12分)

20.解析　(1)设z=a+bi(a,b∈R),则z2=a2-b2+2abi.(2分)

由题意得a2+b2=2且2ab=2,

解得a=b=1或a=b=-1,(4分)

所以z=1+i或z=-1-i.(6分)

(2)当z=1+i时,z2=2i,z-z2=1-i,

所以A(1,1),B(0,2),C(1,-1),

所以S△ABC=1.(9分)

当z=-1-i时,z2=2i,z-z2=-1-3i,

所以A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),

所以S△ABC=1.(12分)

21.解析　设z=x+yi(x,y∈R,y≠0).

(1)z-2=x-2+yi,

由z-2为纯虚数,得x=2,所以z=2+yi,(2分)

所以z+=2+yi+=2+i,

由z+为实数,得y-=0,解得y=±3,(4分)

所以z=2+3i或z=2-3i.(5分)

(2)因为z+=x+yi+

=x++i∈R,(7分)

所以y-=0,

因为y≠0,所以(x-2)2+y2=9,(9分)

由(x-2)2<9得x∈(-1,5),

所以|z-4|=|x+yi-4|=

=

=∈(1,5).(12分)

22.解析　(1)∵ω=-+i,

∴ω2=--i=,ω3=1,ω2+ω+1=0,(3分)

∴(ω+2ω2)2+=ω2+4ω3+4ω4+4ω2+4ω3+ω4=5ω2(ω2+ω+1)+3ω3=3.(5分)

(2)ω2+===ω2+ω=-1.(7分)

(3)由(1)可知ω2=--i=,ω3=1,

∴ωn=(12分)