高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数第1课时导学案

4.4.2　对数函数的图象和性质

第1课时　对数函数的图象和性质

(教师独具内容)

课程标准：能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．

教学重点：对数函数的图象及性质．

教学难点：底数a对图象的影响及对数函数性质的应用.

【知识导学】

知识点一　　　对数函数的图象和性质

知识点二　　　指数函数与对数函数的关系

【新知拓展】

底数对函数图象的影响

对数函数y＝log2x，y＝log3x，y＝logx，y＝logx的图象如图所示，可得如下规律：

①y＝logax与y＝logx的图象关于x轴对称；

②当a＞1时，底数越大图象越靠近x轴；当0＜a＜1时，底数越小图象越靠近x轴．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)对数函数的图象一定在y轴右侧．(　　)

(2)当0<a<1时，y＝logax在定义域上单调递增．(　　)

(3)函数y＝logax的定义域和值域均为(0，＋∞)．(　　)

答案　(1)√　(2)×　(3)×

2．做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)函数y＝log3x(1≤x≤9)的值域为(　　)

A．[0，＋∞) B．R

C．(－∞，2] D．[0,2]

(2)若对数函数y＝log(1－2a)x，x∈(0，＋∞)是增函数，则a的取值范围为________．

(3)已知y＝ax在R上是增函数，则y＝logax在(0，＋∞)上是________函数．(填“增”或“减”)

答案　(1)D　(2)(－∞，0)　(3)增

题型一  对数函数的图象和性质

例1　如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d,1,0的大小关系为________．

[解析]　由题图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a>1，b>1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0<c<1,0<d<1.

过点(0,1)作平行于x轴的直线l(图略)，则直线l与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为 c，d，a，b，显然b>a>1>d>c>0.

[答案]　b>a>1>d>c>0

金版点睛

根据对数函数的图象判断底数大小的方法

作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．

　已知0<a<1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是(　　)

答案　D

解析　因为0<a<1，所以y＝ax单调递减，y＝logax单调递减，而y＝loga(－x)与y＝logax关于y轴对称，所以选D．

例2　若函数y＝loga(x＋b)＋c(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b，c的值分别为_______．

[解析]　∵函数的图象恒过定点(3,2)，∴将(3,2)代入y＝loga(x＋b)＋c，得2＝loga(3＋b)＋C．又当a>0，且a≠1时，loga1＝0恒成立，∴c＝2，由loga(3＋b)＝0，得3＋b＝1，∴b＝－2.故填－2,2.

[答案]　－2,2

金版点睛

画对数函数图象时要注意的问题

(1)明确对数函数图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．

(2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a>1，还是0<a<1.

(3)牢记特殊点．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象经过点：(1,0)，(a,1)和.

　函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．

答案　(0，－2)

解析　因为函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，则令x＋1＝1，得x＝0，此时y＝loga(x＋1)－2＝－2，所以函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2).

题型二  对数式的大小比较

例3　比较下列各组中两个值的大小：

(1)log31.9，log32；

(2)log23，log0.32；

(3)logaπ，loga3.14(a>0，a≠1)．

[解]　(1)因为y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以log31.9<log32.

(2)因为log23>log21＝0，log0.32<log0.31＝0，所以log23>log0.32.

(3)当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，则有logaπ>loga3.14；

当0<a<1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，则有logaπ<loga3.14.

综上所得，当a>1时，logaπ>loga3.14；当0<a<1时，logaπ<loga3.14.

金版点睛

比较对数式大小的常用方法

(1)比较同底的两个对数式的大小，常利用对数函数的单调性．

(2)比较不同底数的两个对数式的大小，常用以下两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性比较大小；②在同一象限内利用对数函数图象的位置关系比较大小．

(3)比较底数与真数都不同的两个对数式的大小，常借助中间量(如1,0，－1等)．

(4)比较多个对数式的大小，则应先根据每个数的结构特征，以及它们与中间量“0”和“1”的大小情况进行分组，再比较各组内的对数式的大小即可．

(5)比较含参数的两个对数式的大小，要注意对底数是否大于1进行分类讨论，有时也要注意挖掘所给对数式的隐含条件．例如：比较loga(b2－b＋1)与loga的大小时，要注意隐含条件：b2－b＋1＝2＋≥>.

　比较下列各组中两个值的大小：

(1)3log45,2log23；

(2)log30.2，log40.2；

(3)log3π，logπ3；

(4)log0.20.1,0.20.1.

解　(1)∵3log45＝log4125,2log23＝log29＝log481，且函数y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，又125>81，∴3log45>2log23.

(2)∵0>log0.23>log0.24，∴<，

即log30.2<log40.2.

(3)∵函数y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，且π>3，∴log3π>log33＝1.

同理，1＝logππ>logπ3，所以log3π>logπ3.

(4)∵函数y＝log0.2x在(0，＋∞)上是减函数，且0.1<0.2，∴log0.20.1>log0.20.2＝1.

∵函数y＝0.2x在R上是减函数，且0<0.1，

∴0.20.1<0.20＝1.

∴log0.20.1>0.20.1.

题型三  与对数有关的函数的值域问题

例4　求下列函数的值域：

(1)y＝log2(x2＋4)；(2)y＝log (3＋2x－x2)．

[解]　(1)y＝log2(x2＋4)的定义域是R.

因为x2＋4≥4，所以log2(x2＋4)≥log24＝2.

所以y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)．

(2)设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4.

因为u>0，所以0<u≤4.

又y＝logu在(0,4]上为减函数，

所以logu≥log4＝－2，

所以y＝log (3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞)．

金版点睛

1求与对数函数相关的复合函数的值域最值，关键是根据单调性求解，若需换元，需考虑新元的取值范围.

2对于形如y＝logafxa>0，且a≠1的复合函数，其值域的求解步骤如下：

①分解成y＝logau，u＝fx两个函数；

②求fx的定义域；

③求u的取值范围；

④利用y＝logau的单调性求解.

　函数y＝lg (1＋32－x2)的值域为(　　)

A．(－∞，1) B．(0,1]

C．[0，＋∞) D．(1，＋∞)

答案　B

解析　∵2－x2≤2，∴0<32－x2≤9，∴1<1＋32－x2≤10，∴0<lg (1＋32－x2)≤1，∴y＝lg (1＋32－x2)的值域为(0,1].

题型四  与对数函数有关的函数图象问题

例5　作出函数y＝|log2(x＋1)|＋2的图象．

[解]　第一步，作y＝log2x的图象，如图①所示．

第二步，将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图②所示．

第三步，将y＝log2(x＋1)在x轴下方的图象作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图③所示．

第四步，将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴方向向上平移2个单位长度，便得到所求函数的图象，如图④所示．

金版点睛

1一般地，函数y＝fx±a±ba，b为正数的图象可由函数y＝fx的图象变换得到.

将y＝fx的图象向左或向右平移a个单位长度可得到函数y＝fx±a的图象，再向上或向下平移b个单位长度可得到函数y＝fx±a±b的图象记忆口诀：左加右减，上加下减.

2含有绝对值的函数的图象变换是一种对称变换，一般地，y＝f|x－a|的图象是关于x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|fx|的图象是将y＝fx的图象在x轴上方的部分保留，将在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换得到的.

3y＝fx的图象与y＝f－x的图象关于y轴对称，y＝fx的图象与y＝－fx的图象关于x轴对称.

　当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，则a的取值范围是(　　)

A．(0,1) B．(1,2)

C．(1,2] D．

答案　C

解析　设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图象在f2(x)＝logax的下方即可．当0<a<1时，显然不成立；当a>1时，如图所示，要使当x∈(1,2)时，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，所以1<a≤2，故选C．

1．函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值是(　　)

A．5   B．

C．   D．

答案　A

解析　∵函数y＝logax的图象逐渐上升，

∴函数y＝logax为单调增函数，∴a>1，故选A．

2．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则(　　)

A．a>c>b   B．b>c>a

C．c>b>a D．c>a>b

答案　D

解析　a＝log32<log33＝1；c＝log23>log22＝1，由对数函数的性质可知log52<log32，∴b<a<c，故选D．

3．函数f(x)＝log3(x2＋1)的值域为(　　)

A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)

C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)

答案　B

解析　因为x2＋1≥1，且f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以log3(x2＋1)≥log31＝0，故该函数的值域为[0，＋∞)．

4．若函数f(x)＝－5loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．

答案　(2,2)

解析　令x－1＝1，得x＝2，即f(2)＝2，故P(2,2)．

5．若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg (x＋1)，求f(x)的表达式，并画出大致图象．

解　∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0.

又当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，

∴f(－x)＝lg (1－x)．

又f(－x)＝－f(x)，

∴f(x)＝－lg (1－x)，

∴f(x)的解析式为

f(x)＝

f(x)的大致图象如图所示．