高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数同步训练题

课时素养评价  三十五

对数函数的图象和性质的应用

(15分钟　35分)

1.函数y=f(x)是y=ax(a>0，且a≠1)的反函数，则下列结论错误的是(　　)

A.f(x2)=2f(x) 

B.f(2x)=f(x)+f(2)

C.f=f(x)-f(2) 

D.f(2x)=2f(x)

【解析】选D.由题意，f(x)=logax，

所以f(2x)=loga2x=loga2+logax

=f(2)+f(x)，

f(x2)=logax2=2logax=2f(x)，

f=loga=logax-loga2=f(x)-f(2)，故D是错误的.

2.若函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为              (　　)

A.    B.    C.2 D.4

【解析】选B.当a>1时，a+loga2+1=a，loga2=-1，

a=(舍去).当0<a<1时，1+a+loga2=a，

所以loga2=-1，a=.

3.若函数f(x)=lo(-x2+4x+5)在区间(3m-2，m+2)上单调递增，则实数m的取值范围为              (　　)

A.   B.

C.   D.

【解析】选C.根据对数的性质可得-x2+4x+5>0，解得-1<x<5.

因为二次函数y=-x2+4x+5图象的对称轴为x=2，

由复合函数单调性可得函数f(x)=lo(-x2+4x+5)的单调递增区间为[2，5)，

要使函数f(x)=lo(-x2+4x+5)在区间(3m-2，m+2)上单调递增，

只需解得≤m<2.

4.(2020·闵行高一检测)函数y=3x(x≥2)的反函数g(x)=_______. 

【解析】函数y=3x(x≥2)中，y≥9，

所以反函数解析式为g(x)=log3x，x∈[9，+∞).

答案：log3x，x∈[9，+∞)

5.(2020·扬州高一检测)已知函数f(x)=lg(2+x2)，则满足不等式f(2x-1)<f(3)的x的取值范围为_______. 

【解析】因为函数f(x)=lg(2+x2)，

满足不等式f(2x-1)<f(3)，所以(2x-1)2<9，

即-3<2x-1<3，解得-1<x<2.

答案：(-1，2)

6.已知函数f(x)=loga(x+2)+loga(3-x)，其中0<a<1.

(1)求函数f(x)的定义域.

(2)若函数f(x)的最小值为-4，求a的值.

【解析】(1)要使函数有意义，则有，

解得-2<x<3.所以函数的定义域为(-2，3).

(2)函数f(x)=loga[(x+2)(3-x)]=loga(-x2+x+6)=

因为-2<x<3，所以

因为0<a<1，所以≥loga，即f(x)min=loga，

由loga=-4，a-4=，所以a=.

(30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1.函数y=lg(x+)是 (　　)

A.偶函数

B.奇函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.既不是奇函数又不是偶函数

【解题指南】利用定义，结合对数的运算判断.

【解析】选B.已知函数的定义域是R，

因为f(-x)=lg(-x)

=lg()

=-lg(+x)=-f(x).

所以y是奇函数.

2.函数y=logax在[2，+∞)上恒有|y|>1，则实数a的取值范围是 (　　)

A.∪(1，2)    B.∪(1，2)

C.(1，2)       D.∪(2，+∞)

【解析】选A.由题意可得，当x≥2时，|logax|>1 恒成立.若a>1，函数y=logax是增函数，不等式|logax|>1即 logax>1，所以loga2>1=logaa，解得 1<a<2.若0<a<1，函数y=logax 是减函数，函数y=lox 是增函数，不等式|logax|>1，

即lox>1，所以有lo2>1=lo得 1<<2，解得<a<1.

综上可得，实数a的取值范围是∪(1，2).

3.(2020·滨海高一检测)已知函数f(x)=|x|，且a=f，b=f，c=f(2-1)，则a，b，c的大小关系为              (　　)

A.a<c<b   B.b<c<a

C.c<a<b   D.b<a<c

【解析】选A.由f(x)=|x|，知f(x)是R上的偶函数，且f(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增.

因为ln<2-1<，所以a<c<b.

4. (2020·杭州高一检测)已知y=loga(2-ax)在[0，1]上单调递减，则a的取值范围为              (　　)

A.(0，1)   B.(1，2)

C.(0，2)   D.(2，+∞)

【解析】选B.因为f(x)在[0，1]上单调递减，

所以f(0)>f(1)，即loga2>loga(2-a).

所以，所以1<a<2.

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5.任取x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，若f>恒成立，则f(x)称为[a，b]上的凸函数.下列函数中在其定义域上为凸函数的是              (　　)

A.y=2x    B.y=log2x

C.y=-x2   D.y=

【解析】选BCD.根据题意：任取x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，若f>恒成立，则f(x)称为[a，b]上的凸函数知：

在函数y=f(x)的图象上任取不同的两点A，B，函数f(x)的图象总在线段AB(端点除外)的上方，则函数f(x)为凸函数，分别作出四个函数的图象，如图所示.

所以观察y=log2x，y=-x2，y=在其定义域上的图象，满足凸函数的概念，

所以y=log2x，y=-x2，y=是凸函数.

6.设函数f(x)=lox，下列四个命题正确的是 (　　)

A.函数f(|x|)为偶函数

B.若f(a)=|f(b)|其中a>0，b>0，a≠b，则ab=1

C.函数f(-x2+2x)在(1，3)上单调递增

D.若0<a<1，则|f(1+a)|>|f(1-a)|

【解析】选AB.f(x)=lox，x>0.

函数f(|x|)=lo|x|，因为f(|-x|)=f(|x|)，

所以f(|x|)为偶函数，A正确；

若f(a)=|f(b)|，其中a>0，b>0，因为a≠b，

所以f(a)=|f(b)|=-f(b)，

所以loa+lob=lo(ab)=0，所以ab=1.

因此B正确.

函数f(-x2+2x)=lo(-x2+2x)

由-x2+2x>0，解得0<x<2，

所以函数的定义域为(0，2)，因此在(1，3)上不具有单调性，C不正确；

若0<a<1，所以1+a>1-a，所以f(1+a)<0<f(1-a)，故|f(1+a)|-|f(1-a)|=-f(1+a)-f(1-a)

=-lo(1-a2)<0，即|f(1+a)|<|f(1-a)|，因此D不正确.

【光速解题】选项D中，可取a=，

易知<

三、填空题(每小题5分，共10分)

7.已知函数f(x)=loga(2x-a)，x∈.当a=时，函数的最小值为_______；若恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是_______. 

【解析】当a=时，函数f(x)=lo在区间上单调递减，

当x=时取最小值为

=1=0.

因为函数f(x)在区间上恒有f(x)>0，

所以a>1，且 2×-a>1；或 0<a<1，且0<2×-a<1.解得 a∈∅，或<a<1，所以<a<1.

答案：0　

8.若函数y=loga(x2-ax+1)有最小值，则a的取值范围是_______. 

【解析】令g(x)=x2-ax+1(a>0，且a≠1)，

①当a>1时，y=logax在R+上单调递增，

所以要使函数有最小值，必须g(x)min>0，

所以Δ<0，解得-2<a<2，所以1<a<2；

②当0<a<1时，g(x)=x2-ax+1没有最大值，从而不能使得函数y=loga(x2-ax+1)有最小值，不符合题意.综上所述：1<a<2.

答案：1<a<2

四、解答题(每小题10分，共20分)

9.已知函数f(x)=loga(1-ax)(a>0且a≠1).

(1)若a>1，解不等式f(x)<0.

(2)若函数f(x)在区间(0，2]上单调递增，求实数a的取值范围.

【解析】(1)因为a>1，loga(1-ax)<0，

所以loga(1-ax)<loga1，

所以0<1-ax<1，所以-1<-ax<0，

解得0<x<.

所以a>1时，不等式的解集为.

(2)因为关于x的函数f(x)在区间(0，2]上单调递增，

而t=1-ax在区间(0，2]上单调递减，

所以0<a<1，且t>0.

再由，解得0<a<，

则实数a的取值范围为.

10.已知函数f(x)=log2(1+x2).

求证：(1)函数f(x)是偶函数.

(2)函数f(x)在区间(0，+∞)上单调递增.

【证明】(1)函数f(x)的定义域是R，f(-x)=log2[1+(-x)2]=log2(1+x2)=f(x)，所以函数f(x)是偶函数.

(2)设x1，x2为区间(0，+∞)内的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)-f(x2)=log2(1+)-log2(1+)=log2.由于0<x1<x2，则0<<，0<1+<1+，所以0<<1，所以log2<0，

所以f(x1)<f(x2).所以函数f(x)在区间(0，+∞)上单调递增.

1.已知函数f(x)=若f(2-a2)>f(a)，则实数a的取值范围是_______. 

【解析】因为y=lg(x+1)在x>0上单调递增，

y=2x-1，在x≤0上单调递增，

所以f(x)=在R上是增函数.

又f(2-a2)>f(a)，所以a<2-a2，解得-2<a<1.

答案：(-2，1)

2.已知函数f(x)=lo(mx2-2x+3).

(1)若f(x)在(-∞，2]上单调递增，求m的取值范围.

(2)若f(x)的值域为R，求m的取值范围.

【解析】因为f(x)=lo(mx2-2x+3).

令y=lot，t=mx2-2x+3，

(1)由于f(x)在(-∞，2]上单调递增，

所以t=mx2-2x+3在(-∞，2]上单调递减，

且t=mx2-2x+3>0在(-∞，2]上恒成立，

当m=0时，不符合题意；

当m>0时，要符合题意，应满足≥2且4m-1>0，所以<m≤；

当m<0时，不符合题意；

综上，<m≤.

(2)由f(x)的值域为R，则t=mx2-2x+3值域为(0，+∞).当m=0时，符合题意；

当m>0时，要符合题意，应满足Δ≥0即4-12m≥0，所以0<m≤；

当m<0时，不符合题意.

综上，0≤m≤.

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