高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式习题

  www.ks5u.com课时分层作业(十二)　一元二次不等式的应用

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－1，1)　　 B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C．(－2，2)    D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

D　[∵方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，

∴Δ＝m2－4＞0，

∴m＞2或m＜－2.]

2．已知集合M＝{－1，1}，N＝，则M∩N＝(　　)

A．{－1，0，1}     B．{0，1}

C．{－1，1}     D．{1}

D　[不等式＜0，可化为(x＋1)(2x－3)＜0，解得－1＜x＜，又x∈Z，所以x可取0，1，即N＝{0，1}，所以M∩N＝{1}．]

3．若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)＜0}，B＝{x∈N*|x≤5}，则A∩B＝(　　)

A．{1，2，3}     B．{1，2}

C．{4，5}     D．{1，2，3，4，5}

B　[由题意可得A＝，B＝{1，2，3，4，5}，所以，A∩B＝{1，2}．]

4．已知关于x的不等式ax－b＞0的解集是(－∞，－1)，则关于x的不等式＞0的解集是(　　)

A．{x|x＜－1或x＞2}     B．{x|－1＜x＜2}

C．{x|1＜x＜2}     D．{x|x＜1或x＞2}

C　[由题意知，a＜0，且＝－1，

所以＞0，可化为(ax＋b)(x－2)＞0，即(x－1)(x－2)＜0，其解集为{x|1＜x＜2}．]

5．若ax2＋ax－1在R上恒小于0，则a的取值范围是(　　)

A．a≤0     B．a＜－4

C．－4＜a＜0     D．－4＜a≤0

D　[当a＝0时，ax2＋ax－1＝－1＜0成立．

当a≠0时，则，即 解得－4＜a＜0，

综上可知：当－4＜a≤0时，ax2＋ax－1＜0在R上恒成立．]

二、填空题

6．不等式2＞的解集是________.

　[不等式2＞，可化为＞0，解得x＜0或x＞. ]

7．关于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式>0的解集是________．

(－∞，－1)∪(2，＋∞)　[由ax－b>0的解集为(1，＋∞)，得>0⇔>0⇔x<－1或x>2.]

8．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B＝________．

{x|0＜x≤1}　[A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤2}，A∩B＝{x|0＜x≤1}．]

三、解答题

9．解不等式：(1)<0；(2)≤1.

[解]　 (1)由<0，得>0，

此不等式等价于(x－1)>0，

解得x<－或x>1，

∴原不等式的解集为.

(2)∵≤1，∴－1≤0.

∴≤0.

即≥0.

此不等式等价于(x－4)≥0，且x－≠0，解得x<或x≥4，

∴原不等式的解集为.

10．某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1 000个，为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本．若每个蛋糕成本增加的百分率为x(0＜x＜1)，则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x，同时预计日销售量增加的百分率为0.8x，为使日利润有所增加，求x的取值范围．

[解]　设增加成本后的日利润为y元．

y＝[60×(1＋0.5x)－40×(1＋x)]×1 000×(1＋0.8x)＝2 000(－4x2＋3x＋10)(0＜x＜1).

要保证日利润有所增加，则y＞(60－40)×1 000，且0＜x＜1，

即

解得0＜x＜.所以，为保证日利润有所增加，x的取值范围是.

11．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的取值范围是(　　)

A．(0，4)　　 B．[0，4)

C．(0，4]     D．[0，4]

D　[当a＝0时，ax2－ax＋1<0无解，符合题意．

当a<0时，ax2－ax＋1<0解集不可能为空集．

当a＞0时，要使ax2－ax＋1<0解集为空集，

需解得0<a≤4.

综上，a∈[0，4].]

12．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围是(　　)

A．(0，2)    B．(－2，1)

C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)    D．(－1，2)

B　[由题意知x⊙(x－2)＝x2＋x－2，

∴x2＋x－2<0，解得－2<x<1.]

13．(一题两空)设函数y＝2x2＋bx＋c，若不等式y＜0的解集是1＜x＜5，则y＝________；若对于任意1≤x≤3，不等式y＜2＋t有解，则实数t的取值范围为________．

2x2－12x＋10　t≥－10　[由题意知1和5是方程2x2＋bx＋c＝0的两个根，由根与系数的关系知，－＝6，＝5，解得b＝－12，c＝10，所以y＝2x2－12x＋10.

不等式y≤2＋t在1≤x≤3时有解，等价于2x2－12x＋8≤t在1≤x≤3时有解，只要t大于等于2x2－12x＋8的最小值即可，不妨设g＝2x2－12x＋8，1≤x≤3，则当x＝3时，g有最小值－10，所以t≥－10.]

14．若不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为R，则实数a的取值范围是________．

－＜a≤1　[ ①当a2－1≠0，即a≠±1时，

解之得－<a<1.

②当a2－1＝0，即a＝±1时，若a＝1，则原不等式为－1<0，恒成立．若a＝－1，则原不等式为2x－1<0，即x<，不符合题目要求，舍去．

综上所述，当－＜a≤1时，原不等式的解集为R.]

15．学校要在一块长为40米，宽为30米的矩形地面上进行绿化，四周种植花卉(花卉带的宽度相等)，中间设草坪(如图).要求草坪的面积不少于总面积的一半，求花卉带宽度的取值范围．

[解]　设花卉带的宽度为x米，则草坪的长和宽分别是(40－2x)米，(30－2x)米，

则

解得

∴0＜x≤5.这就是花卉带宽度的取值范围．