圆的方程专题训练

这是一份圆的方程专题训练，共26页。
例1 求满足下列条件的各圆的方程：
(1)圆心在原点，半径是3；
【答案】
(2)经过点，圆心在点．
【答案】∵圆心在点，故设圆的方程为
又∵点在圆上，∴，∴
∴所求圆的方程是.
例2 圆心在直线上，且圆过两点.
【答案】∵圆心在直线y=0上，
∴设圆心坐标为C（a，0），则|AC|=|BC|，
即，即，
解得a=―1，即圆心为（―1，0），半径，
则圆的标准方程为 .
例3 (1)过点A(4，1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2，1)，则圆C的方程为 ．
解法一：由已知kAB＝0，所以AB的中垂线方程为x＝3.①
过B点且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0，②
联立①②，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝0，))所以圆心坐标为(3，0)，半径r＝eq \r(（4－3）2＋（1－0）2)＝eq \r(2)，
所以圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2.
解法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
因为点A(4，1)，B(2，1)在圆上，
故eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（4－a）2＋（1－b）2＝r2，,（2－a）2＋（1－b）2＝r2，))
又因为eq \f(b－1,a－2)＝－1，解得a＝3，b＝0，r＝eq \r(2)，
故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝2.
故填(x－3)2＋y2＝2.
(2)经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程为 ．
解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将P，Q两点的坐标分别代入得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2D－4E－F＝20，①,3D－E＋F＝－10.②))
又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③
设x1，x2是方程③的两根，则x1＋x2＝－D，x1x2＝F.
由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36，④
由①②④解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(D＝－2，,E＝－4，,F＝－8，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(D＝－6，,E＝－8，,F＝0.))
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0，或x2＋y2－6x－8y＝0.
故填x2＋y2－2x－4y－8＝0，或x2＋y2－6x－8y＝0.
变式1 (1) 求下列各圆的标准方程：
(Ⅰ) 圆心在点C（3，4）上，半径是；
【答案】(x―3)2+(y―4)2=5；
(Ⅱ)圆心是，且过点；
【答案】(x―4)2+(y+1)2=10
(2)求圆心在直线上，且过点的圆的标准方程．
【答案】 (x+1)2+(y+2)2=10
【解析】设圆的标准方程为，则
解得：
所以所求圆的标准方程是：(x+1)2+(y+2)2=10．
(3)对于a∈R，直线(1－a)x＋y＋2a－1＝0恒过定点P，则以P为圆心，2为半径的圆的方程是 ( )
A.x2＋y2－4x＋2y＋1＝0
B.x2＋y2－4x＋2y＋3＝0
C.x2＋y2＋4x－2y＋1＝0
D.x2＋y2＋4x－2y＋3＝0
解：由条件知(1－a)x＋y＋2a－1＝0，可以整理为x＋y－1＋(2－x)a＝0，故直线过定点P(2，－1)，所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4，化为一般方程为x2＋y2－4x＋2y＋1＝0.故选A.
(4)在平面直角坐标系xOy中，过点A(1，3)，B(4，6)，且圆心在直线x－2y－1＝0上的圆的标准方程为 ．
解：根据题意，圆经过点A(1，3)，B(4，6)，则圆心在线段AB的垂直平分线上，
又由点A(1，3)，B(4，6)，则线段AB的垂直平分线方程为x＋y－7＝0，
则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2y－1＝0，,x＋y－7＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝2，))即圆心为(5，2)，
圆的半径r满足r2＝(5－1)2＋(2－3)2＝17，
故圆的方程为(x－5)2＋(y－2)2＝17.
故填(x－5)2＋(y－2)2＝17.
考点二 直线与圆的位置关系
例4 (1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是 ( )
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
解：因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2>1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝eq \f(|a·0＋b·0－1|,\r(a2＋b2))＝eq \f(1,\r(a2＋b2))