数列求和专题训练

这是一份数列求和专题训练，共17页。
例1.已知是等差数列，是等比数列，且
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
答案：(1)
(2)
例2.已知数列的前项和.设，求数列的前项和．
解 (1)当时，；
当时，
也满足
故数列的通项公式为
(2)由(1)知，故
记数列的前项和为，则
记
则
故数列的前项和为 n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.
变式1 等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足
，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)令设数列的前项和为，求.
答案：(1)
(2)即
∴
考点二 错位相减法
例1．已知等比数列的公比，若且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若,求数列的前项和．
解：（1）等比数列的公比，若且
则：，解得：
当，则：，此时，不合题意，舍去．
当，则：，此时，符合题意．
所以：．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，
所以：①，
②，
-②得：
解得：．
变式2 已知正项数列是递增的等差数列，且
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
答案：（1）
（2）
变式3 数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设求数列的前项和．
答案：（1）
（2）
考点三 裂项相消法
例1．已知等差数列的前项和为则数列的前项和为（ ）
答案：∵等差数列{an}的前n项和为
∴，解得
∴
∴
故选：
例2.已知,则数列的前项和为 ．
答案：
例3.已知数列的前项相为且满足
（1）求数列的通项公式；
（2）设,求数列的前项和
答案：（Ⅰ）
（Ⅱ）
变式4 若是首项为，公比为的等比数列，则=（ ）
答案：
变式5 已知数列的通项公式为,则它的前项的和为 ．
答案：
变式6 已知公差不为0的等差数列的首项且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）记求数列的前项和．
答案：（1）
（2）
变式7 数列的前项和满足且为等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设,求数列的前项和．
答案：（1）
（2）
考点四 数列综合问题
（1）含绝对值讨论求和
例1．在等差数列中,求 ．
答案：等差数列中，设首项为，公差为，
则：，解得：
所以数列的通项公式为
当时，，
当时，．
故：当时，．
当时，
故答案为：
变式8 已知为等差数列的前项和,
（1）求
（2）设,求．
答案：（Ⅰ）
（Ⅱ）
（2）综合数列求和中的证明问题
例1．已知等差数列的前项和为Sn，n∈N+，a2=3，S5=25．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足记数列的前项和为,证明：．
答案： （1）
（2）
变式9 已知等差数列的首项，公差，的前项和为，等比数列的首项，公比
（1）求数列的最大项；
（2）求证:
答案：（1）
设数列第项最大，
则：，解不等式得：，故：
所以第二项最大．
证明：（2）由于等差数列的前项和为，
所以：
所以：，
则：
故：成立．
变式10 设数列的前项和满足：，首项
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求证:
答案：（1）
（2）证明：
由在自然数集上递增，可得时取得最小值，
且，
则
（3）数列中含不等式问题
例1．已知数列中,表示数列的前项和，若恒成立，则的取值范围是 ．
答案：
例2．设为数列的前项和，已知则的最小值为 ．
答案：
变式11 已知为数列的前项和 ．数列满足
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列的前项和为，若，求的最大值．
答案：（1），
（2），
前项和
可得递增，且时，，
时，，
则若，的最大值为．
变式12 已知数列的前项和为，
（1）证明数列是等差数列，并求出；
（2）求；
（3）令，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
答案：（1）
（2）
（3）
变式13 数列的前项和为，若.
（1）求数列的通项公式；
（2）设表示数列的前项和，若对恒成立，求实数的取值范围．
答案：（1）
（2）
变式14 已知数列满足
（1）求的通项公式；
（2）设为数列的前项和，解关于的不等式
答案：（1）
（2）
课后作业
一、选择题
1．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为( )
A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1
C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2
2．[2020·山东临沂高三测试]等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝( )
A．n(n＋1) B．n(n－1)
C.eq \f(nn＋1,2) D.eq \f(nn－1,2)
3．[2020·河南平顶山高三测试]数列1，eq \f(1,1＋2)，eq \f(1,1＋2＋3)，…，eq \f(1,1＋2＋3＋…＋n)，…的前n项和为( )
A.eq \f(n,n＋1) B.eq \f(2n,n＋1)
C.eq \f(4n,n＋1) D .eq \f(n,2n＋1)
4．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(n＋1)＋\r(n))))的前2 018项的和为( )
A.eq \r(2 018)＋1 B.eq \r(2 018)－1
C.eq \r(2 019)＋1 D.eq \r(2 019)－1
5．已知数列{an}满足an＋1＋(－1)n＋1an＝2，则其前100项和为( )
A．250 B．200
C．150 D．100
6．已知数列{an}满足：an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝1，a2＝2，Sn为数列{an}的前n项和，则S2018＝( )
A．3 B．2 C．1 D．0
7．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，令bn＝eq \f(1,a1＋a2＋…＋an)，则数列{bn}的前n项和Tn为( )
A.eq \f(n＋1,2n＋2) B.eq \f(3,4)－eq \f(2n＋3,2n＋1n＋2)
C.eq \f(n－1,n＋2) D.eq \f(3,4)－eq \f(2n＋3,n＋1n＋2)
8．[2020·资阳一中高三测试]已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an＋2，n是奇数，,2an，n是偶数，))则数列{an}的前20项和为( )
A．1 121 B．1 122
C．1 123 D．1 124
9．设函数f(x)＝eq \f(1,2)＋lg2eq \f(x,1－x)，定义Sn＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,n)))＋…＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n－1,n)))，其中，n∈N*，n≥2，则Sn等于( )
A.eq \f(nn－1,2) B.eq \f(n－1,2)－lg2(n－1)
C.eq \f(n－1,2) D.eq \f(n－1,2)＋lg2(n－1)
二、填空题
10．设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＋a3＋a11＝6，则S9＝________.
11．设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))的前10项的和为________．
12．[2020·河南郑州一中高三测试]在等差数列{an}中，已知a1＋a3＝0，a2＋a4＝－2，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,2n－1)))的前10项和是________．
[能力提升]
13．已知数列{an}满足2an＝an＋1＋an－1(n≥2，n∈N)，且a1＝1，a5＝9，bn＝Ceq \\al(n－1,99)·an，则数列{bn}的前100项的和为( )
A．100×299 B．100×2100
C．50×299 D．50×2101
14．已知数列{an}满足2a1＋22a2＋…＋2nan＝n(n∈N*)，数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,lg2anlg2an＋1)))的前n项和为Sn，则S1·S2·S3·…·S10＝( )
A.eq \f(1,10) B.eq \f(1,5)
C.eq \f(1,11) D.eq \f(2,11)
15．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.
16．[2020·湖南郴州高三测试]已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an－1(n∈N*)，则数列{nan}的前n项和Tn为________．
数列求和
1．C Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋3＋5＋…＋2n－1)＝eq \f(21－2n,1－2)＋eq \f(1＋2n－1n,2)＝2n＋1－2＋n2
2．A ∵a2，a4，a8成等比，∴aeq \\al(2,4)＝a2a8，
∴(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，得a1＝d＝2，
∴Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＝n(n＋1)．
3．B ∵eq \f(1,1＋2＋3＋…＋n)＝eq \f(2,1＋nn)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，
∴Sn＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,n)－\f(1,n＋1)))
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,n＋1)))＝eq \f(2n,n＋1)
4．D ∵eq \f(1,\r(n＋1)＋\r(n))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n)，
∴S2 018＝eq \r(2)－1＋eq \r(3)－eq \r(2)＋…＋eq \r(2 019)－eq \r(2 018)＝eq \r(2 019)－1
5．D 当n＝2k－1时，a2k＋a2k－1＝2，∴{an}的前100项和S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)＝50×2＝100，故选D.
6．A ∵an＋1＝an－an－1，a1＝1，a2＝2，
∴a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，…，故数列{an}是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，故S2018＝336×0＋a2017＋a2018＝a1＋a2＝3.故选A.
7．B 因为a1＋a2＋…＋an＝eq \f(n3＋2n＋1,2)＝n(n＋2)，所以bn＝eq \f(1,nn＋2)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋2)))，故Tn＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2)－\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2)))＝eq \f(3,4)－eq \f(2n＋3,2n＋1n＋2)，故选B.
8．C 由题意可知，数列{a2n}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a2n－1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{an}的前20项和为eq \f(1×1－210,1－2)＋10×1＋eq \f(10×9,2)×2＝1 123.选C.
9．C ∵f(x)＋f(1－x)＝1＋lg2eq \f(x,1－x)＋lg2eq \f(1－x,x)＝1，
又Sn＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,n)))＋…＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n－1,n)))，
∴Sn＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n－1,n)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n－2,n)))＋…＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)))，
∴2Sn＝n－1，∴Sn＝eq \f(n－1,2).
10．18
解析：设等差数列{an}的公差为d.∵a1＋a3＋a11＝6，
∴3a1＋12d＝6，即a1＋4d＝2，∴a5＝2，∴S9＝eq \f(a1＋a9×9,2)＝eq \f(2a5×9,2)＝18.
11.eq \f(20,11)
解析：∵an＋1－an＝n＋1，∴当n≥2时，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n，
∴an－a1＝eq \f(2＋nn－1,2)，∴an＝1＋eq \f(n＋2n－1,2)＝eq \f(n2＋n,2)(n≥2)
又当n＝1时a1＝1符合上式，
∴an＝eq \f(n2＋n,2)
∴eq \f(1,an)＝eq \f(2,n2＋n)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，
∴S10＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,10)－\f(1,11)))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,11)))＝eq \f(20,11).
12.eq \f(5,256)
解析：∵{an}为等差数列，∴a1＋a3＝2a2＝0，
∴a2＝0，a2＋a4＝2a3＝－2，
∴a3＝－1，∴d＝a3－a2＝－1，∴an＝a2＋(n－2)d＝2－n，
∴Sn＝eq \f(1,20)＋eq \f(0,21)＋…＋eq \f(2－n,2n－1)，
∴eq \f(1,2)Sn＝eq \f(1,21)＋eq \f(0,22)＋…＋eq \f(3－n,2n－1)＋eq \f(2－n,2n)，
∴eq \f(1,2)Sn＝eq \f(1,20)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－1,21)＋\f(－1,22)＋…＋\f(－1,2n－1)))－eq \f(2－n,2n)＝eq \f(n,2n)，
∴Sn＝eq \f(n,2n－1)，S10＝eq \f(10,29)＝eq \f(5,256).
13．A 由2an＝an＋1＋an－1知{an}为等差数列，又a1＝1，a5＝a1＋4d，∴d＝2，｀∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
∴{bn}的前100项的和S100满足：
S100＝Ceq \\al(0,99)a1＋Ceq \\al(1,99)a2＋…＋Ceq \\al(99,99)a100，
∴S100＝Ceq \\al(99,99)a100＋Ceq \\al(98,99)a99＋…＋Ceq \\al(0,99)a1＝Ceq \\al(0,99)a100＋Ceq \\al(1,99)a99＋…＋Ceq \\al(99,99)a1，
∴2S100＝(a1＋a100)(Ceq \\al(0,99)＋Ceq \\al(1,99)＋Ceq \\al(2,99)＋…＋Ceq \\al(99,99))＝200×299，
∴S100＝100×299.
14．C ∵2a1＋22a2＋…＋2nan＝n(n∈N*)，
∴2a1＋22a2＋…＋2n－1an－1＝n－1(n≥2)，
∴2nan＝1(n≥2)，当n＝1时也满足，故an＝eq \f(1,2n)，故eq \f(1,lg2anlg2an＋1)＝eq \f(1,lg22－nlg22－n＋1)＝eq \f(1,nn＋1)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)，Sn＝1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)＝1－eq \f(1,n＋1)＝eq \f(n,n＋1)，
∴S1·S2·S3·…·S10＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(3,4)×…×eq \f(9,10)×eq \f(10,11)＝eq \f(1,11)，选C.
15．－eq \f(1,n)
解析：∵an＋1＝SnSn＋1＝Sn＋1－Sn，
∴eq \f(1,Sn＋1)－eq \f(1,Sn)＝－1，
∴数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,Sn)))为等差数列，
∴eq \f(1,Sn)＝eq \f(1,S1)＋(n－1)×(－1)＝－n.
∴Sn＝－eq \f(1,n).
16．(n－1)2n＋1
解析：∵Sn＝2an－1(n∈N*)，
∴n＝1时，a1＝2a1－1，解得a1＝1；n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－1－(2an－1－1)，∴an＝2an－1，
∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴an＝2n－1.∴nan＝n·2n－1.
则数列{nan}的前n项和Tn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n·2n－1.
∴2Tn＝2＋2×22＋…＋(n－1)×2n－1＋n·2n，
∴－Tn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝eq \f(1－2n,1－2)－n·2n＝(1－n)·2n－1，
∴Tn＝(n－1)2n＋1.