【寒假作业】沪教版2020 高中数学 高二寒假巩固提升训练 专题06圆的方程-练习.zip

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一．圆的标准方程
1.基本要素：当圆心的位置与半径的大小确定后，圆就唯一确定了，因此，确定一个圆的基本要素是圆心和半径.
2.标准方程：圆心为，半径为r的圆的标准方程是.
3.图例：
若点在圆上，则点的坐标适合方程；反之，若点的坐标适合方程，则点M在圆上.
二．圆的标准方程的推导
如图，设圆的圆心坐标为，半径长为r(其中a,b,r都是常数，r>0).设为该圆上任意一点，那么圆心为C的圆就是集合.由两点间的距离公式，得圆上任意一点M的坐标(x,y)满足的关系式为 ①，①式两边平方，得.
三．求圆的标准方程
求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法．
（1）几何法，常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．
（2）圆的标准方程中含有三个参数a，b，r，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确定圆的方程．这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．
四．点与圆的位置关系
圆C：，其圆心为，半径为，点，
设.
五．圆的一般方程
1．定义
当时，方程表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程，其中圆心为，半径.
2．推导过程
把圆的标准方程展开，并整理得.取，
得： ①.
把①的左边配方，并把常数项移到右边，得.
当且仅当时，方程表示圆，且圆心为，半径长为；
当时，方程只有实数解，所以它表示一个点；
当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
六．待定系数法求圆的一般方程
求圆的方程常用“待定系数法”，用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：
①根据题意，选择标准方程或一般方程；
②根据条件列出关于或的方程组；
③解出或，代入标准方程或一般方程．
一．圆的标准方程（共2小题）
1.（2023·上海市上海中学高二期中） 已知一个圆的方程满足：圆心在点，且过原点，则它的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】利用条件求出半径，再根据圆的标准方程求解.
【详解】设圆的半径为，因为圆心是，且过点，所以，所以半圆的方程为，故选：D.
2.（2023春·上海市松江一中高二期中） 设m为实数，若方程表示圆，则m的取值范围为______．
【答案】
【分析】将方程配成圆的标准方程形式，根据圆的标准方程即可求解.
【详解】方程，即
若它表示圆，则，即
3．（2022春•崇明区校级期中）圆心为（﹣1，﹣3），半径为3的圆的标准方程为 ．
【分析】由已知直接代入圆的标准方程得答案．
【解答】解：圆的圆心为（﹣1，﹣3），半径为3，即a＝﹣1，b＝﹣3，r＝3，
∴圆的标准方程为（x+1）2+（y+3）2＝9．
故答案为：（x+1）2+（y+3）2＝9．
【点评】本题考查圆的标准方程，是基础题．
点与圆的位置关系（共2小题）
4.两个点、与圆的位置关系是（ ）
A．点在圆外，点在圆外
B．点在圆内，点在圆内
C．点在圆外，点在圆内
D．点在圆内，点在圆外
【答案】D
【分析】本题可将点、代入方程左边，通过得出的值与的大小关系即可判断出结果.
【详解】将代入方程左边得，
则点在圆内，
将代入方程左边得，
则点在圆外，故选：D.
三．圆的一般方程（共2小题）
5．（2022秋•杨浦区校级期中）圆x2+y2﹣2x﹣3＝0的半径为 ．
【分析】由圆的一般方程化为标准方程，可得圆的半径的值．
【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣3＝0的标准方程为（x﹣1）2+y2＝4，可得圆的半径为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查圆的半径的求法，属于基础题．
6．（2022春•金山区期中）过圆x2+y2﹣4x＝0的圆心且与直线2x+y＝0垂直的直线方程为 ．
【分析】先求出已知圆的圆心，所求直线的斜率，再用点斜式求出直线的方程．
【解答】解：∵圆x2+y2﹣4x＝0，即（x﹣2）2+y2＝4，故它的圆心为（2，0），
由于所求直线与直线2x+y＝0垂直，故所求直线的斜率为，
故要求直线的直线方程为y﹣0＝（x﹣2），即 x﹣2y﹣2＝0，
故答案为：x﹣2y﹣2＝0．
【点评】本题主要考查圆的标准方程，再用点斜式求出直线的方程，属于基础题．
四．求参数范围（共1小题）
7．（2022·上海理工大学附属中学高二期中）若方程表示一个圆,则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次方程表示圆的充要条件列出不等式，通过解不等式求出k的范围．
【详解】方程x2+y2+x+y+k=0表示一个圆，需满足
1+1﹣4k＞0
∴
故选D．
【点睛】二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件为：D2+E2﹣4F＞0
8．（2022·上海市宝山中学高二期中）方程表示圆，则实数的取值范围是_________.
【答案】或
【分析】根据圆方程的判断方法：形如的方程表示圆的条件为，列出不等式，解之即可.
【详解】因为方程表示圆，则，
解得：或，
故答案为：或.
一、填空题
1. （2023春·上海市控江中学高二第二学期期中）圆的参数方程为（为参数），则此圆的半径为___________.
【答案】5
【分析】把两式两边平方作和，消去参数θ，化为圆的标准方程得答案．
【详解】解：由，
①2+②2得，x2+y2＝9sin2θ+16cs2θ+24sinθcsθ+16sin2θ+9cs2θ﹣24sinθcsθ
＝16（sin2θ+cs2θ）+9（sin2θ+cs2θ）＝25．
∴圆的半径为5．
2. （2023春·上海市控江中学高二第二学期期中）在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离为__________.
【答案】
【分析】由已知得出圆和直线的直角坐标方程，根据点到直线的距离公式，即可得出答案.
【详解】由已知可得.
因为，所以，
所以圆的直角坐标方程为，圆心为.
直线转化为直角坐标方程为，即.
又点到直线的距离，
即圆的圆心到直线的距离为.
3. 方程表示的曲线是_________．
【答案】两个半圆
【分析】方程两边平方得：，再分和两种情况即可得答案.
【详解】根据题意，将两边平方得：，且
故当时，方程为：，表示以为圆心，为半径的半圆；
当时，方程为：，表示以为圆心，为半径的半圆；
故方程表示的曲线是两个半圆.
4. 已知过和且与轴相切的圆有且只有一个，则的值为___________.
【答案】或
【分析】设所求圆的方程为，将点、的坐标代入圆的方程，整理可知关于的方程有且只有一个实根，由此可得出关于实数的等式，进而可解得实数的值.
【详解】设所求圆的方程为.
由于点、都在该圆上，所以，，
整理可得，
由于满足条件的圆有且只有一个，则关于的方程有且只有一个实根，
所以或，即或，
解得或.
5. 已知点在圆外，则实数的取值范围为______．
【答案】
【分析】由方程表示圆可得，再由点在圆外，可得，从而可求出实数的取值范围
【详解】因为在圆外，
所以且，得，
解得或，
所以实数的取值范围为
6. 已知，方程表示圆，则圆心坐标是__．
【答案】
【分析】根据方程表示圆，先由，解得或，然后再分别讨论是否为圆并求圆心坐标.
【详解】若方程表示圆，则有，
即，解可得：或，
当时，方程为，变形可得，表示圆心为，半径为5的圆，
当时，方程为，即，变形可得，不能表示圆，故圆心的坐标为，故答案为：．
7. 已知点，，动点满足为定值，若的轨迹表示一个圆，则实数的取值范围为________．
【答案】
【分析】根据向量的数量积运算，可得，根据方程为圆的方程求解即可.
【详解】,，
由，
故可得：，
即，
因为的轨迹表示一个圆，故，解得．
8．（2022·上海市嘉定区第一中学高二阶段练习）圆关于直线对称的圆的方程为______．
【答案】
【分析】求出圆心关于直线的对称点，从而求出对称圆的方程.
【详解】圆心为，半径为1，设关于对称点为，则，解得：，故对称点为，故圆关于直线对称的圆的方程为.
故答案为：
9．（2022·上海市青浦高级中学高二阶段练习）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M、N是锐角的一边QA上的两点，试在边QB上找一点P，使得最大”，如图，其结论是：点P为过M、N两点且射线QB相切的圆的切点，根据以上结论解决以下问题：
在平面直角坐标系xOy中，给定两点、，点P在x轴上移动，当取最大值时，点P的坐标为___________
【答案】
【分析】设的外接圆的圆心为，根据题设中给出的结论可构建关于的方程组，解方程组后可得的坐标.
【详解】延长交轴于，则为锐角，
由题设，当在射线上时，
若取最大值，则有的外接圆与轴相切且切点为，
设为轴上的动点且在的左侧，则，
由为最大值角可得，
故当为轴上的动点且取最大值时，
在射线上且的外接圆与轴相切且切点为.
设该圆的圆心为，则且圆的半径为，
故，整理得到，解得或，
又直线的方程为，故，故舍去，
故的外接圆的圆心为，故.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：本题为即时应用类问题，注意根据给出的背景或结论来构建所设变量的方程组，另外对不适合题设给出的背景的另一类问题的讨论.
10．（2022·上海·华师大二附中高二阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为20米，圆O的半径为1米，圆心足正方形的中心，点P、Q分别在线段AD、CB上，若线段PQ与圆O有公共点，则称点Q在点P的“盲区”中. 已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动，同时，点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动，则点P从A移动到D的过程中，点Q在点P的育区中的时长约为________秒（精确到0.1）
【答案】4.4
【分析】以为坐标原点,建立适当的平面直角坐标系,求得的坐标和直线的方程,圆方程,运用点到直线的距离公式,以及直线和圆相交的条件,解不等式即可得到所求时长.
【详解】以为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系：
由题意可设，
所以直线的方程为：，
圆方程为：，
因为直线与圆有交点，
所以，化为，解得，
所以点在点的盲区中的时长约为秒.
故答案为：
【点睛】本题考查直线和圆的方程的应用，直线和圆的位置关系,坐标法和二次不等式的解法,属于中档题.
11．（2022·上海市洋泾中学高二阶段练习）在平面直角坐标系中，点，，定义为点、之间的极距，已知点P是直线上的动点，已知点Q是圆上的动点，则、两点之间的距离最小时，其极距为_____________.
【答案】
【分析】首先利用极距定义，以及点线距离公式，将问题转化为求，即可求解.
【详解】
如上图所示，在平面直角坐标系中，、，作出直角三角形，则由极距的定义可知，就是直角三角形中较小的直角边的大小.
因为点是直线：上的动点，是圆：上的动点，要使得最小，则，最小，此时，设直线交轴于点，交轴于点，因为直线的斜率为，则.如下图所示，
过点作平行于轴，过点作平行于轴，则，所以，在直角三角形中，，两点之间的极距即为.
设，则，所以，解得，即，两点之间最小的极距为.
故答案为：
12．（2022·上海市洋泾中学高二阶段练习）已知表示圆，则实数a的值是_______．
【答案】
【分析】把方程化为，根据题意可得，解之即可得解.
【详解】解：把方程化为，
因为此曲线表示圆，
所以，解得.
故答案为：.
一、单选题
13．已知圆，则其圆心的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据圆的标准方程，直接求圆心坐标.
【详解】圆，则其圆心的坐标为.
14．已知点，，则以线段为直径的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出圆的直径式方程后再将其化简为标准方程，从而可得正确的选项，我们也可以求出圆心和半径，从而得到圆的方程.
【详解】因为圆以为直径，故圆心为的中点，
又，故圆的半径为5，
故以线段为直径的圆的方程为：.
15.已知圆经过原点，，三点，则圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设圆的方程为，
解方程组即得解.
【详解】设圆的方程为，
把点，，代入得
，
解得，，，所以圆的方程是．故选：D．
【点睛】求圆的方程，一般利用待定系数法.
16. 在平面直角坐标系中，四点坐标分别为，若它们都在同一个圆周上，则a的值为（ ）
A．0B．1C．2D．
【答案】C
【分析】设出圆的一般式，根据求出，然后将点带入圆的方程即可求得结果.
【详解】
设圆的方程为，
由题意得，解得，
所以，
又因为点在圆上，所以，即.
故选：C.
三、解答题
17．（2022·上海·复旦附中高二期中）在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上.
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C与直线交于A，B两点，且，求a的值.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）求出曲线与坐标轴的三个交点，根据这三个交点在圆上可求出圆心坐标和半径，从而可得圆的方程；
（2）设A，B，联立直线与圆的方程，根据根与系数的关系可得，，根据得，化为，进而可解得 .
【详解】（1）曲线与坐标轴的交点为(0，1)，(,0)，
由题意可设圆C的圆心坐标为(3，)，
∴，解得，
∴圆C的半径为，
∴圆C的方程为.
（2）设点A、B的坐标分别为A，B，其坐标满足方程组，消去得到方程，
由已知得，判别式①，
由根与系数的关系得，②，
由得.
又∵，，∴可化为③，
将②代入③解得，经检验，满足①，即，
∴.
【点睛】本题考查了由圆上三个点的坐标求圆的方程，考查了直线与圆的位置关系、根与系数的关系，考查了运算求解能力，属于中档题.
18．（2022·上海市嘉定区第一中学高二阶段练习）疫情期间，作为街道工作人员的王阿姨和李叔叔需要上门排查外来人员信息，王阿姨和李叔叔分别需走访离家不超过200米、k米的区域，如图，、分别是经过王阿姨家（点）的东西和南北走向的街道，且李叔叔家在王阿姨家的东偏北方向，以点O为坐标原点，、为x轴、y轴建立平面直角坐标系，已知健康检查点（即点）和平安检查点（即点）是李叔叔负责区域中最远的两个检查点.
（1）求出k，并写出王阿姨和李叔叔负责区域边界的曲线方程；
（2）王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，需在姑山路（直线）上碰头见面，你认为在何处最为便捷、省时间（两人所走的路程之和最短）？并给出理由.
【答案】（1），，；（2）
【解析】（1）求圆的标准方程，可设出圆心，利用圆上两点距离到圆心相等，可算得圆心和半径.
（2）可先求圆心O关于的对称点P,找到直线PC与l 的交点，即为所求.
【详解】（1）易知，王阿姨负责区域边界的曲线方程为：
李叔叔家在王阿姨家的东偏北方向，设李叔叔家所在的位置为，离和距离相等
故
故
即
故
故李叔叔负责区域边界的曲线方程为
（2）圆心关于的对称点为
则有，
解得
联立与，可得交点为
王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，可选择在地点碰面，距离之和最近.
【点睛】求圆的方程，主要有两种方法：
(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．
19.（2023·上海市市三女中高二期中）已知圆，动直线过点.
（1）当直线与圆相切时，求直线的方程
（2）若直线与圆相交于两点，求中点轨迹方程.
【答案】（1）或
（2）且
【分析】（1）讨论直线l斜率不存在易得直线l为，再根据两条切线关于CP对称，结合倾斜角的关系､二倍角正切公式求得另一条切线的斜率为，即可写出切线方程.
（2）设，根据，应用两点距离公式化简得到M的轨迹方程，注意x､y的范围.
【小问1详解】当直线l斜率不存在时，显然直线l与圆C相切且切点为，
所以，对于另一条切线，若切点为D，则，又
所以，由图知，直线DP的倾斜角的补角与互余，
所以直线DP的斜率为，故另一条切线方程为，即，
综上，直线l的方程为或.
【小问2详解】由（1）知直线与圆相交于､两点，则斜率必存在，
设，则，
所以，整理得，
当直线与圆相切于点时，直线的斜率为，其方程为：
，由，得，即切点，
对于的轨迹方程，当时，，
所以，且，
综上，的轨迹方程为且，
20. （2023春·上海市大同中学高二第二学期期中）已知圆经过，圆.
（1）求圆的标准方程；
（2）若圆与圆相切，求的值.
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）设出圆的方程，代入点的坐标求解计算即可；
（2）经分析两圆外切，把两圆外切转化为圆心距离等于半径之和，列式计算即可.
【小问1详解】
设圆，因为圆过三点，
则，所以，所以，
即；
【小问2详解】
圆化为标准方程为，
因为圆与圆的半径相等，故两圆不会内切，只有外切，且，
则有，解得.
21.（1）求过点，，且圆心在直线上的圆的标准方程.
（2）已知圆C：，圆心在直线上，且圆心在第二象限，半径长为求圆的一般方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）求得线段的垂直平分线方程，由此求得圆心坐标以及圆的半径，即而求得圆的标准方程.
（2）设出圆心坐标，利用圆心的位置以及半径求得，由此求得圆的一般方程.
【详解】（1）线段的中点为，线段的斜率为，
所以线段的垂直平分线的斜率为，
线段的垂直平分线方程为.
，即圆心坐标为，
半径为，
所以圆的标准方程为.
（2）圆心，
∵圆心在直线上，∴，即.①
又∵半径长，∴.
由①②可得或
又∵圆心在第二象限，∴，即.
则.故圆的一般方程为.
位置关系
与的大小
图示
点P的坐标的特点
点在圆外
点在圆上
点在圆内