椭圆专题训练

这是一份椭圆专题训练，共27页。
考点一 椭圆的定义及其标准方程
例1 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点(－eq \f(3,2)，eq \f(5,2))，(eq \r(3)，eq \r(5))，则椭圆的方程为 ．
解：依题意，设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n＞0，m≠n)．
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（－\f(3,2)）2·m＋（\f(5,2)）2·n＝1，,3m＋5n＝1，))
解得m＝eq \f(1,6)，n＝eq \f(1,10).
所以椭圆的方程为eq \f(y2,10)＋eq \f(x2,6)＝1.故填eq \f(y2,10)＋eq \f(x2,6)＝1.
(2)过点(eq \r(3)，－eq \r(5))，且与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为 ．
解法一：依题意，设所求椭圆方程为eq \f(y2,25－k)＋eq \f(x2,9－k)＝1(k＜9)，将点(eq \r(3)，－eq \r(5))代入可得eq \f(（－\r(5)）2,25－k)＋eq \f(（\r(3)）2,9－k)＝1，解得k＝5(k＝21舍去)，所以所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1.
解法二：椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c＝4.
由椭圆的定义知，
2a＝eq \r(（\r(3)－0）2＋（－\r(5)＋4）2)＋eq \r(（\r(3)－0）2＋（－\r(5)－4）2)，解得a＝2eq \r(5).
由c2＝a2－b2可得b2＝4.
所以所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1.
故填eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1.
(3)过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于两点，则与椭圆的另一个焦点构成的的周长是（ ）
【答案】：
(4)已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一个焦点的距离为 （ ）
A． B． C． D．
答案：B
变式1 (1)(湖北省2019届高三1月联考)已知椭圆C：eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,16)＝1(a>4)的离心率是eq \f(\r(3),3)，则椭圆C的长半轴长为 ( )
A.2eq \r(2) B.2eq \r(6) C.4eq \r(2) D.4eq \r(6)
解：由题可得e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3)，则a＝eq \r(3)c，所以c2＝a2－b2＝3c2－16，所以c2＝8，c＝2eq \r(2).则a＝eq \r(3)c＝2eq \r(6).故选B.
(2)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的焦点分别为F1，F2，点A，B在椭圆上，AB⊥F1F2于F2，|AB|＝4，|F1F2|＝2eq \r(3)，则椭圆方程为 ( )
A.eq \f(x2,3)＋y2＝1 B.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 C.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,6)＝1 D.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1
解：由题意可得c＝eq \r(3)，eq \f(2b2,a)＝4，
结合c2＝a2－b2，解得a＝3，b＝eq \r(6)，
所以所求椭圆方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,6)＝1.
另解：由题意知△ABF1为等边三角形，且边长为4，|AF1|＋|AF2|＝4＋2＝6＝2a，所以a＝3，又c＝eq \r(3)，所以b＝eq \r(a2－c2)＝eq \r(6)，从而得椭圆方程．故选C.
(3)已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为________.
(3)依题意，设椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0).
过点F2(1，0)且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长|AB|＝3，
∴点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))必在椭圆上，
∴eq \f(1,a2)＋eq \f(9,4b2)＝1.①
又由c＝1，得1＋b2＝a2.②
由①②联立，得b2＝3，a2＝4.
故所求椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(4)(一题多解)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，则椭圆的标准方程为________________.
(4)法一 当椭圆的焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1 (a>b>0).
∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(4,a2)＋\f(0,b2)＝1，,\f(0,a2)＋\f(1,b2)＝1，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝1.))
∴所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1 (a>b>0).
∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(0,a2)＋\f(4,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(0,b2)＝1，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝2，))
与a>b矛盾，故舍去.
综上可知，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
法二 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1 (m>0，n>0，m≠n).
∵椭圆过(2，0)和(0，1)两点，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4m＝1，,n＝1，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,4)，,n＝1.))
综上可知，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
答案 (1)eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 (2)eq \f(x2,4)＋y2＝1
(5)椭圆上一点到一个焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离为_____________
答案：
(6)椭圆上的一点到左焦点的距离为，是的中点，则等于_______________．
答案：
（7）已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点．若，则＝________.
答案：
考点二 椭圆的离心率
例2 (1)已知椭圆的方程为，则此椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
(2)若椭圆经过点，且焦点为，，则这个椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
答案：C
(3)已知椭圆的长轴长与短轴长之比为，则它的离心率为（ ）
A． B． C． D．
答案：D
(4)如果椭圆的，，成等差数列，则离心率等于 .
答案：
(5)过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ）.
A. B. C. D.
答案：B
(6)设、是椭圆：的左、右焦点，为直线上一点，是底角为30°的等腰三角形，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
(7)(内蒙古2019届高三高考一模)以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为 ( )
A.eq \r(3)－eq \r(2) B.eq \r(3)－1 C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),2)
解：设椭圆的两个焦点为F1，F2，圆与椭圆交于A，B，C，D四个不同的点，设|F1F2|＝2c，则|DF1|＝c，|DF2|＝eq \r(3)c.
由椭圆定义，得2a＝|DF1|＋|DF2|＝eq \r(3)c＋c，
所以离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(3)＋1)＝eq \r(3)－1.故选B.
(8)已知F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)＝1(a＞2)的左、右焦点，若椭圆C上存在四个不同点P满足△PF1F2的面积为4eq \r(3)，则椭圆C的离心率的取值范围为
( )
A.(0，eq \f(1,2)) B.(eq \f(1,2)，1) C.(0，eq \f(\r(3),2)) D.(eq \f(\r(3),2)，1)
解：设P(x0，y0)，S△PF1F2＝eq \f(1,2)|F1F2|·|y0|＝c|y0|＝4eq \r(3)，则|y0|＝eq \f(4\r(3),c)＝eq \f(4\r(3),\r(a2－4))，
若存在四个不同点P满足S△PF1F2＝4eq \r(3)，则0＜|y0|＜2，即0＜eq \f(4\r(3),\r(a2－4))＜2，解得a＞4，e＝eq \f(\r(a2－4),a)＝eq \r(1－\f(4,a2))∈(eq \f(\r(3),2)，1)．故选D.
(9)已知直线（为常数）过椭圆的上顶点和左焦点，且被圆截得的弦长为，若，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
(10)椭圆，若为其上一点，且，则此椭圆离心率的取值范围为_________________
答案：;
(11)设椭圆的两焦点为．若椭圆上存在点，使，椭圆离心率的取值范围为 ．
答案：
(12)已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．
答案：
变式2 (1) 左焦点到右顶点距离为9，离心率的椭圆标准方程是（ ）
A． B． C. D．
答案：B
(2)椭圆的左、右顶点分别是、，若,,成等差数列，则此椭圆的离心率为______________.
答案：
(3)已知、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且垂直于轴．若，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
答案：D
(4)在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，以为圆心，为半径作圆，若过作圆的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为 ．
答案：
(5)椭圆的一个焦点为，若椭圆上存在一个点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
答案：D
(6)设是椭圆的两焦点，以为圆心，且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为，若直线与圆相切，则椭圆的离心率为（ ）.
A. B. C. D.
答案：A
(7)已知椭圆：的左顶点、上顶点分别为、，为线段上一点，分别为椭圆的左、右焦点，若的最小值小于零，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
(8)已知是椭圆的两焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
(9)已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点，使，则该椭圆离心率的取值范围为________________.
答案：
(10) (2019·湖南六市一模)已知点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为 ( )
A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(\r(10),5) C.eq \f(2\r(5),5) D.eq \f(2\r(10),5)
解：A(－1，0)关于直线l：y＝x＋3的对称点为A′(－3，2)，连接A′B交直线l于点P，则此时椭圆C的长轴长最短，为|A′B|＝2eq \r(5)，所以椭圆C的离心率的最大值为eq \f(1,\r(5))＝eq \f(\r(5),5).故选A.
(11)(河南洛阳2020年高二5月质检)已知F是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点，A是椭圆短轴的一个端点，直线AF与椭圆的另一交点为B，且eq \(AF,\s\up6(→))＝2eq \(FB,\s\up6(→))，则椭圆的离心率为 ．
解：设A(0，－b)，F(c，0)，B(xB，yB)，作BC⊥y轴，垂足为C，如图所示，


则|eq \(AF,\s\up6(→))|＝eq \r(b2＋c2)＝a，
由eq \(AF,\s\up6(→))＝2eq \(FB,\s\up6(→))得，eq \f(|\(AF,\s\up6(→))|,|\(AB,\s\up6(→))|)＝eq \f(c,|\(BC,\s\up6(→))|)＝eq \f(2,3)，所以|eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \f(3,2)c，即xB＝eq \f(3,2)c.
同理，eq \f(|\(AF,\s\up6(→))|,|\(FB,\s\up6(→))|)＝eq \f(b,yB)＝2，即yB＝eq \f(b,2)，将B(eq \f(3c,2)，eq \f(b,2))代入椭圆方程得eq \f(9c2,4a2)＋eq \f(1,4)＝1，所以e＝eq \f(\r(3),3).故填eq \f(\r(3),3).
考点三 椭圆的焦点三角形
例3 (1)椭圆的左右焦点为、， 是椭圆上一点，当的面积为1时，的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 3 D. 6
答案：
(2)若点是椭圆上的一点，、是焦点，且，则的面积为________.
答案：
(3)已知、是椭圆C:的两个焦点, 为椭圆C上一点,且 ，若的面积为，则=________.
(4) (2019·四川德阳模拟)设P为椭圆C：eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为 ( )
A.24 B.12 C.8 D.6
解：因为P为椭圆C：eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1上一点，|PF1|∶|PF2|＝3∶4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，
所以|PF1|＝6，|PF2|＝8，又因为|F1F2|＝2c＝2eq \r(49－24)＝10，所以易知△PF1F2是直角三角形，S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝24，因为△PF1F2的重心为点G，所以S△PF1F2＝3S△GPF1，所以△GPF1的面积为8.故选C.
点拨 椭圆的焦点三角形是描述椭圆上的点到焦点的距离、焦距之间的相互制约关系的一个载体．由于其位置、边的特殊性决定了它易于同椭圆的定义、长轴长、离心率等几何量发生联系，内容丰富多彩．
变式3 (1)已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且∠F1PF2＝60°.若△PF1F2的面积为3eq \r(3)，则b＝ .
解：|PF1|＋|PF2|＝2a，又∠F1PF2＝60°，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs60°＝|F1F2|2，
即(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝4c2，
所以3|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，
所以|PF1||PF2|＝eq \f(4,3)b2，
又因为S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|·sin60°＝eq \f(1,2)×eq \f(4,3)b2×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),3)b2＝3eq \r(3)，所以b＝3.故填3.
(2)椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，
则的大小为（ ）
A．150° B．135° C．120° D．90°
【答案】：
(3)已知为椭圆的左，右焦点，点在上，，
则等于 （ ）
A． B． C． D．
【答案】：
(4)已知椭圆的焦点为，点在该椭圆上，且，则点到轴的距离为( )
A． B． C． D．
【答案】：
考点四 椭圆中的最值问题
例4 (1)已知F是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为 ，最小值为 ．


解：由题意知a＝3，b＝eq \r(5)，c＝2，F(－2，0)．
设椭圆右焦点为F′，则|PF|＋|PF′|＝6，所以|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF′|＋6.当P，A，F′三点共线时，|PA|－|PF′|取到最大值|AF′|＝eq \r(2)，或者最小值－|AF′|＝－eq \r(2).
所以|PA|＋|PF|的最大值为6＋eq \r(2)，最小值为6－eq \r(2).故填6＋eq \r(2)；6－eq \r(2).
(2)已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|eq \(PF1,\s\up6(→))＋eq \(PF2,\s\up6(→))|的最小值是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.2eq \r(2)
解：设P(x0，y0)，则eq \(PF1,\s\up6(→))＝(－1－x0，－y0)，
eq \(PF2,\s\up6(→))＝(1－x0，－y0)，所以eq \(PF1,\s\up6(→))＋eq \(PF2,\s\up6(→))＝(－2x0，－2y0)，
所以|eq \(PF1,\s\up6(→))＋eq \(PF2,\s\up6(→))|＝eq \r(4xeq \\al(2,0)＋4yeq \\al(2,0))＝2eq \r(2－2yeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0))＝2eq \r(－yeq \\al(2,0)＋2).
因为点P在椭圆上，所以0≤yeq \\al(2,0)≤1，
所以当yeq \\al(2,0)＝1时，|eq \(PF1,\s\up6(→))＋eq \(PF2,\s\up6(→))|取最小值2.
另解：由eq \(PF1,\s\up6(→))＋eq \(PF2,\s\up6(→))＝eq \(PO,\s\up6(→))＋eq \(OF1,\s\up6(→))＋eq \(PO,\s\up6(→))＋eq \(OF2,\s\up6(→))＝2eq \(PO,\s\up6(→))求解．
故选C.
(3)在椭圆eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,8)＝1上到直线2x－3y＋15＝0的距离最短的点的坐标为 ．
解：设所求点坐标为A(3eq \r(2)csθ，2eq \r(2)sinθ)，θ∈R，由点到直线的距离公式得
d＝eq \f(|6\r(2)csθ－6\r(2)sinθ＋15|,\r(22＋（－3）2))
＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－12sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＋15)),\r(13))，
当θ＝2kπ＋eq \f(3π,4)，k∈Z时，d取到最小值eq \f(3\r(13),13)，此时A点坐标为(－3，2)．故填(－3，2)．
点拨 椭圆中距离的最值问题一般有3种解法：①利用椭圆的定义结合平面几何知识求解(适用于所求的表达式中隐含有长轴或者离心率e)；②根据椭圆标准方程的特点，把距离问题转化为二次函数求最值的问题(适用于定点在椭圆的对称轴上)；③用椭圆的参数方程设动点的坐标，转化为三角问题求解．
变式4 (1)设在椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1上有两个动点P，Q，E(1，0)为定点，EP⊥EQ，则eq \(EP,\s\up6(→))·eq \(QP,\s\up6(→))的最小值为 ．
解：由题意得eq \(EP,\s\up6(→))·eq \(QP,\s\up6(→))＝eq \(EP,\s\up6(→))·(eq \(EP,\s\up6(→))－eq \(EQ,\s\up6(→)))＝eq \(EP,\s\up6(→))2－eq \(EP,\s\up6(→))·eq \(EQ,\s\up6(→))＝eq \(EP,\s\up6(→))2.
设椭圆上一点P(x，y)，则eq \(EP,\s\up6(→))＝(x－1，y)，
所以eq \(EP,\s\up6(→))2＝(x－1)2＋y2＝(x－1)2＋(1－eq \f(x2,4))＝eq \f(3,4)(x－eq \f(4,3))2＋eq \f(2,3)，又－2≤x≤2，所以当x＝eq \f(4,3)时，eq \(EP,\s\up6(→))2取得最小值为eq \f(2,3).故填eq \f(2,3).
(2)(四川省绵阳市2019届高三二诊)已知点P是椭圆C：eq \f(x2,9)＋y2＝1上的一个动点，点Q是圆E：x2＋(y－4)2＝3上的一个动点，则|PQ|的最大值是 ．
解：由圆E：x2＋(y－4)2＝3可得圆心为E(0，4)，又点Q在圆E上，所以|PQ|≤|EP|＋|EQ|＝|EP|＋eq \r(3)(当且仅当直线PQ过点E时取等号)．
设P(x1，y1)是椭圆C上的任意一点，则eq \f(xeq \\al(2,1),9)＋yeq \\al(2,1)＝1，即xeq \\al(2,1)＝9－9yeq \\al(2,1)，所以|EP|2＝xeq \\al(2,1)＋(y1－4)2＝9－9yeq \\al(2,1)＋(y1－4)2＝－8(y1＋eq \f(1,2))2＋27.
因为y1∈[－1，1]，所以当y1＝－eq \f(1,2)时，|EP|2取得最大值27，即|PQ|≤3eq \r(3)＋eq \r(3)＝4eq \r(3)，
所以|PQ|的最大值为4eq \r(3).故填4eq \r(3).
考点五 直线和椭圆的位置关系
例5 （1）直线与椭圆有两个交点，求的范围
答案： 或
（2）已知椭圆，过点作倾斜角为的直线交椭圆于， 两点，
求弦长．
【答案】
（3）已知是椭圆不垂直于轴的任意一条弦，是的中点，为椭圆的中心.求证：直线和直线的斜率之积是定值。
【答案】
（4）椭圆方程为 的弦被点平分，求弦所在的直线方程
【答案】
（5）过点作斜率为的直线与椭圆：相交于两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率等于 。
【答案】
（6）若直线与椭圆相切，则斜率的值是( )
A. B. C. D.
【答案】 C
（7）已知椭圆，直线与椭圆没有公共点。
（1）求实数的范围；
（2）求椭圆上的点到直线的距离的最大值
【答案】 （1） 或
（2）
（8）(2019·湖南衡阳一模)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq \f(1,2)，直线y＝1与C的两个交点间的距离为eq \f(4\r(6),3).
(1)求椭圆C的方程；
(2)分别过F1，F2作l1，l2满足l1∥l2，设l1，l2与C的上半部分分别交于A，B两点，求四边形ABF2F1面积的最大值．
解：(1)易知椭圆过点(eq \f(2\r(6),3)，1)，
所以eq \f(8,3a2)＋eq \f(1,b2)＝1，①
又eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，②
a2＝b2＋c2，③
所以由①②③得a2＝4，b2＝3，
所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)设直线l1的方程为x＝my－1，它与椭圆C的另一个交点为D.
将直线l1与椭圆C的方程联立，消去x，
得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，
显然Δ＝144(m2＋1)>0，则
|AD|＝eq \r(1＋m2)·eq \f(12\r(1＋m2),3m2＋4)，
又F2到l1的距离d＝eq \f(2,\r(1＋m2))，
所以S△ADF2＝eq \f(1,2)·|AD|·d＝eq \f(12\r(1＋m2),3m2＋4).
令t＝eq \r(1＋m2)≥1，则S△ADF2＝eq \f(12,3t＋\f(1,t))，
因为y＝3t＋eq \f(1,t)在[1，＋∞)上单调递增，
所以当t＝1时，S△ADF2取得最大值3.
又S四边形ABF2F1＝eq \f(1,2)·(|BF2|＋|AF1|)·d＝eq \f(1,2)(|AF1|＋
|DF1|)·d＝eq \f(1,2)|AD|d＝S△ADF2，
所以四边形ABF2F1面积的最大值为3.
点拨
弦长公式|AB|＝eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)＝eq \r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|＝eq \r(1＋k2)·eq \f(\r(Δ),|a|).
变式5 （1）若直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围_______________．
【答案】
（2）椭圆，过该椭圆左焦点的直线交椭圆于两点， ，
求直线的方程.
（3）过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在的直线方程 。
【答案】
(4)已知椭圆，则以为中点的弦的长度为（ ）。

【答案】 C
(5)椭圆的弦被点平分，求弦所在的直线方程。
【答案】：
(6)求椭圆上的动点到直线的最短距离 。
【答案】：
（７）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线与椭圆相交于两点，，则椭圆的标准方程为______．
【答案】：
（８）已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(2),2)，过点M(1，0)的直线l交椭圆C于A，B两点，|MA|＝λ|MB|，且当直线l垂直于x轴时，|AB|＝eq \r(2).


(1)求椭圆C的方程；
(2)若λ∈[eq \f(1,2)，2]，求弦长|AB|的取值范围．
解：(1)由题意可得e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，即eq \f(c2,a2)＝eq \f(1,2)，
又c2＝a2－b2，则a2＝2b2，①
把x＝1代入椭圆方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，得y＝±eq \f(b,a)eq \r(a2－1)，
则eq \f(2b,a)eq \r(a2－1)＝eq \r(2)，②
联立①②得a2＝2，b2＝1.
所以椭圆C的方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1.
(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，
联立方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,2)＋y2＝1，,y＝k（x－1），))得(1＋2k2)y2＋2ky－k2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝eq \f(－2k,1＋2k2)，y1y2＝eq \f(－k2,1＋2k2)，③
由|MA|＝λ|MB|，得eq \(AM,\s\up6(→))＝λeq \(MB,\s\up6(→))，
所以(1－x1，－y1)＝λ(x2－1，y2)，则－y1＝λy2，④
把④代入③消去y2，得eq \f(4,1＋2k2)＝λ＋eq \f(1,λ)－2，
当λ∈[eq \f(1,2)，2]时，eq \f(4,1＋2k2)＝λ＋eq \f(1,λ)－2∈[0，eq \f(1,2)]，解得k2≥eq \f(7,2).
又|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))·eq \r(（y1－y2）2)
＝eq \r(1＋\f(1,k2))·eq \r(（y1＋y2）2－4y1y2)
＝eq \r(\f(k2＋1,k2))·eq \r(（\f(－2k,1＋2k2)）2－4·\f(－k2,1＋2k2))
＝2eq \r(2)·eq \f(1＋k2,1＋2k2)＝2eq \r(2)(1－eq \f(k2,1＋2k2))
＝2eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,\f(1,k2)＋2)))，
由k2≥eq \f(7,2)，得2eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,\f(1,k2)＋2)))∈(eq \r(2)，eq \f(9\r(2),8)]．
当直线l的斜率不存在时，λ＝1，|AB|＝eq \r(2).
故弦长|AB|的取值范围为[eq \r(2)，eq \f(9\r(2),8)]．


课后作业

1．(2019·北京卷)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(1,2)，则 ( )
A.a2＝2b2 B.3a2＝4b2
C.a＝2b D.3a＝4b
解：椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，c2＝a2－b2，化简得3a2＝4b2.故选B.
2．(深圳外国语学校2019届高三下第一次热身考试)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(5),3)，椭圆上一点到两焦点距离之和为12，则椭圆的短轴长为 ( )
A.8 B.6 C.5 D.4
解：椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),3)，
椭圆上一点P到两焦点距离之和为12，即2a＝12，可得a＝6，c＝2eq \r(5)，
所以b＝eq \r(a2－c2)＝eq \r(36－20)＝4，
则椭圆的短轴长为2b＝8.
故选A.
3．已知点M是椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且满足eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝0，则△MF1F2的面积为 ( )
A.1 B.eq \r(3) C.2 D.4
解：因为eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝0，所以eq \(MF1,\s\up6(→))⊥eq \(MF2,\s\up6(→))，
所以|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2＝12.
由题意得|MF1|＋|MF2|＝4，即|MF1|2＋|MF2|2＋2|MF1|·|MF2|＝16，
即12＋2|MF1|·|MF2|＝16，解得|MF1|·|MF2|＝2.
所以△MF1F2的面积S＝eq \f(1,2)|MF1|·|MF2|＝1.
故选A.
4．(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过点A且斜率为eq \f(\r(3),6)的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,4)
解：因为△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c，∠PF2x＝60°，则点P的坐标为(2c，eq \r(3)c)，
又A(－a，0)，AP的斜率为eq \f(\r(3),6)，所以eq \f(\r(3)c,2c＋a)＝eq \f(\r(3),6)，
即a＝4c，所以离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,4).故选D.
5．(2019·全国Ⅰ卷)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为
( )
A.eq \f(x2,2)＋y2＝1 B.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1
C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
解法一：如图，由已知可设|F2B|＝n，则|AF2|＝2n，|BF1|＝|AB|＝3n，

由椭圆的定义有2a＝|BF1|＋|BF2|＝4n，所以|AF1|＝2a－|AF2|＝2n.
在△AF1B中，由余弦定理得cs∠F1AB＝eq \f(4n2＋9n2－9n2,2·2n·3n)＝eq \f(1,3).
在△AF1F2中，由余弦定理得4n2＋4n2－2·2n·2n·eq \f(1,3)＝4，解得n＝eq \f(\r(3),2).
所以2a＝4n＝2eq \r(3)，所以a＝eq \r(3)，所以b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以所求椭圆方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.
解法二：由已知可设|F2B|＝n，则|AF2|＝2n，|BF1|＝|AB|＝3n，
由椭圆的定义有2a＝|BF1|＋|BF2|＝4n，所以|AF1|＝2a－|AF2|＝2n.
在△AF1F2和△BF1F2中，由余弦定理得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4n2＋4－2·2n·2·cs∠AF2F1＝4n2，,n2＋4－2·n·2·cs∠BF2F1＝9n2，))
又∠AF2F1，∠BF2F1互补，所以cs∠AF2F1＋cs∠BF2F1＝0，两式消去cs∠AF2F1，cs∠BF2F1，得3n2＋6＝11n2，解得n＝eq \f(\r(3),2).
所以2a＝4n＝2eq \r(3)，所以a＝eq \r(3)，所以b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以所求椭圆方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.故选B.
6．(2019·湖南湘东五校联考)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且△F1AB的面积为eq \f(2－\r(3),2)，点P为椭圆上的任意一点，则eq \f(1,|PF1|)＋eq \f(1,|PF2|)的取值范围为 ( )
A.[1，2] B.[eq \r(2)，eq \r(3)] C.[eq \r(2)，4] D.[1，4]
解：由题意得椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的短轴长为2b＝2，b＝1，S△F1AB＝eq \f(1,2)(a－c)b＝eq \f(2－\r(3),2)，
解得a－c＝2－eq \r(3)，又a2－c2＝1，所以a＝2，c＝eq \r(3)，
则|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
设|PF1|＝x，则|PF2|＝4－x，x∈[a－c，a＋c]，
即x∈[2－eq \r(3)，2＋eq \r(3)]，
所以eq \f(1,|PF1|)＋eq \f(1,|PF2|)＝eq \f(1,x)＋eq \f(1,4－x)＝eq \f(4,4－（x－2）2)∈[1，4]．
故选D.
7．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，若椭圆上存在点M使得△MF1F2中，eq \f(sin∠MF1F2,a)＝eq \f(sin∠MF2F1,c)，则该椭圆离心率的取值范围为 ( )
A.(0，eq \r(2)－1) B.(eq \f(\r(2),2)，1)
C.(0，eq \f(\r(2),2)) D.(eq \r(2)－1，1)
解：由正弦定理可得：eq \f(|MF1|,sin∠MF2F1)＝eq \f(|MF2|,sin∠MF1F2)，结合题意可得eq \f(|MF1|,c)＝eq \f(|MF2|,a)，
所以eq \f(|MF1|,c)＝eq \f(|MF2|,a)＝eq \f(|MF1|＋|MF2|,a＋c)，根据椭圆的定义可得|MF1|＋|MF2|＝2a，所以|MF1|＝eq \f(2ac,a＋c)，|MF2|＝eq \f(2a2,a＋c)，易知|MF2|＞|MF1|.
因为M为椭圆上一点，所以a－c＜|MF2|＜a＋c，即a－c＜eq \f(2a2,a＋c)＜a＋c，
整理得c2＋2ac－a2＞0，所以e2＋2e－1＞0，解得eq \r(2)－1＜e＜1.
故选D.
8．【多选题】如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2，离心率分别为e1，e2，则下列结论正确的是 ( )


A.a1＋c1＞2(a2＋c2)
B.a1c2＞a2c1
C.e1＝eq \f(e2＋1,2)
D.椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁
解：由椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心，可得2a2＝a1，由椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，可得a2＋c2＝c1；因为a1＋c1＝2a2＋a2＋c2，且a2＞c2，则a1＋c1＝2a2＋a2＋c2＞2(a2＋c2)，所以A正确；
因为a1c2＝2a2c2，a2c1＝a2(a2＋c2)＝aeq \\al(2,2)＋a2c2，则有a1c2－a2c1＝2a2c2－aeq \\al(2,2)－a2c2＝a2(c2－a2)＜0，所以B错误；
因为e1＝eq \f(c1,a1)＝eq \f(a2＋c2,2a2)＝eq \f(e2＋1,2)，所以C正确；因为e1－e2＝eq \f(c1,a1)－eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋c2－2c2,2a2)＝eq \f(a2－c2,2a2)＞0，即e1＞e2，则椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ更扁，所以D错误．
故选AC.
9．(江苏南通一中2019－2020学年高二上期中)阿基米德(公元前287年至公元前212年)是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为eq \f(3,5)，面积为20π，则椭圆C的标准方程为 ．
解：依题意，设椭圆C的方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，则椭圆C的面积为S＝πab＝20π，
又e＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \f(3,5)，解得a2＝25，b2＝16.则椭圆C的标准方程为eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,16)＝1.
故填eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,16)＝1.
10．椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，若F关于直线eq \r(3)x＋y＝0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为 ．
解：设F′为右焦点，则AF⊥AF′，∠AF′F＝eq \f(π,3)，所以AF＝eq \r(3)AF′，FF′＝2AF′，
因此椭圆C的离心率为eq \f(2c,2a)＝eq \f(FF′,AF＋AF′)＝eq \f(2,\r(3)＋1)＝eq \r(3)－1.
故填eq \r(3)－1.
11．已知椭圆C的方程为eq \f(x2,9－k)＋eq \f(y2,k－1)＝1.
(1)求k的取值范围；
(2)若椭圆C的离心率e＝eq \r(\f(6,7))，求k的值．
解：(1)因为方程eq \f(x2,9－k)＋eq \f(y2,k－1)＝1表示椭圆，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(9－k＞0，,k－1＞0，,9－k≠k－1))⇒k∈(1，5)∪(5，9)．
(2)①当9－k＞k－1，即1＜k＜5时，依题意可知a＝eq \r(9－k)，b＝eq \r(k－1)，
所以c＝eq \r(10－2k)，
又e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(6,7))，
所以eq \f(10－2k,9－k)＝eq \f(6,7)⇒k＝2，符合题意．
②当9－k＜k－1即5＜k＜9时，依题意可知b＝eq \r(9－k)，a＝eq \r(k－1)，
所以c＝eq \r(－10＋2k)，
又e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(6,7))，
所以eq \f(－10＋2k,k－1)＝eq \f(6,7)⇒k＝8，符合题意．
综上，k的值为2或8.
12．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的焦距为2.设A(－2，0)，F为椭圆C的左焦点，若椭圆C上存在点P，满足eq \f(|PA|,|PF|)＝eq \r(2)，求椭圆C的离心率的取值范围．
解：易知F(－1，0)，设P(x0，y0)，于是eq \f(xeq \\al(2,0),a2)＋eq \f(yeq \\al(2,0),b2)＝1.①
因为eq \f(|PA|,|PF|)＝eq \r(2)，即|PA|2＝2|PF|2，
所以(x0＋2)2＋yeq \\al(2,0)＝2(x0＋1)2＋2yeq \\al(2,0)，即xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝2.②
联立①②，并由a2＝b2＋1，解得xeq \\al(2,0)＝2a2－a2b2＝a2(3－a2)．
因为－a≤x0≤a，所以0≤xeq \\al(2,0)≤a2.
于是0≤a2(3－a2)≤a2，解得2≤a2≤3，即eq \r(2)≤a≤eq \r(3).
所以eq \f(\r(3),3)≤eq \f(1,a)≤eq \f(\r(2),2)，即eq \f(\r(3),3)≤eq \f(c,a)≤eq \f(\r(2),2).
故椭圆C的离心率的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2))).
13．(重庆西南大学附中2019届高三第十次月考)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左顶点为M(－2，0)，离心率为eq \f(\r(2),2).
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点N(1，0)的直线l交椭圆C于A，B两点，当eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))取得最大值时，求△MAB的面积．
解：(1)由题意，a＝2，eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，得c＝eq \r(2)，则b2＝a2－c2＝2.所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1.
(2)当直线l与x轴重合时，不构成△MAB，不合题意；
当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x＝ty＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝ty＋1，,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，))得(t2＋2)y2＋2ty－3＝0，
显然Δ＞0，y1＋y2＝eq \f(－2t,t2＋2)，y1y2＝eq \f(－3,t2＋2).
所以eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝(x1＋2)(x2＋2)＋y1y2
＝(ty1＋3)(ty2＋3)＋y1y2
＝(t2＋1)y1y2＋3t(y1＋y2)＋9
＝(t2＋1)·eq \f(－3,t2＋2)＋3t·eq \f(－2t,t2＋2)＋9＝eq \f(－9t2－3,t2＋2)＋9＝eq \f(15,t2＋2).
当t＝0时，eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))取最大值eq \f(15,2).此时直线l的方程为x＝1，不妨取A(1，eq \f(\r(6),2))，B(1，－eq \f(\r(6),2))，则|AB|＝eq \r(6).
又|MN|＝3，所以△MAB的面积S＝eq \f(1,2)×eq \r(6)×3＝eq \f(3\r(6),2).
附加题 (北京市昌平区2019届高三5月综合练习二模)嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100千米，远月点与月球表面距离为400千米．已知月球的直径为3 476千米，则该椭圆形轨道的离心率约为( )


A.eq \f(1,25) B.eq \f(3,40) C.eq \f(1,8) D.eq \f(3,5)
解：如图，F为月球的球心，月球半径为eq \f(1,2)×3 476＝1 738，
依题意，|AF|＝100＋1738＝1 838，


|BF|＝400＋1738＝2 138.
则2a＝|AF|＋|BF|＝1 838＋2 138＝3 976，
所以a＝1 988，
又|BF|＝a＋c＝2 138，
所以c＝2 138－1 988＝150，
则该椭圆的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(150,1 988)≈eq \f(3,40).故选B.