2021年高考理科数学一轮复习：专题9.3 圆的方程 题型全归纳与高效训练突破

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc26017" 一、考点全归纳 PAGEREF _Tc26017 1
\l "_Tc29806" 二、题型全归纳 PAGEREF _Tc29806 2
\l "_Tc28569" 题型一 求圆的方程 PAGEREF _Tc28569 2
\l "_Tc14936" 类型一 已知不共线的三点，求圆的方程 PAGEREF _Tc14936 3
\l "_Tc19595" 类型二 已知两点及圆心所在直线，求圆的方程 PAGEREF _Tc19595 4
\l "_Tc2321" 类型三 已知直线与圆的位置关系，求圆的方程 PAGEREF _Tc2321 5
\l "_Tc23247" 题型二 与圆有关的轨迹问题 PAGEREF _Tc23247 6
\l "_Tc28057" 题型三 与圆有关的最值问题 PAGEREF _Tc28057 8
\l "_Tc862" 类型一 建立函数关系求最值 PAGEREF _Tc862 8
\l "_Tc25874" 类型二 借助几何性质求最值 PAGEREF _Tc25874 8
\l "_Tc28319" 三、高效训练突破 PAGEREF _Tc28319 9
一、考点全归纳
1．圆的定义及方程
2.点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.
(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.
【常用结论】几种常见圆的方程的设法
续 表
二、题型全归纳
题型一 求圆的方程
【解题要点】求圆的方程的两种方法
(1)直接法
根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
【提醒】解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．
类型一 已知不共线的三点，求圆的方程
【例1】已知圆E经过三点A(0，1)，B(2，0)，C(0，－1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为________．
类型二 已知两点及圆心所在直线，求圆的方程
【例2】求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程．
类型三 已知直线与圆的位置关系，求圆的方程
【例3】(2020·石家庄一模)已知圆C截两坐标轴所得弦长相等，且圆C过点(－1，0)和(2，3)，则圆C的半径为( )
A．8 B．2eq \r(2)
C．5 D．eq \r(5)
【例4】．(2020·湖北“荆、襄、宜七校考试联盟”期末)已知圆C经过直线x＋y＋2＝0与圆x2＋y2＝4的交点，且圆C的圆心在直线2x－y－3＝0上，则圆C的方程为________．
题型二 与圆有关的轨迹问题
【规律与方法】1．掌握“三方法”
2．明确“五步骤”
【例1】已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
【例2】(2020·潍坊调研)已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
题型三 与圆有关的最值问题
【解题要点】借助几何性质求与圆有关的最值问题，根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．
(1)形如μ＝eq \f(y－b,x－a)形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题或转化为线性规划问题．
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题或转化为线性规划问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
类型一 建立函数关系求最值
【例1】．(2020·厦门模拟)设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最大值为________．
类型二 借助几何性质求最值
【例2】．(2020·湖南师大附中模拟)已知点A(－2,0)，B(0,1)，若点C是圆x2－2ax＋y2＋a2－1＝0上的动点，△ABC面积的最小值为3－eq \r(2)，则a的值为________．
【例3】(1)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则(1)eq \f(y,x)的最大值和最小值分别为________和________；
(2)y－x的最大值和最小值分别为________和________；
(3)x2＋y2的最大值和最小值分别为________和________．
三、高效训练突破
一、选择题
1．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
2．(2020·河北省九校第二次联考)圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为( )
A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2－4x＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0
3．圆：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是( )
A．1＋eq \r(2) B．2
C．1＋eq \f(\r(2),2) D．2＋2eq \r(2)
4．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( )
A．x2＋(y－2)2＝5 B．(x－2)2＋y2＝5
C．x2＋(y＋2)2＝5 D．(x－1)2＋y2＝5
5.圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝( )
A．－eq \f(4,3) B．－eq \f(3,4)
C.eq \r(3) D．2
6．(2020·合肥二模)已知圆C：(x－6)2＋(y－8)2＝4，O为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程为( )
A．(x－3)2＋(y＋4)2＝100 B．(x＋3)2＋(y－4)2＝100
C．(x－3)2＋(y－4)2＝25 D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25
7．(2020·黄冈市高三元月调研)已知圆x2＋y2＋2k2x＋2y＋4k＝0关于直线y＝x对称，则k的值为( )
A．－1 B．1
C．±1 D．0
8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(8，0)，以OA为直径的圆与直线y＝2x在第一象限的交点为B，则直线AB的方程为( )
A．x＋2y－8＝0 B．x－2y－8＝0
C．2x＋y－16＝0 D．2x－y－16＝0
9．(2020·河北五个一名校联盟一诊)已知点P为圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4上一点，A(0，－6)，B(4，0)，则|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|的最大值为( )
A.eq \r(26)＋2 B．eq \r(26)＋4
C．2eq \r(26)＋4 D．2eq \r(26)＋2
10．(2020·南昌二模)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2＋y2≤1，若将军从点A(2,0)处出发，河岸线所在直线方程为x＋y＝3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为( )
A.eq \r(10)－1 B．2eq \r(2)－1
C．2eq \r(2) D.eq \r(10)
11.设点P是函数y＝－eq \r(4－（x－1）2)的图象上的任意一点，点Q(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为( )
A.eq \f(8\r(5),5)－2 B．eq \r(5)
C.eq \r(5)－2 D．eq \f(7\r(5),5)－2
12.(2020·兰州模拟)若直线ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)把圆(x＋4)2＋(y＋1)2＝16分成面积相等的两部分，则eq \f(1,2a)＋eq \f(2,b)的最小值为( )
A．10 B．8
C．5 D．4
二、填空题
1.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，eq \r(5))在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为eq \f(4\r(5),5)，则圆C的方程为________________．
2．已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，则点M的轨迹方程为________________．
3．一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2eq \r(7)，则该圆的方程为________．
4.(2020·福建厦门一模)在△ABC中，AB＝4，AC＝2，A＝eq \f(π,3)，动点P在以点A为圆心，半径为1的圆上，则eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的最小值为________．
5．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4eq \r(10).则直线CD的方程为________，圆P的方程为________．
三 解答题
1.(2020·柳州摸底)在平面直角坐标系xOy中，经过函数f(x)＝x2－x－6的图象与两坐标轴交点的圆记为圆C.
(1)求圆C的方程；
(2)求经过圆心C且在坐标轴上截距相等的直线l的方程．
2.设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
3.已知圆O：x2＋y2＝1，点A(－1,0)，点B(1,0)．点P是圆O上异于A，B的动点．
(1)证明：kAP·kBP是定值；
(2)过点P作x轴的垂线，垂足为Q，点M满足2eq \(PQ,\s\up6(→))＝－eq \(PM,\s\up6(→))，求点M的轨迹方程C；
(3)证明：kAM·kBM是定值．
定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆
标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心：(a，b)，半径：r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)
圆心：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，
半径：eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F)
标准方程的设法
一般方程的设法
圆心在原点
x2＋y2＝r2
x2＋y2－r2＝0
标准方程的设法
一般方程的设法
过原点
(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2
x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
圆心在x轴上
(x－a)2＋y2＝r2
x2＋y2＋Dx＋F＝0
圆心在y轴上
x2＋(y－b)2＝r2
x2＋y2＋Ey＋F＝0
与x轴相切
(x－a)2＋(y－b)2＝b2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq \f(1,4)D2＝0
与y轴相切
(x－a)2＋(y－b)2＝a2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq \f(1,4)E2＝0