新高考2024年高三数学专题训练直线和圆的方程（解答题篇）含答案

这是一份新高考2024年高三数学专题训练直线和圆的方程（解答题篇）含答案，共38页。试卷主要包含了已知直线经过点，已知圆的圆心的坐标为，且经过点，已知直线，已知圆C过点三点.，已知圆和点.，已知圆，直线，.，已知圆过三个点，，等内容，欢迎下载使用。
(1)若经过点，求的斜截式方程；
(2)若在轴上的截距为，求在轴上的截距．
2．在平面直角坐标系中，已知、，动点M满足
(1)求M的轨迹方程；
(2)设，点N是MC的中点，求点N的轨迹方程；
3．已知圆的圆心的坐标为，且经过点．
(1)求圆的标准方程；
(2)若为圆上的一个动点，求点到直线的距离的最小值．
4．已知直线：和圆：.
(1)求与直线垂直且经过圆心的直线的一般方程；
(2)求与直线平行且与圆相切的直线的一般方程.
5．已知圆C过点三点.
(1)求圆C的方程；
(2)是否存在斜率存在的直线与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等？若存在，求出该直线的方程；若不存在，说明理由.
6．已知圆和点.
(1)过点向圆引切线，求切线的方程；
(2)点是圆上任意一点，在线段的延长线上，且点是线段的中点，求点运动的轨迹的方程；
(3)设圆与轴交于两点，线段上的点上满足，若直线，且直线与（2）中曲线交于两点，满足.试探究是否存在这样的直线，若存在，请说明理由并写出直线的斜率，若不存在，请说明理由.
7．已知圆，直线，.
(1)判断直线l是否过定点，若过定点，请找出该定点；若不过定点，请说明理由.
(2)若直线l与圆C交于A、B两点，且，求该直线方程.
8．已知圆过三个点，，．
(1)求圆的标准方程；
(2)若点的坐标为，求过点的切线方程．
9．已知以点为圆心的圆经过点，线段AB的垂直平分线交圆于点C，D，且，
(1)求直线CD的方程；
(2)求圆的方程．
10．已知圆的圆心在直线上，点，都在圆上.
(1)求圆的方程；
(2)求过点且与圆相切的直线方程.
11．已知动点与两个定点，的距离的比是2.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程.
12．求分别满足下列条件的直线l的方程，化成一般形式.
(1)经过点，且与x轴垂直；
(2)斜率为－4，在y轴上的截距为7；
(3)经过，两点.
13．已知的三个顶点分别为，，.
(1)求边和所在直线的方程；
(2)求边上的中线所在直线与坐标轴围成的三角形的面积.
14．已知直线l：，一个圆的圆心C在x轴正半轴上，且该圆与直线l和y轴均相切．
(1)求该圆的方程；
(2)若直线：与圆C交于A，B两点，且，求m的值．
15．己知以点为圆心的圆与圆关于直线对称，过点的动直线与圆相交于，两点.
(1)求圆的方程；
(2)当时，求直线的方程.
16．已知直线经过
(1)当直线的倾斜角为45°时，求直线的方程；
(2)当直线在两坐标轴上的截距相等时，求直线的方程.
17．已知的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)求点到直线的距离；
(2)求边上的高所在直线的方程．
18．已知直线：，圆：，为坐标原点．
(1)若，判断直线与圆的位置关系；
(2)若直线与圆有公共点，求实数的取值范围．
19．已知圆心为的圆经过点．
(1)求圆的标准方程；
(2)过点求圆的切线方程，并求出切线长．
20．求圆与圆的公共弦所在直线被圆所截得的弦长．
21．已知点M到点的距离与点M到点的距离之比为.
(1)求M点的轨迹C的方程；
(2)求过轨迹C和的交点，且与直线相切的圆的方程；
22．已知圆C经过，两点，且圆心C在直线l：上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)求过点且与圆C相切的直线的斜率．
23．在下列所给的两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.
①与直线平行；②过点；
问题：已知直线过点，且______.
(1)求直线的一般式方程；
(2)若直线与圆相交于点，，求弦的长.
24．如图，一个湖的边界是圆心为的圆，湖的一侧有一条直线型公路，湖上有桥（是圆的直径）.规划在公路上选两个点，（点在点的左侧），并修建两段直线型道路，，规划要求：线段，上的所有点到点的距离均不小于圆的半径.已知点，到直线的距离分别为和（，为垂足），测得，，（单位，百米）．
(1)若点选在点的左侧8百米处，则道路是否符合规划要求？
(2)在规划要求下，求的最小值.
参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）根据斜率公式求解斜率，即可由点斜式求解；
（2）根据截距式代入即可求解.
【详解】（1）由题意得，则的方程为，
其斜截式方程为．
（2）设的截距式方程为，
由题意得得，
所以在轴上的截距为．
2．(1)
(2)
【分析】（1）设，根据向量数量积求解即可得答案；
（2）设，，进而根据相关点法求解即可；
【详解】（1）设，则，
所以，即
所以M的轨迹方程为.
（2）设，，
因为点N是的中点，
所以，即，
又因为在上，
所以，即.
所以点N的轨迹方程为.
3．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，求得圆的半径为，结合圆的标准方程，即可求解；
（2）根据题意，求得圆心到直线距离为，进而求得点到直线的距离的最小值．
【详解】（1）解：因为圆的圆心的坐标为，且经过点，
可得圆的半径为，
所以圆的标准方程为．
（2）解：由题意，圆心到直线的距离为，
所以点到直线的距离的最小值为．
4．(1)
(2)或.
【分析】（1）待定系数法设出与直线垂直的直线，代入圆心坐标计算即可得；
（2）待定系数法设出与直线平行的直线，借助与圆相切的性质计算即可得.
【详解】（1）设与直线垂直的直线为
圆可化为，圆心为，
又因为直线经过圆心，所以，即，
故所求直线方程为；
（2）设与直线平行的直线为.
又因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，
即，
所以，或5，
故所求直线方程为或.
5．(1)
(2)或或.
【分析】（1）设出圆的一般方程，将已知点坐标代入，解方程求得参数，即得答案；
（2）假设存在满足题意的直线，讨论其是否过原点，利用圆心到直线的距离等于半径列方程求解参数，即可得答案.
【详解】（1）设圆的一般方程为,
分别将代入得,
解得，满足，
故圆C的方程为；
（2）圆，即，圆心为，半径为，
由于，即原点在该圆外，
假设存在斜率存在的直线与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等
当该直线过原点时，设其方程为，即，则，
解得，则直线方程为，即；
当该直线不过原点时，则该直线斜率为1，设该直线方程为，
则，解得，
即直线方程为或；
故存在斜率存在的直线与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，
直线方程为或或.
6．(1)和
(2)
(3)存在，理由见解析，或
【分析】（1）根据直线与圆相切的几何意义，讨论直线斜率存在与不存在两种情况，计算可得；
（2）设点，点，根据中点建立等式，用含的式子表示，含的式子表示后代入点满足的方程中，化简计算即可；
（3）根据题意先求出点坐标，再设出直线方程，直线与曲线联立方程组求出，根据，建立等式求解即可.
【详解】（1）当斜率不存在时，显然与圆相切；
当斜率存在时，设切线为，由圆心到切线的距离为2，
，解得，则，整理得.
综上，切线方程为和.
（2）设点，点，点且点是线段的中点，
，由题意，点是圆上任意一点，
，即，符合题意，
点运动的轨迹的方程为；
（3）由题设，，,设,
,，，，
因为,得，即,
因为在线段上，所以，即，
若存在，由题意可不妨设的方程为，如图所示为正数，
联立，
（i）
设.
由求根公式
，
.
所以，
化简得：（ii）
（ii）在（i）的限制下有解，故存在这样的直线，
并且可以解得直线的斜率或.
7．(1)直线l过定点
(2)或.
【分析】（1）直线变形后得到方程组，求出，得到定点；
（2）由垂径定理和点到直线距离公式得到方程，求出的值，得到答案.
【详解】（1）直线l变形得，
令，
解得，
直线l过定点；
（2）圆，圆心为，半径为4，
设圆心C到直线l的距离记为d，
则，
由垂径定理得，
即，
解得或，
时，直线l的方程是；
时，直线l的方程是；
综上，直线l的方程是或.
8．(1)
(2)和
【分析】（1）设圆的一般方程为，代入三点的坐标，求解即可；
（2）分斜率不存在和斜率存在两种情况，结合点到直线的距离公式即可求解．
【详解】（1）设圆的一般方程为，
将三个点，，代入得，
解得，
所以圆的一般方程为，
化为标准方程为．
（2）圆：的圆心，半径，
当切线斜率不存在时，易知切线方程为，
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
则依题意可得，解得，
此时切线方程为，即，
综上所述，过点的切线方程为和．
9．(1)
(2)或．
【分析】（1）先求出直线的斜率，进而求得直线的斜率，再求线段的中点，即可利用点斜式得直线方程；
（2）设圆心的坐标为，利用勾股定理和点到直线的距离公式可求得的值，进而可得圆的方程．
【详解】（1）因为直线的斜率，所以直线的斜率为2，
的中点坐标为，
所以直线的方程为，即．
（2）设圆心，由点在直线上，得，
又因为，所以圆的半径，
,
弦心距，由勾股定理可得，
所以，解得或，
所以圆心或，
所以圆的方程为或．
10．(1)
(2)和
【分析】（1）根据待定系数法即可求解，
（2）根据圆心到直线的距离等于半径即可求解.
【详解】（1）设圆心,由题,
解得,
所以,圆的方程为：；
（2）当的斜率不存在时,方程为,
圆心到直线距离等于2,此时与圆相切,符合题意；
当的斜率存在时,设方程为,
此时圆心到直线的距离等于半径2,
即：,解得：,
此时方程为：,
综上可得方程为和,
11．(1)
(2)或
【分析】（1）直接利用条件求出点的轨迹方程，所求方程表示一个圆；
（2）直线的斜率分存在与不存在两种情况，当直线的斜率不存在时，检验不满足条件；当直线的斜率存在时，用点斜式设出直线的方程，根据弦长和点到直线的距离公式列出等式即可求出直线的斜率，进而求出直线的方程.
【详解】（1）设点，
动点与两个定点，的距离的比是，
，即，
则，
化简得，
所以动点的轨迹的方程为；
（2）由（1）可知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
直线被曲线截得的弦长为，
圆心到直线的距离，
①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离是3，不符合条件；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
所以圆心到直线的距离，
化简得，解得或，
此时直线的方程为或.
综上，直线的方程是或.
12．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据条件直接写出直线方程即可.
（2）由条件利用斜截式求直线的方程，并化为一般式.
（3）由条件利用两点式求直线的方程，并化为一般式.
【详解】（1）因为直线经过点，且与x轴垂直，
则直线方程为，即.
（2）由题直线斜率为－4，在y轴上的截距为7，
由直线斜截式方程，得，化成一般式为.
（3）由题直线经过，两点，
由直线两点式方程得，整理得.
13．(1)，
(2)25
【分析】（1）由截距式直线方程与两点式直线方程即可写出直线方程；
（2）先将直线方程求出，再写出截距式直线方程即可求三角形面积.
【详解】（1）由截距式，得边所在直线的方程为，即.
由两点式，得边所在直线的方程为，即.
（2）由题意，得点的坐标为，
由两点式，得边所在直线的方程为，
即，所以.
所以直线与坐标轴围成的三角形的面积.
14．(1)
(2)
【分析】（1）设出圆心，，根据半径r的几何关系进行判断，从而求出半径r，即可得到圆的方程；
（2）由圆的方程找出圆心坐标和半径r，再利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，由圆的性质得到弦的一半，弦心距及圆的半径构成直角三角形，由求出的d，圆的半径r，以及的一半，利用勾股定理列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．
【详解】（1）设圆心，，半径为r，
该圆与直线l和y轴均相切，，
化简得，即，
解得或，，，
圆的方程为.
（2）由得圆心坐标，半径，
所以圆心到直的距离，
由得，
化简，即，
解得．
15．(1)
(2)或
【分析】（1）转化为两点关于一条直线对称的问题，结合“一垂直二中点”列方程组，可求得点坐标，进一步求圆的方程；
（2）先求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式求直线方程.
【详解】（1）由题意：点与点关于直线对称.
设点坐标为，则：解得：，
所以圆的方程为：.
（2）∵圆的半径为，弦长，∴圆心到直线的距离为：.
设直线方程为：，由解得：或.
所以直线的方程为：或.
16．(1)
(2)或
【分析】（1）由直线的倾斜角为45°时，求得斜率为，结合点斜式方程，即可求解；
（2）当直线过原点时，得到；当直线不过原点时，设方程为，代入点，求得，即可求解.
【详解】（1）由题意，直线的倾斜角为45°时，可得直线的斜率为，
又由直线经过，所以直线的方程为，即直线的方程为.
（2）当直线过原点时，因为直线经过，可得直线方程为，即；
当直线不过原点时，可设直线的方程为，
因为直线过点，可得，解得，所以直线的方程为.
综上所述，直线的方程为或.
17．(1)
(2)
【分析】（1）先求出直线的一般式方程，再由点到直线距离公式计算即可；
（2）由直线方程的点斜式求解即可.
【详解】（1）由已知，直线的斜率为，
∴直线的方程为，即.
∴点到直线的距离为.
（2）由第（1）问，直线的斜率为，
∴边上的高所在直线的斜率为，
又∵边上的高所在直线过点，
∴边上的高所在直线的方程为，即.
18．(1)直线与圆相离
(2)
【分析】（1）根据,，可求得直线方程，利用圆心到直线的距离和半径关系即可判断；
（2）直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离小于等于半径，建立不等式，解出即可.
【详解】（1）由题可知，，
若,则，
所以，解得，
此时直线：，
圆心到的距离，所以直线与圆相离．
（2）若与圆有公共点，则圆心到直线的距离小于等于半径，即，
两边平方，整理得，解得，
所以实数的取值范围为．
19．(1)圆的方程为
(2)切线方程为或，切线长为
【分析】（1）根据圆心和圆上一点坐标求圆的半径，利用圆的标准方程求圆的方程；
（2）利用圆心到切线距离为半径求斜率的值，勾股定理求切线长.
【详解】（1）设圆的半径为，根据已知有，
解得，
所以圆的方程为.
（2）根据有点在圆外，
当切线斜率不存在时，不合题意；
设切线的斜率，切线方程为，
化为，
根据题意圆心到切线距离为，
则有，
整理有，
解得或，
所以切线方程为或
求切线长如图：
圆心到点距离，
设切线长为，则有，
由勾股定理可求，
所以切线长为.
20．
【详解】解：设两圆的交点坐标分别为，，
则A，B的坐标是方程组的解，
两式相减得．
因为A，B两点的坐标满足，所以AB所在直线方程为，
即，的公共弦所在直线方程为，
圆的圆心为，其到直线AB的距离，由条件知，
所以直线AB被圆截得的弦长为．
21．(1)
(2)或.
【分析】（1）由题意得到，利用两点距离公式即可得到M点的轨迹C的方程；
（2）求出交点坐标，设出圆心坐标，根据点到直线的距离等于半径得到方程，解出即可.
【详解】（1）依题意，得，不妨设，
因为，，
所以，即，
整理得，配方得，
所以点的轨迹的方程为.
（2）联立得，解得或，
设，，该圆的圆心为，
显然圆心位于线段的垂直平分线上，即轴上，则设，
则，解得或，
当时，此时圆心坐标为，，则此时圆的方程为，
当当时，此时圆心坐标为，，则此时圆的方程为.
故满足题意的圆的方程为或.
22．(1)
(2)
【分析】（1）设圆心C的坐标为，由，求出的值，得到圆心坐标，求出半径得圆C的标准方程；
（2）设出切线方程，由圆心到直线距离等于半径，求出未知系数.
【详解】（1）因为圆心C在直线l：上，所以可设圆心C的坐标为，
又，即，解得．
所以圆心，圆的半径，
故圆C的标准方程是．
（2）直线过点且与圆C相切，斜率不存在时不满足条件，
设切线斜率为，切线方程为，即．
直线与圆相切，则圆心到直线的距离，
解得，即过点且与圆C相切的直线的斜率为．
23．(1)
(2)4
【分析】（1）若选①，由题可得直线斜率，结合直线过点可得答案；若选②，由两点式可确定直线方程；
（2）由（1）可得直线到圆圆心距离d，则弦长度l满足，即可得答案.
【详解】（1）若选①，因为直线的斜率为，直线与直线平行，
所以直线的斜率为依题意，直线的方程为，即；
若选②，因为直线过点及，所以直线的方程为，即；
（2）若选①，的圆心到直线的距离为：
又圆的半径为，所以；
若选②，圆的圆心到直线的距离为：
，又圆的半径为，所以.
24．(1)不符合
(2)
【分析】（1）建立平面直角坐标系，依题意可知时满足规划要求，此时最短为9，即可知若点选在点的左侧8百米处，则道路不符合规划要求；
（2）利用三角形相似可求出的最小值为百米.
【详解】（1）以为坐标原点建立平面直角坐标系，如下图所示：
根据规划要求可知当时满足规划，
当时，此时最短，
作于点，由，，可得，
此时可得，即，可得，
即点选在点的左侧至少9百米处，道路符合规划要求，
因此若点选在点的左侧8百米处，则道路不符合规划要求.
（2）同理可知，当时，道路符合规划要求，
此时，即，可得，
根据规划要求可知，符合题意的选点需在图中点左侧和点右侧，
因此，
即在规划要求下，的最小值为百米.