抛物线专题训练

这是一份抛物线专题训练，共21页。
例1 (1) 设圆C与圆外切，与直线相切，则圆心C的轨迹为（ ）
A抛物线 B 椭圆 C 双曲线 D 圆
【解析】A
由题可知圆心C不可能在X轴下方，设圆C的半径为r，则圆心C到直线的距离为r，由两圆相切可知，圆心C到点的距离为，即圆心C到点的距离比到直线的距离大1，故圆心C到点距离等于到直线
(２)设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程为（ ）
A B C D
【解析】B
(３)点为定点，点是抛物线的焦点，点在抛物线上移动，则取得最小值是
【解析】
（４）已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和的最小值为
【解析】
（５）抛物线上的点到直线的距离的最小值为_________.
【解析】
（６）(2019·青岛质检)已知点A是抛物线C：x2＝2py(p＞0)的对称轴与准线的交点，过点A作抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，若△APQ的面积为4，则实数p的值为 ( )
A.eq \f(1,2) B.1 C.eq \f(3,2) D.2
解法一：设过点A且与抛物线C相切的直线为y＝kx－eq \f(p,2).由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx－\f(p,2)，,x2＝2py，))得x2－2pkx＋p2＝0.由
Δ＝4p2k2－4p2＝0，得k＝±1，所以点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－p，\f(p,2)))，Q(p，eq \f(p,2))，所以△APQ的面积为S＝eq \f(1,2)×2p×p＝4，解得p＝2.
解法二：如图，设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)．


由题意得点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))，又y＝eq \f(1,2p)x2，求导得y′＝eq \f(1,p)x，所以切线PA的方程为y－y1＝eq \f(1,p)x1(x－x1)，即y＝eq \f(1,p)x1x－eq \f(1,2p)xeq \\al(2,1)，切线PB的方程为y－y2＝eq \f(1,p)x2(x－x2)，即y＝eq \f(1,p)x2x－eq \f(1,2p)xeq \\al(2,2)，代入Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))，得点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－p，\f(p,2)))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p，\f(p,2)))，所以△APQ的面积为S＝eq \f(1,2)×2p×p＝4，解得p＝2.故选D.
(７)(河南省2019届高三考前仿真)已知A，B为抛物线x2＝2py(p＞0)上的两个动点，以AB为直径的圆C经过抛物线的焦点F，且面积为2π，若过圆心C作该抛物线准线l的垂线CD，垂足为D，则|CD|的最大值为 ( )
A.2 B.eq \r(2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(1,2)
解：根据题意，2π＝π(eq \f(|AB|,2))2，
所以|AB|＝2eq \r(2).
设|AF|＝a，|BF|＝b，过点A作AQ⊥l于Q，过点B作BP⊥l于P，
由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|.
在梯形ABPQ中，因为点C为AB的中点，
所以2|CD|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b，
由勾股定理得，a2＋b2＝8，
因为|CD|2＝(eq \f(a＋b,2))2＝eq \f(a2＋b2＋2ab,4)＝eq \f(8＋2ab,4)＝2＋eq \f(ab,2)≤2＋eq \f(a2＋b2,4)＝4，所以|CD|≤2(当且仅当a＝b，即|AF|＝|BF|时，等号成立)．故选A.
点拨 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．另外，抛物线切线相关问题，注意应用导数工具，可避免联立，使问题简单化．
变式1 (1) 动点M到点F的距离和到直线：的距离相等，则动点的轨迹为（ ）
A抛物线 B 直线 C 线段 D 射线
【解析】B
因为点F在定直线：上，所以动点M的轨迹不是抛物线，而是以F为垂足，和直线垂直的直线
（２）若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则
【解析】
（３）点为定点，点是抛物线的焦点，点在抛物线上移动，则取得最小值是
【解析】
（４）设为抛物线的焦点，是抛物线上一点，是圆：上任意一点，设点到轴的距离为，则的最小值______
【解析】：2
（５）已知抛物线方程为，直线的方程为，在抛物线上有一动点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为
【解析】
（６）已知点是抛物线上一点，为其焦点，点在圆上，则的最小值为____________.
【解析】
（７）抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，l与x轴的交点为A，点B在l上，直线FB的倾斜角为45°，且eq \(FA,\s\up6(→))·eq \(FB,\s\up6(→))＝4，则△ABF的面积为 ( )
A.eq \r(2) B.2 C.2eq \r(2) D.4
解：由直线FB的倾斜角为45°，
得eq \(FA,\s\up6(→))·eq \(FB,\s\up6(→))＝|eq \(FA,\s\up6(→))|2＝p2＝4，所以p＝2.
所以|AB|＝|FA|＝2，
故△ABF的面积为eq \f(2×2,2)＝2.
故选B.
(８)设P为抛物线y2＝8x上的动点，P在y轴的投影为点M，点A(4，6)，则|PA|＋|PM|的最小值是 ．
解：由题得焦点F(2，0)，准线x＝－2，延长PM交准线于H点，则有|PF|＝|PH|，所以|PM|＝|PH|－2＝|PF|－2，所以|PM|＋|PA|＝|PF|＋|PA|－2，即求出|PF|＋|PA|的最小值即可．已知点A在抛物线外，由三角形两边之和大于第三边可知|PF|＋|PA|≥|FA|，当点P是线段FA和抛物线的交点时，|PF|＋|PA|可取得最小值为|FA|，由两点之间距离公式计算求得|FA|＝2eq \r(10)，则|PA|＋|PM|的最小值是2eq \r(10)－2.故填2eq \r(10)－2.
考点二 抛物线性质
例2 (1)(eq \a\vs4\al(江西新八校2019届高三二联))如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝4|BF|，且|AF|＝6，则p＝ ( )


A.eq \f(9,4) B.eq \f(9,2) C.9 D.18
解：设准线与x轴交于点P，分别作AM，BH垂直于准线，垂足分别为M，H.


由抛物线定义知|AM|＝|AF|，|BF|＝|BH|.又|BC|＝4|BF|，则eq \f(|BC|,|BH|)＝eq \f(|AC|,|AM|)＝4，又|AM|＝|AF|＝6，所以|AC|＝24，则|CF|＝|AC|－|AF|＝18，又eq \f(|AC|,|CF|)＝eq \f(|AM|,|PF|)，即eq \f(24,18)＝eq \f(6,p)，所以p＝eq \f(9,2).故选B.
(2)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，l与x轴的交点为P，点A在抛物线C上，过点A作AA′⊥l，垂足为A′.若四边形AA′PF的面积为14，且cs∠FAA′＝eq \f(3,5)，则抛物线C的方程为
( )
A.y2＝8x B.y2＝4x C.y2＝2x D.y2＝x
解：作出图形如图所示，过点F作FF′⊥AA′，

垂足为F′.设|AF′|＝3x，因为cs∠FAA′＝eq \f(3,5)，故|AF|＝5x，|FF′|＝4x，由抛物线定义可知，|AF|＝|AA′|＝5x，则|A′F′|＝2x＝p，故x＝eq \f(p,2).
四边形AA′PF的面积S＝eq \f(（|PF|＋|AA′|）·|PA′|,2)＝eq \f(（p＋\f(5,2)p）·2p,2)＝14，解得p＝2，故抛物线C的方程为y2＝4x.故选B.
点拨 ①求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．②在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．
变式2 (1)若点A，B在抛物线y2＝2px(p>0)上，O是坐标原点，若正△OAB的面积为4eq \r(3)，则该抛物线的方程是 ( )
A.y2＝eq \f(2\r(3),3)x B.y2＝eq \r(3)x
C.y2＝2eq \r(3)x D.y2＝eq \f(\r(3),3)x
解：根据对称性，可知AB⊥x轴，由于正△OAB的面积是4eq \r(3)，故eq \f(\r(3),4)|AB|2＝4eq \r(3)，故|AB|＝4，正△OAB的高为2eq \r(3)，故可设点A的坐标为(2eq \r(3)，2)，代入抛物线方程得4＝4eq \r(3)p，解得p＝eq \f(\r(3),3)，故所求抛物线的方程为y2＝eq \f(2\r(3),3)x.故选A.
(2)(安徽蚌埠2019届高三第三次质检)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|＝2，若以MF为直径的圆过点(0，1)，则抛物线C的焦点到准线距离为 ( )
A.2 B.2或4 C.8 D.8或16
解：设点M的坐标为(eq \f(yeq \\al(2,0),2p)，y0)，A(0，1)，抛物线的焦点F(eq \f(p,2)，0)，抛物线的准线为x＝－eq \f(p,2)，由抛物线的定义可知，|MF|＝2⇒eq \f(yeq \\al(2,0),2p)－(－eq \f(p,2))＝2⇒eq \f(yeq \\al(2,0),2p)＋eq \f(p,2)＝2①，
因为以MF为直径的圆过点(0，1)，所以有
eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝0⇒(eq \f(yeq \\al(2,0),2p)，y0－1)·(eq \f(p,2)，－1)＝0⇒yeq \\al(2,0)－4y0＋4＝0⇒y0＝2，代入①中得，
eq \f(2,p)＋eq \f(p,2)＝2⇒p＝2，抛物线C的焦点到准线距离为2.
故选A.
考点三 直线与抛物线
例3 （１）过点与抛物线有且只有一个交点的直线有（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
【解析】
（２）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们的横坐标之和等于，则这样的直线（ ）
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在
【解析】A 过抛物线的焦点，作一条直线与抛物线相交于两点，
若直线的斜率不存在，则横坐标之和等于5，适合．
再设直线的斜率为，则直线为，代入抛物线得，，∵两点的横坐标之和等于5，∴，解得k∈∅，则这样的直线有且仅有一条．
（３）若直线l过抛物线的焦点，与抛物线交于两点，且线段中点的横坐标为，则弦的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解析】C 因为抛物线为，所以设A、B两点横坐标分别为，因为线段中点的横坐标为2，则，故．
（４）已知直线：经过抛物线：的焦点，与交于 两点．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】B 和联立得：，
设，则；又直线l：经过抛物线C：的焦点，∴．又．
（５）过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为，则直线的斜率等于_____
【解析】
（６）过点且与抛物线只有一个公共点的直线有（ ）
．条 ．条 ．条 ．无数条
【解析】
（７）过点且与抛物线有且只有一个公共点的直线有（ ）
．条 ．条 ．条 ．条
【解析】
（８）直线与抛物线有且只有一个公共点，则的值是（ ）
． ．或 ． ．或
【解析】
（９）抛物线的焦点，是过焦点的弦，且的倾斜角为，则的长度为
【解析】32
（１０）设抛物线C： 的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，为抛物线的准线与轴的交点．若，则 ________.
【解析】8
（１１）(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为eq \f(3,2)的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(Ⅰ)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(Ⅱ)若eq \(AP,\s\up6(→))＝3eq \(PB,\s\up6(→))，求|AB|.
解：设直线l：y＝eq \f(3,2)x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(Ⅰ)由题设得F(eq \f(3,4)，0)，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋eq \f(3,2)＝4，则x1＋x2＝eq \f(5,2).
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x，))得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
则x1＋x2＝－eq \f(12（t－1）,9).
从而－eq \f(12（t－1）,9)＝eq \f(5,2)，得t＝－eq \f(7,8).
所以l的方程为y＝eq \f(3,2)x－eq \f(7,8).
(Ⅱ)由eq \(AP,\s\up6(→))＝3eq \(PB,\s\up6(→))可得y1＝－3y2.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(3,2)x＋t,y2＝3x))，可得y2－2y＋2t＝0，
所以y1＋y2＝2.从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.
代入C的方程得x1＝3，x2＝eq \f(1,3).
故|AB|＝eq \r(1＋k2)|x2－x1|＝eq \f(4\r(13),3).
变式3 （１）设抛物线的准线与轴交于点.若过点的直线与抛物线有公共点，求直线的取值范围_______
【解析】
（２）已知圆过定点且圆心在抛物线上运动，若轴截圆所得的弦长为，则弦长等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．与点位置有关的值
【解析】A 设圆心坐标为，由于过定点（2，0），则其半径为，
那么可知其圆的方程为，令，可得，
由韦达定理可知：，，弦长为
（３）已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则=（ ）
A． B． C． D．
【解析】A
（４）已知抛物线的焦点为，直线与此抛物线相交于两点，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】A. 提示：方程联立，韦达定理 .
（５）抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，线段的垂直平分线交轴与点，若,则点的坐标为_____.
【解析】
（６）抛物线在点处的切线方程为 ．
【解析】
（７）过抛物线：的焦点的直线交抛物线于、两点，若抛物线在点处的切线斜率为，则线段（ ）
． ． ． ．
【解析】
（８）过抛物线的焦点F的直线交抛物线于两点，若，则 ________
【解析】
（９）如图，过抛物线的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点，若，且，则抛物线的方程是______________．
【解析】
（１０）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若， ，则 _______.
【解析】
由，得焦点．又，故的斜率存在(否则)．设直线的方程为，，将代入，得，故，由，得，即，则，又，所以，，故BF＝x2＋1＝3＋2eq \r(2)＋1＝4＋2eq \r(2).
（１１）(北京市人大附中2019届高三高考信息卷三)已知抛物线C：y2＝2px过点M(2，2)，A，B是抛物线C上不同两点，且AB∥OM(其中O是坐标原点)，直线AO与BM交于点P，线段AB的中点为Q.
(1)求抛物线C的准线方程；
(2)求证：直线PQ与x轴平行．


解：(1)由题意得22＝4p，解得p＝1.
所以抛物线C的准线方程为x＝－eq \f(p,2)＝－eq \f(1,2).
(2)证明：设A(eq \f(yeq \\al(2,1),2)，y1)，B(eq \f(yeq \\al(2,2),2)，y2)，
由AB∥OM得kAB＝kOM＝1，则eq \f(y2－y1,\f(yeq \\al(2,2),2)－\f(yeq \\al(2,1),2))＝eq \f(2,y2＋y1)＝1，所以y2＋y1＝2.
所以线段AB的中点Q的纵坐标为yQ＝1.
直线AO的方程为y＝eq \f(y1,\f(yeq \\al(2,1),2))x＝eq \f(2,y1)x， ①
直线BM的方程为y－2＝eq \f(y2－2,\f(yeq \\al(2,2),2)－2)(x－2)＝eq \f(2,y2＋2)(x－2)， ②
联立①②解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(y1,2)，,y＝1，))即点P的纵坐标为yP＝1.
则yQ＝yP，即PQ∥x轴．
当直线BM斜率不存在时，结论显然也成立．
故直线PQ与x轴平行．

课后作业
1.已知直线l过点(eq \f(3,2)，2)且与x轴垂直，则以直线l为准线、顶点在原点的抛物线的方程是 ( )
A.y2＝6x B.y2＝－6x
C.x2＝6y D.x2＝－6y
解：依题意，设抛物线的方程为y2＝－2px(p＞0)，
因为准线方程为x＝eq \f(3,2)，
所以eq \f(p,2)＝eq \f(3,2)，所以p＝3，
所以抛物线的方程是y2＝－6x.故选B.
2．(湖北部分重点中学2020届高三新起点考试)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，点M在C上，直线MF与l交于点N.若∠MFO＝eq \f(π,3)，则eq \f(|MF|,|MN|)＝ ( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
解：作MQ垂直l于Q，则在Rt△MQN中， ∠MQN＝eq \f(π,2)，∠MNQ＝eq \f(π,6)，所以eq \f(|MF|,|MN|)＝eq \f(|MQ|,|MN|)＝ sin∠MNQ＝eq \f(1,2).故选C.
3．已知双曲线C1：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为
( )
A.x2＝eq \f(8\r(3),3)y B.x2＝eq \f(16\r(3),3)y
C.x2＝8y D.x2＝16y
解：由e2＝1＋eq \f(b2,a2)＝4得eq \f(b,a)＝eq \r(3)，则双曲线的渐近线方程为y＝±eq \r(3)x，即eq \r(3)x±y＝0，
抛物线C2的焦点坐标为(0，eq \f(p,2))，则有eq \f(\f(p,2),2)＝2，解得p＝8，
故抛物线C2的方程为x2＝16y.故选D.
4．(山西省晋城市2019－2020学年高三第一次模拟)斜率为eq \f(\r(3),3)的直线l过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，若l与圆M：(x－2)2＋y2＝4相切，则p＝ ( )
A.12 B.8 C.10 D.6
解：因为直线的斜率为eq \f(\r(3),3)，所以倾斜角为30°，即∠MFA＝30°，
结合题意作图，


由图可得|MF|＝2|AM|＝4，所以eq \f(p,2)－2＝4，解得p＝12.故选A.
5．(山东泰安教科研中心2019届高三考前密卷)已知F为抛物线y2＝4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，则||FA|－|FB||的值等于 ( )
A.8eq \r(2) B.8 C.4eq \r(2) D.4
解：依题意知F(1，0)，故直线AB的方程为y＝x－1，联立方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,y＝x－1，))可得x2－6x＋1＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，x1x2＝1.
由抛物线的定义可知，|FA|＝x1＋1，|FB|＝x2＋1，所以||FA|－|FB||＝|x1－x2|＝eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq \r(36－4)＝4eq \r(2).故选C.
6．(2019·豫南九校联考)已知点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8，7)，则|PA|＋|PQ|的最小值为 ( )
A.7 B.8 C.9 D.10
解：延长PQ与准线交于M点，抛物线的焦点为F(0，1)，准线方程为y＝－1，根据抛物线的定义知，|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1.所以|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PM|－1＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝eq \r(82＋（7－1）2)－1＝10－1＝9.


当且仅当A，P，F三点共线时，等号成立，则|PA|＋|PQ|的最小值为9.故选C.
7．(陕西省五校2020届高三上学期第一次联考)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且直线l与圆x2－px＋y2－eq \f(3,4)p2＝0交于C，D两点，若|AB|＝3|CD|，则直线l的斜率为 ( )
A.eq \f(1,2) B.1 C.±eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(2),2)
解：由题意得，F(eq \f(p,2)，0)，由x2－px＋y2－eq \f(3,4)p2＝0，配方为(x－eq \f(p,2))2＋y2＝p2，可得|CD|＝2p，所以直线l过圆心(eq \f(p,2)，0)，可设直线l的方程为y＝k(x－eq \f(p,2))，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x－\f(p,2)），,y2＝2px，))化为x2－(p＋eq \f(2p,k2))x＋eq \f(p2,4)＝0，所以x1＋x2＝p＋eq \f(2p,k2)，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝2p＋eq \f(2p,k2)，
由|AB|＝3|CD|，所以2p＋eq \f(2p,k2)＝6p，可得k2＝eq \f(1,2)⇒k＝±eq \f(\r(2),2).故选C.
8．【多选题】已知点F是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，AB，CD是经过点F的弦且AB⊥CD，AB的斜率为k，且k＞0，C，A两点在x轴上方．则下列结论中一定成立的是 ( )

A.eq \f(1,|AB|)＋eq \f(1,|CD|)＝eq \f(1,2p)
B.若|AF|·|BF|＝eq \f(4,3)p2，则k＝eq \f(\r(3),3)
C.eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OD,\s\up6(→))
D.四边形ACBD面积最小值为16p2
解：因为AB的斜率为k，AB⊥CD，所以kCD＝－eq \f(1,k)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的方程为y＝k(x－eq \f(p,2))，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x－\f(p,2)），,y2＝2px))可得，k2x2－p(k2＋2)x＋eq \f(1,4)k2p2＝0，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝\f(p（k2＋2）,k2)，,x1x2＝\f(1,4)p2，))所以|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(p（k2＋2）,k2)＋p＝eq \f(2p（k2＋1）,k2)，
同理可得|CD|＝eq \f(2p（\f(1,k2)＋1）,\f(1,k2))＝2p(1＋k2)，则有eq \f(1,|AB|)＋eq \f(1,|CD|)＝eq \f(1,2p)，所以A正确；
eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝eq \f(1,4)p2＋k2(x1－eq \f(p,2))(x2－eq \f(p,2))＝eq \f(1,4)p2＋k2[x1x2－eq \f(p,2)(x1＋x2)＋eq \f(1,4)p2]＝eq \f(1,4)p2＋eq \f(1,2)k2p2－eq \f(p2（k2＋2）,2)＝－eq \f(3,4)p2与k无关，同理eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OD,\s\up6(→))＝－eq \f(3,4)p2，故eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OD,\s\up6(→))，C正确；
若|AF|·|BF|＝eq \f(4,3)p2，由(x1＋eq \f(p,2))(x2＋eq \f(p,2))＝x1x2＋eq \f(p,2)(x1＋x2)＋eq \f(1,4)p2得eq \f(1,2)p2＋eq \f(p2（k2＋2）,2k2)＝p2＋eq \f(p2,k2)＝eq \f(4,3)p2，解得k＝eq \r(3)，故B错；
因为AB⊥CD，所以四边形ACBD面积SACBD＝eq \f(1,2)|AB|·|CD|＝eq \f(1,2)·eq \f(2p（k2＋1）,k2)·2p(1＋k2)＝eq \f(2p2（k2＋1）2,k2)＝2p2(k2＋eq \f(1,k2)＋2)≥8p2，当且仅当k2＝eq \f(1,k2)，即k＝1时，等号成立，故D错．故选AC.
9．抛物线y2＝2x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点到y轴的距离是 ．
解：抛物线y2＝2x的焦点为F(eq \f(1,2)，0)，准线方程为x＝－eq \f(1,2)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＋|BF|＝x1＋eq \f(1,2)＋x2＋eq \f(1,2)＝5，解得x1＋x2＝4，故线段AB的中点横坐标为2.故线段AB的中点到y轴的距离是2.故填2.
10．(2019·沈阳质检一)已知抛物线y2＝4x的一条弦AB恰好以P(1，1)为中点，则弦AB所在直线的方程是 ．
解：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由A，B都在抛物线上，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(yeq \\al(2,1)＝4x1，,yeq \\al(2,2)＝4x2，))作差得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．因为AB的中点为P(1，1)，所以y1＋y2＝2，且x1≠x2，则有2·eq \f(y1－y2,x1－x2)＝4，所以kAB＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝2，从而直线AB的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.故填2x－y－1＝0.
11．如图是抛物线形拱桥，设水面宽|AB|＝18米，拱顶距离水面8米，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF.若|CD|＝9米，那么|DE|不超过多少米才能使货船通过拱桥？


解：如图所示，以拱顶O为原点，过点O且平行于AB的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则B(9，－8)．


设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
因为B点在抛物线上，所以81＝－2p·(－8)，
所以p＝eq \f(81,16)，所以抛物线的方程为x2＝－eq \f(81,8)y.
当x＝eq \f(9,2)时，y＝－2，即|DE|＝8－2＝6.
所以|DE|不超过6米才能使货船通过拱桥．
12．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2eq \r(2)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1