3.4 函数的单调性（精讲+精练+原卷+解析）

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1．（2021·阿瓦提县第四中学高三月考）的单调增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题得二次函数的图象的对称轴为，因为抛物线开口向上，
所以函数的单调增区间为.故选：A
2．（2021·海原县）函数的单调增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为显然恒成立，
所以函数的定义域为；
令，则是开口向上的二次函数，且对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增；
根据复合函数单调性的判定方法可得，的单调增区间为.故选：C.
3．（2021·安徽省）函数单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，．由，得．
因为函数是关于的递减函数，且时，为增函数，所以为减函数，所以函数的单调减区间是．故选：C.
4．（多选）（2020·沙坪坝区）下列函数中，在内是减函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【解析】A：为减函数，在上为增函数，所以为减函数；
B：为减函数，在上为增函数，所以为减函数；
C：为减函数，在上为增函数，所以为减函数；
D：为增函数，在上为增函数，所以为增函数；故选：ABC
5．（2020·安徽省砀山第二中学）函数的单调递增区间为__________.
【答案】或
【解析】由题意得，解得，
，（），
令（），则，
因为在上递增，在上递减，
因为在上递减，
所以在上递减，在上递增，
故答案为：或
6．（2020·奉新县第一中学高三月考（文））函数f(x)=lg(-)的单调增区间____________.
【答案】
【解析】令t=-＞0，求得0＜x＜2，故函数的定义域为{x|0＜x＜2}，
根据y=g（t）=lgt，本题即求函数t在定义域内的增区间，
再利用二次函数的性质求得函数t在定义域内的增区间为，
故答案为：．
【题组二 利用单调性求参数】
1．（2021·浙江高三专题练习）若函数在内不单调，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由题意得的对称轴为，因为函数在内不单调，所以，得．故答案为：．
2．（2020·陕西省）若函数在区间内是减函数，则实数m的取值范围是_____.
【答案】
【解析】函数，
因为在内是减函数，
所以，解得.
故答案为：
3．（2021·全国高三专题练习）已知函数在上单调递减，则实数a 的取值范围为____________.
【答案】或
【解析】当时,当,即时,,解得,此时,
当，即时，解得，此时无解，
当，即时，，解法，此时无解，
所以，
又因为，在上单调递减，
所以由对勾函数的性质得，
解得，此时，.
综上：.
当时,当,即时, ,解得,此时无解，
当，即时，解得，此时，
当，即时，，解得，此时，
综上：
此时，在上单调递减，
所以
综上：实数a 的取值范围为或
故答案为：或
4．（2021·安徽淮北市）已知函数在R上是减函数，则a的取值范围是_____．
【答案】
【解析】因为函数在R上是减函数，所以，
解得，故答案为：
5．（2020·全国高三专题练习）函数在是减函数，则实数a的取值范围是______
【答案】
【解析】因为函数在上是减函数，
所以对称轴，即.故答案为：
6．（2020·全国高三专题练习）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为_________________.
【答案】
【解析】由分段函数解析式知：在和上单调递减，单调递增，
∴在上单调递增，有，即，
故答案为：.
7．（2021·南昌市新建区）函数是单调函数，则的取值范围是____________
【答案】
【解析】因为在上为增函数，所以在上为增函数，
所以，解得，所以的取值范围是，故答案为：
8．（2021·全国高三专题练习）使函数满足：对任意的，都有的充分不必要条件为（ ）
A．或B．
C．D．
【答案】C
【解析】当时，，，
对任意的，都有，
则时，单调递减，即或，
可得或.
所以对任意的，都有的充要条件是或，
所以对应的充分不必要条件是或的真子集，
所以选项C不正确，
故选：C
9．（2020·北京北师大二附中高三月考）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立.
即，即，解得：或.
检验，当时，不是常函数，所以成立.故选：D
10．（2021·全国高三专题练习）已知函数，在R上单调递增，则mn的最大值为（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】D
【解析】由题意可知，函数在R上单调递增，则，解得，则由基本不等式可得，当且仅当m=n=时取等号.故选：D
11．（2021·全国高三专题练习（文））已知，若对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据可知，
令
由知为增函数，
所以恒成立，
分离参数得，
而当时，在时有最大值为，
故.
故选：D
12．（2020·海口市灵山中学高三月考）已知是上的减函数，那么a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为是上的减函数，所以，
解得.故选：C.
13．（2020·全国（理））若函数在区间上单调递减，且，，则
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由5+4x-x2＞0，可得-1＜x＜5，
函数t=5+4x-x2的增区间为（-1，2），
要使f(x)＝lg0.3(5+4x−x2)在区间（a-1，a+1）上单调递减，
则 ，即0≤a≤1．
而b=1g0.3＜0，c=20.3＞1，
∴b＜a＜c．
故选A．
14．（2020·扶风县法门高中高三月考（理））若在区间上是增函数，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，又在区间上是增函数，
所以，所以．故选：C
15．（2020·福建厦门市·厦门双十中学高三期中）已知函数对任意两个不相等的实数，，都有不等式，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】函数对任意两个不相等的实数，，，都有不等式，当时，为增函数，，解得，
故选：A．
【题组三 利用单调性解不等式】
1．已知函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【解析】由已知可得解得－3