3.7 指数运算及指数函数（精讲+精练+原卷+解析）

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常见考法
考点一 指数的运算
【例1】（2021·全国高三节选））化简：
（1）
（2）(a>0，b>0).
（3）.
【答案】（1）；（2）（3）.
【节选】（1）原式
原式＝＝.
（3）原式.
【一隅三反】
1．（2021·福建师大附中高三）若（，为有理数），则______．
【答案】
【解析】
因为（，为有理数）
所以
故答案为：
2．（2021·全国高三专题练习）化简下列各式：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【节选】（1）原式
（2）原式
3．（2021·全国）已知，求下列各式的值．
（1）；（2）；（3）.
【答案】（1）7；（2）47；（3）6.
【解析】（1）将两边平方得，所以．
（2）将两边平方得，所以．
（3）由（1）（2）可得
考点二 指数函数的三要素
【例2】（1）（2021·六安市城）若函数是指数函数，则的值为（ ）
A．B．2C．D．
（2）（2021·湖南高三三模）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】（1）B（2）A
【节选】因为函数是指数函数，所以，即，所以，那么.故选：B
（2）设，则，
因为为减函数，所以，即值域为.故选:A.
【一隅三反】
1．（2021年广东）下列函数中指数函数的个数是_____________．
①；②；③；④（为常数，，）；⑤； ⑥；⑦
【答案】③④
【解析】根据指数函数的定义直接判断：形如（且）的函数是指数函数.
可知只有③，④（为常数，，）符合指数函数的定义.
故答案为：③④.
2．（2021·开原市第二高级中学高三月考）已知函数，则该函数的值域是______.
【答案】
【解析】由题知函数的定义域为，
因为，函数是单调递减函数，
所以的值域为.
故答案为：
3．（2021·全国高三）已知集合，则函数的最小值为（ ）
A．4B．2C．-2D．-4
【答案】D
【解析】因为集合，所以，设，则，所以，且对称轴为，所以最小值为，故选D．
考点三 指数函数的性质
【例3】（1）（2021·湖北武汉市·高三月考）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
（2）（2020·全国高三）已知函数是奇函数，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
（3）（2021·江苏南通市·高三二模）已知函数满足，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
（4）（2021·衡水中学实验学校）对于任意的，函数的图象恒过定点，则此定点坐标是________.
（5）（2021·全国高三月考（文））函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】（1）A（2）A（3）B（4）（5）C
【解析】（1）由题得，，所以.故选：A
（2）因为函数是奇函数，
所以
即，解得，所以，
由可知，所以，故的值域为.故选：A
（3）依题意知为偶函数，其图象关于轴对称，当时，单调递增，且，所以的解集为.将的图象沿轴向右平移个单位长度后可得的图象，所以不等式的解集为.故选:B.
（4）由题设，当时，，故函数恒过点.故答案为：.
（5），
故为奇函数，所以函数图象关于原点中心对称，排除B选项；
当时，，，所以，且，
故，排除A，D选项．故选：C.
【一隅三反】
1．（2021·辽宁沈阳市·高三三模）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，函数是单调增函数，
所以比较a，b，c的大小，只需比较当时的大小即可.
用特殊值法，取，容易知，
再对其均平方得，
显然，
所以，所以故选：B.
2．（2021·安徽安庆市·高三二模）设函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】函数的定义域为，，所以函数是奇函数，并由解析式可知函数是增函数原不等式可化为，
∴，解得，
∴的取值范围是．故选：A．
3．（2021·云南高三）已知函数，若实数满足，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为函数的定义域为R，且，
所以为奇函数，又为上的增函数，
所以，
即，所以，解得，
所以实数的取值范围是.故选：D.
4．（2021·全国高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由对数及指数的单调性知：
，，，
所以，，的大小关系为.故选：C.
5．（2021·四川雅安市·高三三模）函数的图象恒过定点A，若点A在双曲线上，则的最大值为 （ ）
A．6B．4C．2D．1
【答案】B
【解析】设，因为，所以点A的坐标为，
又因为点A在双曲线上，所以，
因此，当且仅当
时取等号，即时取等号，故选：B
6．（多选）（2021·山东济南市·高三二模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数B．为减函数
C．有且只有一个零点D．的值域为
【答案】AC
【解析】,,
,
故为奇函数，
又，
在R上单调递增，
，，，
，，即函数值域为
令，即，解得，故函数有且只有一个零点0.
综上可知，AC正确，BD错误.故选：AC
7．（2021·浙江高三期末）函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以的图象关于对称，
又，故选：B
考点四 指数函数的综合运用
【例4】（1）（2021·福建漳州市·高三二模）已知函数，则下列结论错误的是（ ）
A．函数的值域为
B．函数的图象关于点对称
C．函数有且只有2个零点
D．曲线的切线斜率的最大值为
（2）（2021·河南洛阳市·高三三模）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，如：，，已知，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】（1）D（2）A
【解析】（1）A：由知，，正确；
B：，所以，故的图象关于点对称，正确；
C：在R上单调递减，结合A、B知：如下图所示，当即有且只有两个交点，正确；
D：当且仅当时等号成立，所以曲线的切线斜率的最小值为，错误；故选：D.
（2），
当时，，则，则，此时，
当时，，则，
当时，，则，则，此时，
则对于函数，
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时，
故的值域为.故选：A.
【一隅三反】
1．（多选）（2020·江苏扬州市·高三开学考试）已知函数，下面说法正确的有（）
A．的图像关于原点对称
B．的图像关于y轴对称
C．的值域为
D．，且，
【答案】AC
【解析】对于选项A，，定义域为，则，
则是奇函数，图象关于原点对称，故A正确；
对于选项B，计算，，
故的图象不关于y轴对称，故B错误；
对于选项C，，令，，
易知，故的值域为，故C正确；
对于选项D，，令，，
函数在上单调递增，且在上单调递增，
根据复合函数的单调性，可知在上单调递增，
故，且，不成立，故D错误.
故选：AC.
2．（多选）（2021·全国高三专题练习）若函数，则下述正确的有（ ）
A． 在R上单调递增B．的值域为
C． 的图象关于点对称D． 的图象关于直线对称
【答案】AC
【解析】因为是定义在R上的增函数，是定义在R上的减函数，
所以在R上单调递增，故A正确；
因为，故B错误；
因为，
所以的图象关于点对称，故C正确，D错误．故选：AC．
3．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三月考）设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”.已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】函数在上单调递减，函数在上单调递增,
若区间为函数的“稳定区间”，
则函数与函数在区间上同增或者同减，
①若两函数在区间上单调递增，
则在区间上恒成立，即，
所以;
②若两函数在区间上单调递减，
则在区间上恒成立，即，不等式组无解.
综上所述；.故选；C.