高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)2.2函数的单调性和最值、值域(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)2.2函数的单调性和最值、值域(精讲)(原卷版+解析)，共21页。


【知识储备】
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
（3）复合函数的单调性（同调增；异调减）
对于函数和，如果当时，，且在区间上和在区间上同时具有单调性，则复合函数在区间上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．
2．函数的最值
【题型精讲】
【题型一 函数单调性判断】
必备技巧 确定函数单调性的五种方法
(1)定义法：利用定义判断．
(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．
(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
(4)性质法：利用函数单调性的性质．
(5)复合函数“同增异减”的原则，需先确定简单函数的单调性．
例1 (2023·全国·高三专题练习）讨论函数（）在上的单调性.
例2 (2023·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．递增区间是B．递减区间是
C．递增区间是D．递增区间是
例3 (2023·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
例4 (2023·九龙坡区·重庆市育才中学高三月考）已知，则的单调增区间为
例5 (2023·天津静海区月考）函数的单调减区间为___________
【题型精练】
1. (2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）lg．判断并证明函数f（x）的单调性；
2．(2023·全国·高三专题练习）函数单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
3. （2023·全国·高一专题练习）函数的增区间是
A．B．C．D．
【题型二 函数单调性比较大小】
例6 (2023·辽宁朝阳·高三开学考试）已知函数是定义在R上的偶函数，对任意两个不相等的正数，都有，记，则（ ）
A．B．C．D．
例7 （1）(2023·江苏淮安市·高三二模）已知函数，设，，，则（ ）
B．C．D．
（2）(2023·四川资阳市月考）设曲线在处切线的斜率为，则（ ）
A． B．
C． D．
【题型精练】
1．(2023·重庆·模拟预测）设函数，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
2. (2023·全国高三专题练习）已知幂函数满足，若，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【题型三 函数单调性解不等式】
例8 (2023·四川绵阳·高一期末）若，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例9 (2023·安徽安庆市·高三二模）设函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型精练】
1．(2023·陕西陕西·一模）已知，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
2. (2023·山东潍坊市·高三三模）设函数则不等式的解集为________．
【题型四 函数单调性求参】
例10 (2023·河南·南阳中学高三阶段练习）已知函数是R上的增函数，则a的取值范围为（ ）
A．[-4，0)B．[-4，-2]C．D．
例11 (2023·黑龙江高三月考）如果函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 。
【题型精练】
1．(2023·天津河西·高三期末）若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2. (2023·全国·高三专题练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型五 函数的最值、值域】
方法技巧 函数值域的求法主要有以下几种
(1)观察法:根据最基本函数值域（如≥0,及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域.
（2）配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域.
（3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型.
（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等.
（5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数.
（6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析.
（7）判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如，或的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）.
(8)单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域.对于形如或的函数，当ac>0时可利用单调性法.
（9）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.因为常出现反解出y的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法.
例12 (2023·全国·高三专题练习）函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
例13 (2023·全国·高三专题练习）函数的值域为
A．B．C．D．
例14 (2023·湖南高三三模）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
例15 (2023·全国高三专题练习）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
例16 (2023·全国高三专题练习）求的值域
【题型精练】
1．(2023·全国·高三专题练习）函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
2. (2023·全国·高三专题练习）函数的最大值与最小值的和是（ ）
A．B．C．D．
3. (2023·全国高三专题练习）函数f(x)＝的值域为( )
A．[－,]B．[－,0]
C．[0,1]D．[0,]
4. (2023·全国高三专题练习）函数的值域是___________.
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
前提
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
2.2 函数的单调性和最值、值域
【题型解读】
【知识储备】
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
（3）复合函数的单调性（同调增；异调减）
对于函数和，如果当时，，且在区间上和在区间上同时具有单调性，则复合函数在区间上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．
2．函数的最值
【题型精讲】
【题型一 函数单调性判断】
必备技巧 确定函数单调性的五种方法
(1)定义法：利用定义判断．
(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．
(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
(4)性质法：利用函数单调性的性质．
(5)复合函数“同增异减”的原则，需先确定简单函数的单调性．
例1 (2023·全国·高三专题练习）讨论函数（）在上的单调性.
答案：答案见解析
【解析】任取、，且，，则：
，
当时，，即，函数在上单调递减；
当时，，即，函数在上单调递增.
例2 (2023·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．递增区间是B．递减区间是
C．递增区间是D．递增区间是
答案：D
【解析】因为函数，作出函数的图象，
如图所示：
由图可知，递增区间是，递减区间是和．
故选：D．
例3 (2023·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】令，解得，
令，则，
∵函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在定义域内递增，
∴根据复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间是
故选：C
例4 (2023·九龙坡区·重庆市育才中学高三月考）已知，则的单调增区间为
答案：
【解析】因为对数函数在上是增函数，反比例函数在上也是增函数，
所以在定义域上单调递增；又是由向左平移两个单位得到，所以的单调增区间为.
例5 (2023·天津静海区月考）函数的单调减区间为___________
答案：
【解析】,当,即时原函数为减函数.故函数的单调减区间为.故答案为：
【题型精练】
1. (2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）lg．判断并证明函数f（x）的单调性；
【解析】由题意，，解得
故f（x）的定义域为（0，4）
令，，由于在（0，4）单调递减，在单调递增，因此在（0，4）单调递减，又在（0，4）单调递减，故f（x）在（0，4）上单调递减，证明如下：
设0＜x1＜x2＜4，则：
，
∵0＜x1＜x2＜4，
∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，4﹣x1＞4﹣x2＞0，，
∴，
∴f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在（0，4）上单调递减
2．(2023·全国·高三专题练习）函数单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】令，．由，得．
因为函数是关于的递减函数，且时，为增函数，所以为减函数，
所以函数的单调减区间是．
故选：C.
3. （2023·全国·高一专题练习）函数的增区间是
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
由二次函数的图象可知
在上是增函数
故选：C
【题型二 函数单调性比较大小】
例6 (2023·辽宁朝阳·高三开学考试）已知函数是定义在R上的偶函数，对任意两个不相等的正数，都有，记，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】依题意，，，，
于是得函数在上单调递增，而函数是R上的偶函数，即，
显然有，因此得：，
所以.
故选：B
例7 （1）(2023·江苏淮安市·高三二模）已知函数，设，，，则（ ）
B．C．D．
（2）(2023·四川资阳市月考）设曲线在处切线的斜率为，则（ ）
A． B．
C． D．
答案：（1）C（2）B
【解析】（1），，∴，
由函数解析式知：，即，又在上单调递增，∴.故选：C.
（2），依题意可得.
因为，，所以，
从而.故选：B.
【题型精练】
1．(2023·重庆·模拟预测）设函数，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】因为，又在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递减且，又在上单调递减且，所以在上单调递减，
又因为，即，，即，，即，所以，所以；
故选：D
2. (2023·全国高三专题练习）已知幂函数满足，若，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】由可得，∴，
∴，即.由此可知函数在上单调递增.
而由换底公式可得，，，
∵，∴，于是，
又∵，∴，故，，的大小关系是.故选：C.
【题型三 函数单调性解不等式】
例8 (2023·四川绵阳·高一期末）若，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】因为，且函数的定义域为，故函数为定义域上的偶函数，
又当时，在上单调递增，
所以，则有，解得.
故选：C
例9 (2023·安徽安庆市·高三二模）设函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】函数的定义域为，，所以函数是奇函数，并由解析式可知函数是增函数原不等式可化为，∴，解得，∴的取值范围是．故选：A．
【题型精练】
1．(2023·陕西陕西·一模）已知，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
，当时，，且单调递增；当时，，且单调递增，所以在单调递增，不等式等价于，解得.
故选：C
2. (2023·山东潍坊市·高三三模）设函数则不等式的解集为________．
答案：
【解析】由函数解析式知在R上单调递增，且，
则，
由单调性知，解得
故答案为：
【题型四 函数单调性求参】
例10 (2023·河南·南阳中学高三阶段练习）已知函数是R上的增函数，则a的取值范围为（ ）
A．[-4，0)B．[-4，-2]C．D．
答案：B
【解析】因为且在上单调递增，
所以，解得，即
故选：B
例11 (2023·黑龙江高三月考）如果函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 。
答案：
【解析】解：当时，，在区间上为增函数，符合题意，
当时，要使函数在区间上为增函数，
则需满足且对称轴为，解得：，即，
综上所述：实数的取值范围是：.
【题型精练】
1．(2023·天津河西·高三期末）若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】f（x）＝＝1+，
若f（x）在（﹣2，+∞）上单调递增，
则，故k≤﹣2，
故选：C．
2. (2023·全国·高三专题练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
由题意可知，在上为减函数，则，
函数在上为减函数，且有，
所以，，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：B.
【题型五 函数的最值、值域】
方法技巧 函数值域的求法主要有以下几种
(1)观察法:根据最基本函数值域（如≥0,及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域.
（2）配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域.
（3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型.
（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等.
（5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数.
（6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析.
（7）判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如，或的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）.
(8)单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域.对于形如或的函数，当ac>0时可利用单调性法.
（9）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.因为常出现反解出y的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法.
例12 (2023·全国·高三专题练习）函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】令，则且
又因为，
所以，所以，
即函数的值域为，
故选：B.
例13 (2023·全国·高三专题练习）函数的值域为
A．B．C．D．
答案：C
【解析】令，，
令，则，
原函数化为，
该函数在上为减函数，在上为增函数，
又当时，，当时，，当时，.
∴函数的值域为，
则函数的值域为.
故选：C.
例14 (2023·湖南高三三模）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】设，则，
因为为减函数，所以，即值域为.故选:A.
例15 (2023·全国高三专题练习）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】令，可得，
可得函数的对称轴为：，故函数在上单调递增，
当时，，故函数的值域为，故选：B.
例16 (2023·全国高三专题练习）求的值域
答案：[10，＋∞)
【解析】如图，函数的几何意义为
平面内一点P(x，0)到点A(－3，4)和点B(5，2)的距离之和.
由平面解析几何知识，找出B关于x轴的对称点B′(5，－2)，
连接AB′交x轴于一点P，此时距离之和最小，
∴ymin＝|AB′|＝＝10，又y无最大值，
所以y∈[10，＋∞).
【题型精练】
1．(2023·全国·高三专题练习）函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】函数的定义域为：，
设，所以有，
因为，所以函数的最小值为：，即，
所以函数的值域是，
故选：A
2. (2023·全国·高三专题练习）函数的最大值与最小值的和是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】设，则有，
当时，代入原式，解得．
当时，，
由，解得，于是的最大值为，最小值为，
所以函数的最大值与最小值的和为．
故选：B.
3. (2023·全国高三专题练习）函数f(x)＝的值域为( )
A．[－,]B．[－,0]
C．[0,1]D．[0,]
答案：C
【解析】令，则的几何意义是单位圆(在轴及其上方)上的动点与点连线的斜率，由图象，得，即函数的值域为[0,1]，故选C.
4. (2023·全国高三专题练习）函数的值域是___________.
答案：
【解析】因为，设,,
在上单调递增,所以
故答案为：.
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
前提
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值