2021年福建省三明市九年级上学期数学期中试卷含答案

这是一份2021年福建省三明市九年级上学期数学期中试卷含答案，共16页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 九年级上学期数学期中试卷
一、单项选择题
1.在平行四边形 中， ，那么 的度数〔    〕
A. 120°                                     B. 60°                                     C. 30°                                     D. 150°
2.用配方法解一元二次方程 ，可变形为〔    〕
A.                      B.                      C.                      D. 
3.布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出第二个球，两次都摸出白球的概率是〔   〕
A.                                          B.                                          C.                                          D.  
4.：四条线段成比例线段1，2，6，m，那么第四比例项m的值是〔    〕
A. 4                                           B. 8                                           C. 12                                           D. 9
5.如图，直线l1∥l2∥l3 ， AB＝3，BC＝6，DE＝2，那么EF的长是〔    〕

A. 4                                           B. 5                                           C. 6                                           D. 7
6.在小孔成像问题中，如下列图，假设为O到AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，那么像CD的长是物体AB长的〔   〕

A.                                         B.                                         C. 2倍                                        D. 3倍
7.电影?我和我的祖国?讲述了普通人与国家之间息息相关的动人故事.一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，假设把平均每天票房的增长率记作x，那么可以列方程为〔   〕
A.          B.          C.          D. 
8.如图，： ， ， ， 的度数为〔   〕

A.                                   B.                                   C.                                   D. 
9.如图，四边形 中， ， ， ，点 ， 分别为线段 ， 上的动点〔含端点，但点 不与点 重合〕，点 ， 分别为 ， 的中点，那么 长度的最大值为〔    〕

A. 3                                          B.                                           C. 4                                          D. 2
10.如图，在矩形 中， ， 分别为边 ， 的中点，线段 ， 与对角线 分别交于点 ， ．设矩形 的面积为 ，那么以下4个结论中：① ；② ；③ ；④ ．正确的结论有〔    〕

A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个
二、填空题
11. ，那么 ________．
12.一个池塘中放养一些草鱼假设干，现想测算一下池塘中草鱼的总条数，小明在池塘中放入60条红鲫鱼，一周后，小明在池塘中捞出200条鱼中有5条是红鲫鱼，把鱼全部放回池塘中．请你猜测池塘中现在大约有________条草鱼 ．
13.如果关于 的一元二次方程 的一个解是 ，那么 ________.
14.如图， +∠G=________．

15.关于 的方程 有两个实数根，那么 的取值范围是________.
16.如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，假设AB＝7，BC＝10，那么EF的长为________.

三、解答题
17.用适当的方法解一元二次方程：
〔1〕；
〔2〕．
18.在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为 ， ， ．

〔1〕.画出 关于 轴对称的 ；
〔2〕.以点 为位似中心，在网格中画出 的位似图形 ，使 与 的相似比为 ；
〔3〕.设点 为 内一点，那么依上述两次变换后点 在 内的对应点 的坐标是       ．
19.如图，菱形 的对角线 与 相交于 ， 是 中点，连接 并延长到 ，使 ．求证：四边形 是矩形．

20.求证：相似三角形对应边上的角平分线之比等于相似比．
   
要求：
〔1〕.根据给出的 及线段 ， 〔 〕，以线段 为一边，在给出的图形上用尺规作出 ，使得 ，不写作法，保存作图痕迹．
〔2〕.在已有的图形上画出一组对应角平分线，并据此写出、求证和证明过程．
21.2021年12月以来，湖北省武汉市局部医院陆续发现不明原因肺炎病例，现已证实该肺炎为一种新型冠状病毒感染的肺炎，其传染性较强.为了有效地防止交叉感染，需要采取以下防护措施：①戴口罩；②勤洗手；③少出门；④重隔离；⑤捂口鼻；⑥谨慎吃．某公司为了解员工对防护措施的了解程度〔包括不了解、了解很少、根本了解和很了解〕，通过网上问卷调查的方式进行了随机抽样调查〔每名员工必须且只能选择一项〕，并将调查结果绘制成如下两幅统计图．

请你根据上面的信息，解答以下问题
〔1〕.本次共调查了      名员工，条形统计图中       ；
〔2〕.假设该公司共有员工1000名，请你估计不了解防护措施的人数；
〔3〕.在调查中，发现有4名员工对防护措施很了解，其中有3名男员工、1名女员工.假设准备从他们中随机抽取2名，让其在公司群内普及防护措施，求恰好抽中一男一女的概率．
22.如图，在矩形 中， 的平分线交 于点 ， 于点 ， 于点 ， 与 交于点 ， ．

〔1〕求证： ；
〔2〕 ，求 的长．
23.“疫情〞期间，李晨在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售.经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，设该商品的售价为x元/件〔20≤x≤40〕.
〔1〕请用含售价x〔元/件〕的代数式表示每天能售出该工艺品的件数；
〔2〕每件工艺品需要20元本钱，每天销售该工艺品的纯利润为900元.
①求该商品的售价；
②为了支持“抗疫〞行动，李晨决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向某救助基金会捐款0.5元，求李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额.
24.如下列图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t〔s〕〔0＜t＜10〕，解答以下问题：

〔1〕当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2；
〔2〕在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得
△BDE与△ABC相似？假设存在，请求出对应的时间t；假设不存在，请说明理由．
25.定义：假设关于 的一元二次方程 的两个实数根 ， ，分别以 ， 为横坐标和纵坐标得到点 ，那么称点 为该一元二次方程的衍生点．
〔1〕假设关于 的一元二次方程为 ．
①求证：不管 为何值，该方程总有两个不相等的实数根，并求出该方程的衍生点 的坐标；
②由①得到的衍生点 在直线 ： 与坐标轴围成的区域上，求 的取值范围．
〔2〕是否存在 ， ，使得不管 为何值，关于 的方程 的衍生点 始终在直线 的图象？假设有，求出 ， 的值：假设没有，说明理由．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 B
【解析】【解答】∵平行四边形ABCD
∴AD∥BC，∠A=∠C
∴∠A+∠B=180°
∵∠A:∠B=2:1
∴∠A=120°
∴∠B=60°
故答案为：B．

【分析】根据平行四边形的性质，对角相等，邻角互补求解即可。
2.【答案】 B
【解析】【解答】
x2-4x=9
x2-4x+ =9+
x2-4x+4=13
(x-2)2=13
故答案为：B．

【分析】根据配方法计算的方法求解即可。
3.【答案】 A
【解析】【解答】画树状图得：

那么共有9种等可能的结果，两次都摸到白球的有4种情况，∴两次都摸到白球的概率为 ．
故答案为：A
【分析】根据题意画出树状图，由图知：那么共有9种等可能的结果，两次都摸到白球的有4种情况，根据概率公式即可得出两次都摸到白球的概率。
4.【答案】 C
【解析】【解答】由题可得： ，解得：
故答案为：C．

【分析】根据线段成比例的性质列出比例式求解即可。
5.【答案】 A
【解析】【解答】 ，
，
， ， ，
.
故答案为：A.

【分析】根据平行线分线段成比例得到，再带入计算即可。
6.【答案】 A
【解析】【解答】解：如图，作OE⊥AB于E，EO的延长线交CD于F．

∵AB∥CD，
∴FO⊥CD，△AOB∽△DOC，
∴ = = = 〔相似三角形的对应高的比等于相似比〕，
∴CD= AB，
应选A．
【分析】如图，作OE⊥AB于E，EO的延长线交CD于F．由△AOB∽△DOC，推出 = = = 〔相似三角形的对应高的比等于相似比〕，由此即可解决问题．
7.【答案】 D
【解析】【解析】解：设增长率为x，由题意可得出，第二天的票房为3(1+x)，第三天的票房为3(1+x)2 ，
根据题意可列方程为 .
故答案为：D.
【分析】根据题意分别用含x式子表示第二天，第三天的票房数，将三天的票房相加得到票房总收入，即可得出答案.
8.【答案】 D
【解析】【解答】解： △ABC∽△DAC
∴∠DAC=∠B=36°，∠BAC=∠D=117°
∠BAD=∠DAC+∠BAC=36°+117°=153°.
故答案为：D
【分析】根据相似三角形对应角相等，求出∠BAD的大小.
9.【答案】 D
【解析】【解答】解：连接DN、DB，

在Rt△DAB中，∠A=90°， ，AD=2，
∴BD= ，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF= DN，
由题意得，当点N与点B重合是DN最大，最大值为4，
∴EF长度的最大值为2，
故答案为：D．

【分析】连接DN、DB，利用勾股定理求出BD，再根据三角形中位线的性质得到EF= DN，最后求解即可。
10.【答案】 C
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴ ， ，
∵E是BC中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，故①符合题意；②∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②符合题意；③∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
设 ，那么 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故③不符合题意；④ ，故④符合题意；
①②④符合题意．
故答案为：C．

【分析】根据平行线分线段成比例和线段中点的定义得：， 即可判断①；同理根据平行线分线段成比例的性质可判断②；根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方及等底同高三角形的面积的关系即可判断 ③④。
二、填空题
11.【答案】
【解析】【解答】由 ，得 ，那么 ，
故答案为： ．

【分析】利用设k法求解即可。
12.【答案】 2340
【解析】【解答】根据题意得：池塘中的鱼大约有60÷ ＝2400〔条〕．
∴草鱼大约有2400-60=2340条
故答案为：2340．

【分析】 捞出200条鱼中有5条是红鲫鱼 ，即在样本中，有标记的占， 再根据有标记的共有60条，列式求解即可。
13.【答案】 2021
【解析】【解答】解：把 代入方程 得： ，
∴ ，
∴ .
故答案为：2021.
【分析】由题意把x=1代入一元二次方程可得a+b的值，然后用整体代换计算可求解.
14.【答案】 540°
【解析】【解答】解：连接EF，

五边形内角和为 ，
，
，
故答案为：540°．
【分析】连接EF，通过三角形内角和定理和等量代换得出 ，从而利用五边形内角和即可得出结果．
15.【答案】 且m≠1
【解析】【解答】解：由题意得：这个方程是一元二次方程

解得
又 关于 的方程 有两个实数根
此方程的根的判别式
解得
综上，m的取值范围是 且
故答案为： 且 .
【分析】利用一元二次方程的定义可知m+1≠0，利用一元二次方程根的判别式b2-4ac≥0，建立关于m的不等式，解不等式可得m的取值范围。
16.【答案】 1.5
【解析】【解答】解：∵DE为△ABC的中位线，
∴DE＝ BC＝5，
在Rt△AFB中，D是AB的中点，
∴DF＝ AB＝3.5，
∴EF＝DE﹣DF＝1.5，
故答案为：1.5.
【分析】由三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半〞可求得DE的值，在Rt△AFB中，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求得DF的值，然后根据EF=DE-DF可求解.
三、解答题
17.【答案】 〔1〕解：∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ ， ．

〔2〕解：∴ ， ， ，
那么 ，
∴ ，
即 ， ．
【解析】【分析】〔1〕利用直接开平方求解即可；〔2〕利用公式法求解即可。
18.【答案】 〔1〕解：如图，△A1B1C1即为所求图形；


〔2〕解：如图，△A2B2C2即为所求图形；


〔3〕〔2a，-2b〕．
【解析】【分析】〔1〕先找出点A、B、C关于x轴对称的点，再连线即可；〔2〕根据位似图形的作图的方法作图求解即可；〔3〕利用位似的性质求解即可。
19.【答案】 证明：∵ 是 中点，∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∴平行四边形 是矩形．

【解析】【分析】先证明 四边形 OBFC 是平行四边形， 再根据   ， 即可证明 平行四边形OBFC是矩形．
20.【答案】 〔1〕解：如下列图， 即为所求．


〔2〕解：：如图， ，相似比为k， 、 分别平分 ， ，

求证： ．
证明：∵ ，
∴ ， ，
∵ 、 分别平分 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【解析】【分析】〔1〕作∠A'B'C=∠ABC，即可得到△A'B'C'；〔2〕根据D是AB的中点，D'是A'B'的中点，即可得到， ∠A'=∠A，进而得到即可证出结论。
 
21.【答案】 〔1〕60；18
〔2〕解： 〔名〕.
答：估计不了解防护措施的人数为200名.

〔3〕解：根据题意，列表如下：
第1名
第2名



女















女




由上表可知，共有12种结果，每种结果出现的可能性都相等，其中恰好抽中一男一女的结果有6种，
故所求概率为 .
【解析】【解答】〔1〕由统计图可知，“了解很少〞的员工有24名，其所占的百分比为40%，
故本次调查的员工人数为 〔名〕，
∴ ，
故答案为：60 ，18；

【分析】〔1〕根据“了解很少〞的员工有24名，其所占的百分比为40%，求出总人数即可解决问题；〔2〕利用样本估计总体的思路解决问题即可；〔3〕列树状图或列表，再利用概率公式求解即可。
22.【答案】 〔1〕证明：∵四边形 是矩形，∴ ，
∵ ，∴
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，∴ ．

〔2〕解：∵ ，∴
∵
∴ ，
同理可得， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
在 中， ，
∴ ，∵
∴
∴ ．
【解析】【分析】〔1〕根据矩形的性质得到边角相等，再利用“AAS〞证明三角形全等即可；〔2〕 在  中，  利用跟勾股定理求出AD的值，再利用线段的计算求解即可。
23.【答案】 〔1〕解：∵该商品的售价为x元/件〔20≤x≤40〕，且当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，
∴每天能售出该工艺品的件数为60+3(40﹣x)＝(180﹣3x)件；

〔2〕解：①依题意，得：(x﹣20)(180﹣3x)＝900，
整理，得：x2﹣80x+1500＝0，
解得：x1＝30，x2＝50〔不合题意，舍去〕，
答：该商品的售价为30元/件；
②0.5×(180﹣3×30)＝45〔元〕，
答：李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额为45元.
【解析】【分析】〔1〕售价设为x元，那么降低的价格就是 元，那么增加的销量是 件，再加上原来的60件就得到表达式；
〔2〕①根据利润=销量 〔售价-本钱〕列方程求出售价；②根据①中算出的售价求出销量，从而算出捐款的数额.
24.【答案】 〔1〕解：分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足为F、G 如图∵DF∥AG，∴△BDF∽△BAG, ＝ ∵AB＝AC＝10，BC＝16 ∴BG＝8，∴AG＝6． ∵AD＝BE＝t，∴BD＝10﹣t，∴ ＝
解得DF＝ 〔10﹣t〕∵S△BDE＝ BE•DF＝7.5∴ 〔10﹣t〕•t＝15,解得t＝5．答：t为5秒时，△BDE的面积为7.5cm2 ．

〔2〕解：存在．理由如下： ①当BE＝DE时，△BDE与△BCA相似， ∴ ＝ 即 ＝ ，解得t＝
②当BD＝DE时，△BDE与△BAC相似，
＝ 即 ＝ ，解得t＝ ．
答：存在时间t为 或 秒时，使得△BDE与△ABC相似．
【解析】【分析】〔1〕分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足为F，G，可证得DF∥AG，利用平行线分线段成比例定理的推论可证得△BDF∽△BAG，再利用相似三角形的对应边成比例，得出比例线段，再利用等腰三角形的性质可求出BG的长，利用勾股定理求出AG的长，再根据点D和点E的运动方向及运动速度，分别用含t的代数式表示出AD的长，可得到BD的长，利用比例式可求出DF的长，然后利用三角形的面积公式建立关于t的方程，解方程求出t的值。
〔2〕要使△BDE与△ABC，分情况讨论：①当BE＝DE时，△BDE与△BCA相似；②当BD＝DE时，△BDE与△BAC相似，利用相似三角形的对应边成比例，分别列出比例式，建立关于t的方程，解方程求出t的值，即可得到符合题意的t的值。
25.【答案】 〔1〕解：存在．理由如下：
①当BE＝DE时，△BDE与△BCA，
∴ ＝ 即 ＝ ，
解得t＝ ，
②当BD＝DE时，△BDE与△BAC，
＝ 即 ＝ ，
解得t＝ ．
答：存在时间t为 或 秒时，使得△BDE与△ABC相似．

〔2〕解：存在．直线 ，过定点 ，
∴ 两个根为 ， ，
∴ ， ，∴ ， ．
【解析】【分析】〔1〕 ①根据根的判别式和衍生点的定义求解即可；②先确定出点M再直线 上，借助图象求解即可；〔2〕求出定点，利用根与系数的关系解决问题即可。