2021-2022学年福建省三明市宁化县九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2021-2022学年福建省三明市宁化县九年级上学期数学期中试题及答案，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列图形中一定是相似形的是（ ）
A. 两个等腰三角形B. 两个菱形C. 两个矩形D. 两个正方形
【答案】D
【解析】
【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形进行判断即可．
【详解】A、两个等腰三角形，三个角不一定相等，因此不一定相似，故本选项错误，不符合题意．
B、两个菱形对应角不一定相等，故本选项不符合题意；
C、两个矩形的边不一定成比例，故不一定相似，故本选项错误，不符合题意．
D、两个正方形四个角相等，各边一定对应成比例，所以一定相似，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了相似图形的判定，掌握对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形是解题的关键．
2. 一元二次方程 x（x﹣3）＝x﹣3 的解是（ ）
A. x1＝x2＝1B. x1＝0，x2＝3C. x1＝1，x2＝3D. x＝0
【答案】C
【解析】
【分析】利用因式分解法求解即可．
【详解】解：∵
∴，
∴，
即或，
解得，．
故选：C．
【点睛】本题考查解一元二次方程——因式分解法．能将看成整体提取公因式是解题关键．
3. 如图，D、E分别是和上的点，若，，，，则的值为（ ）

A. 10B. 12C. 15D. 18
【答案】D
【解析】
【分析】由可得，则，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，经检验符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，证明是解本题的关键．
4. 如果一个袋子里有16个除颜色外其他完全相同的球，若摸到黑球的概率为，则可估计袋中黑球的个数为（ ）
A. 12B. 6C. 4D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】设黑球的个数为x，再根据概率相等列出方程，求出解即可．
【详解】设黑球的个数为x，根据题意，得
解得．
所以黑球的个数为12个．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了概率的计算，理解概率的公式是解题的关键．
5. 关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ ）
A. 0B. ±3C. 3D. －3
【答案】D
【解析】
【分析】把原方程化为一般形式，根据一元二次方程的定义、一次项的概念列式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
由题意得：m－3≠0且m2－9＝0，
解得：m＝－3，
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，把一元二次方程化为一般形式，是解题的关键．
6. 如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用位似图形的性质得出线段比进而得出答案．
【详解】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，
∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：B．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
7. 下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中，正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【详解】解：①矩形是轴对称图形，两组对边的中点的连线所在的直线是它的对称轴，故错误；
②两条对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；
③有两个邻角相等的平行四边形是矩形，故错误；
④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；正确；
⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形；故错误．
故选A．
8. 已知实数，满足，，则以，为根的一元二次方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由根与系数的关系可知，以，为根的一元二次方程是，
故选A．
考点：根与系数的关系．
9. 如图，在纸片中，，点分别在上，连结，将沿翻折，使点A的对应点F落在的延长线上，若平分，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出AB，再根据折叠性质得出∠DAE=∠DFE，AD=DF，然后根据角平分线的定义证得∠BFD=∠DFE=∠DAE，进而证得∠BDF=90°，证明Rt△ABC∽Rt△FBD，可求得AD的长．
【详解】解：∵，
∴=5，
由折叠性质得：∠DAE=∠DFE，AD=DF，则BD=5﹣AD，
∵平分，
∴∠BFD=∠DFE=∠DAE，
∵∠DAE+∠B=90°，
∴∠BDF+∠B=90°，即∠BDF=90°，
∴Rt△ABC∽Rt△FBD，
∴即，
解得：AD=，
故选：D．
【点睛】本题考查折叠性质、角平分线的定义、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握折叠性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键．
10. 如图，是边长为1的等边三角形，D、E为线段AC上两动点，且，过点D、E分别作AB、BC的平行线相交于点F，分别交BC、AB于点H、G．现有以下结论：①；②当点D与点C重合时，；③；④当时，四边形BHFG为菱形，其中正确结论为（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①②③④D. ②③④
【答案】B
【解析】
【分析】过A作AI⊥BC垂足为I，然后计算△ABC的面积即可判定①；先画出图形，然后根据等边三角形的性质和相似三角形的性质即可判定②；如图将△BCD绕B点逆时针旋转60°得到△ABN，求证NE=DE；再延长EA到P使AP=CD=AN，证得∠P=60°，NP=AP=CD，然后讨论即可判定③；如图1，当AE=CD时，根据题意求得CH=CD、AG=CH，再证明四边形BHFG为平行四边形，最后再说明是否为菱形．
【详解】解：如图1, 过A作AI⊥BC垂足为I
∵是边长为1的等边三角形
∴∠BAC=∠ABC=∠C=60°，CI=
∴AI=
∴S△ABC=,故①正确；
如图2，当D与C重合时
∵∠DBE=30°，是等边三角形
∴∠DBE=∠ABE=30°
∴DE=AE=
∵GE//BD
∴
∴BG=
∵GF//BD,BG//DF
∴HF=BG=,故②正确；
如图3，将△BCD绕B点逆时针旋转60°得到△ABN
∴∠1=∠2，∠5=∠6=60°，AN=CD,BD=BN
∵∠3=30°
∴∠2+∠4=∠1+∠4=30°
∴∠NBE=∠3=30°
又∵BD=BN，BE=BE
∴△NBE≌△DBE（SAS）
∴NE=DE
延长EA到P使AP=CD=AN
∵∠NAP=180°-60°-60°=60°
∴△ANP为等边三角形
∴∠P=60°，NP=AP=CD
如果AE+CD=DE成立，则PE=NE,需∠NEP=90°，但∠NEP不一定为90°，故③不成立；
如图1，当AE=CD时，
∵GE//BC
∴∠AGE=∠ABC=60°，∠GEA=∠C=60°
∴∠AGE=∠AEG=60°，
∴AG=AE
同理：CH=CD
∴AG=CH
∵BG//FH,GF//BH
∴四边形BHFG是平行四边形
∵BG=BH
∴四边形BHFG为菱形，故④正确．
故选B．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质以及菱形的判定等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
二、填空题（共6题，每题4分，满分24分．请将答案填在答题卡的相应位置）
11. 已知是方程的一个根，则c的值是__________．
【答案】4
【解析】
【分析】把代入可求出c的值．
【详解】解：把代入得，
解得．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12. 如图，在中，，是的中点，若，则的长度为__________．

【答案】6
【解析】
【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到答案.
【详解】，，
是斜边
又是的中点
【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握直角三角形的性质.
13. 从1，2，﹣3三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是____．
【答案】．
【解析】
【详解】解：由题意可知，这三个数相乘的积分别是，所以正数的概率是
【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
14. 已知，则的值等于__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据比的性质，运用特殊值解法，令，，（）代入求值即可．
【详解】解：∵，令，，（）
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查比例的性质，求分式的值，令特殊值法求解，掌握比例的运算，代入求值是解题的关键．
15. 如图为菱形与的重叠情形，其中在上．若，，，则的长为__________．

【答案】12
【解析】
【分析】作于，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出的值，在中由勾股定理就可以求出的值，进而就可以求出的值．
【详解】解：作于．

四边形是菱形，
．
，
．
，
．
在中，由勾股定理，得
．
在中，由勾股定理，得
，
．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了菱形的性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，解答时运用勾股定理求解是关键．
16. 如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是 ，以点C为位似中心，在x轴的下方作中的位似图形，并把中的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点的横坐标是________．
【答案】##
【解析】
【分析】过B作 ，，可得，从而的得到 ，根据位似可知即可得到答案．
【详解】解：过B作 ，，
∵ ，，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∵点C的坐标是，点B的横坐标是a，
∴，
∴ ，
，
∴的横坐标是．
【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，满分86分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 解方程：＋3x﹣4＝0．
【答案】＝﹣4，＝1
【解析】
【分析】利用十字相乘法将方程的左边因式分解后求解可得．
详解】解：∵＋3x﹣4＝0，
∴（x＋4）（x﹣1）＝0，
则x＋4＝0或x﹣1＝0，
解得＝﹣4，＝1．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18. 解方程：．
【答案】．
【解析】
【分析】先移项，再因式分解得到两个因式乘积等于0的形式，进而求出解．
【详解】
移项，得
因式分解，得
即
∴或
∴，．
【点睛】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，选择适合的解题方法是解题的关键．
19. 如图，点分别在菱形的边上，．求证:
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据菱形性质得出AB=AD，∠B=∠D，根据SAS推出△ABE≌△ADF，推出AE=AF即可．
【详解】解：证明：∵四边形ABCD菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF．
【点睛】本题考查了菱形的性质和全等三角形的性质和判定的应用，注意：菱形的四条边相等，菱形的对角相等．
20. 某超市销售某种品牌玩具，购进该玩具的价格为10，超市决定以不超过30元/个的价格销售这些玩具．经市场调查发现：销售单价定为26元时，日销售量为20个；销售单价每降低2元，日均多售出1个．
（1）当销售单价定为多少元时，该品牌玩具日销售总额为460元？
（2）该超市为提高销售量，决定让利给消费者，当销售单价定为多少元时，该品牌玩具日利润总额为150元？
【答案】（1）当销售单价定为20元时，该品牌玩具日销售总额为460元；
（2）当销售单价定为16元时，该品牌玩具日利润总额为150元．
【解析】
【分析】（1）设当销售单价定为元时，该品牌玩具日销售总额为460元．由题意得．通过解方程求得的值．
（2）设当销售单价定为元时，该品牌玩具日利润总额为150元，根据题意可得，求出的实际取值．
【小问1详解】
解：设当销售单价定为元时，该品牌玩具日销售总额为460元．
依题意得，
，
解得：，
∵超市决定以不超过30的价格销售这些玩具，
∴不合题意，应舍去．
∴．
答：当销售单价定为20元时，该品牌玩具日销售总额为460元．
【小问2详解】
解：设当销售单价定为元时，该品牌玩具日利润总额为150元．
依题意得，
解得：
∵超市决定以不超过30的价格销售这些玩具，
∴不合题意，应舍去．
∴．
答：当销售单价定为16 元时，该品牌玩具日利润总额为150元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能够表示出销售量，难度不大．
21. 如图，已知△ABC为和点A'.
(1)以点A'为顶点求作△A'B'C',使△A'B'C'∽△ABC，S△A'B'C'=4S△ABC;
(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、A'C'的中点，求证：△DEF∽△D'E'F'.
【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）分别作A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC得△A'B'C'即可．
（2）根据中位线定理易得△DEF∽△CAB，△D'E'F'∽△C'A'B'，故可得△DEF∽△D'E'F'.
【详解】解：（1）作线段A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，得△A'B'C'即为所求．
证明：∵A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴；
（2）证明：∵D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，
∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，
∴△DEF∽△CAB，
同理：△D'E'F'∽△C'A' B'，
由（1）可知：△ABC∽△A′B′C′，
∴△DEF∽△D'E'F'．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
22. 某中学全校师生听取了“禁毒”宣传报告后，对禁毒人员肃然起敬．学校德育处随后决定在全校1000名学生中开展“我为禁毒献爱心”的捐款活动．张老师在周五随机调查了部分学生随身携带零花钱的情况，并将收集的数据进行整理，绘制了如图所示的条形统计图．
（1）求这组数据的平均数和众数；
（2）经调查，当学生身上的零花钱多于15元时，都到出零花钱的20%，其余学生不参加捐款．请你估计周五这一天该校可能收到学生自愿捐款多少元？
（3）捐款最多的两人将和另一个学校选出的两人组成一个“禁毒”知识宣讲小组，若从4人中随机指定两人担任正、副组长，求这两人来自不同学校的概率．
【答案】（1）平均数为20.5；众数为20；（2）3150元；（3）
【解析】
【分析】（1）根据众数和平均数的定义求解；
（2）由图可知零花钱多于15元的学生有12人，可算出12人的零花钱平均数再计算这12人的捐款额，即可计算1000人的捐款额；
（3）设捐款最多的两名学生分别为、，另一个学校的两名学生分别为、，列表后利用概率公式求解可得．
详解】解：（1）平均数：，
众数：根据图可知有6人零花钱是20，故众数为20
故答案为：20.5；20
（2）由图可知零花钱多于15元的学生有12人，则这12人的零花钱平均数为：
∴周五这一天该校收到捐款数约为：（元）．
（3）设捐款最多的两名学生分别为、，另一个学校的两名学生分别为、，
列表如下：
∵由表可知，均等机会共12种，两人来自不同学校的结果有8种，
∴这两人来自不同学校的概率
【点睛】本题考查的是条形统计图读懂统计图，平均数和众数的定义，用样本估计总体，同时考查了概率公式，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
23. 如图，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC．过点C作CG⊥AD，垂足为G，AF是BC边上的中线，连接FG．
（1）求证：AC=FG．
（2）当AC⊥FG时，△ABC应是怎样的三角形？为什么？
【答案】（1）证明见解析；（2）当AC⊥FG时，△ABC是等腰直角三角形，理由见解析.
【解析】
【详解】试题分析：（1）先根据题意推理出四边形AFCG是矩形，然后根据矩形的性质得到对角线相等；
（2）由（1）的结论和AC⊥FG得到四边形AFCG是正方形，然后即可得到△ABC是等腰直角三角形．
试题解析：
(1)∵AD平分∠EAC，且AD∥BC，
∴∠ABC＝∠EAD＝∠CAD＝∠ACB，
∴AB＝AC.
∵AF是BC边上的中线，
∴AF⊥BC.
∵CG⊥AD，AD∥BC，
∴CG⊥BC，
∴AF∥CG，
∴四边形AFCG是平行四边形．
∵∠AFC＝90°，
∴四边形AFCG是矩形．
∴AC＝FG.
(2)当AC⊥FG时，△ABC等腰直角三角形．理由如下：
∵四边形AFCG是矩形，AC⊥FG，
∴四边形AFCG是正方形，∠ACB＝45°.
∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形．
24. 已知关于的方程.
（1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有实数根；
（2）能否找到一个实数，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出的值；若不能，请说明理由．
（3）当等腰三角形ABC的边长，另两边的长恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）10．
【解析】
【分析】（1）整理根的判别式，得到它是非负数即可．
（2）两实数根互为相反数，让即可求得k的值．
（3）分，两种情况做．
【详解】解：（1）∵△=，
∴方程总有实根；
（2）∵两实数根互为相反数，
∴，
解得；
（3）①当时，则△=0，
即，
∴，
方程可化为，
∴，
∴，∴不适合题意舍去；
②当，则，
∴，
方程化为，
解得，，
∴c=2，C△ABC=10，
当c=a=4时，同理得b=2，
∴C△ABC=10，
综上所述，△ABC的周长为10．
25. 在等腰中，，点是边上一点（不与点、重合），连结．
（1）如图1，若，点关于直线的对称点为点，结，，则________；
（2）若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结．
①在图2中补全图形；
②探究与的数量关系，并证明；
（3）如图3，若，且，试探究、、之间满足的数量关系，并证明．
【答案】（1）30°；（2）①见解析；②；见解析；（3），见解析
【解析】
【分析】（1）先根据题意得出△ABC是等边三角形，再利用三角形的外角计算即可
（2）①按要求补全图即可
②先根据已知条件证明△ABC是等边三角形，再证明，即可得出
（3）先证明，再证明，得出，从而证明，得出，从而证明
【详解】解：（1）∵，
∴△ABC是等边三角形
∴∠B=60°
∵点关于直线的对称点为点
∴AB⊥DE，
∴
故答案为：；
（2）①补全图如图2所示；
②与的数量关系为：；
证明：∵，．
∴为正三角形，
又∵绕点顺时针旋转，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（3）连接．
∵，，∴．
∴．
又∵，
∴，
∴．∵，∴，
∴，
∴，
∴，．
∵，
∴．
又∵，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的证明及性质、全等三角形的证明及性质、三角形的外角、轴对称，熟练进行角的转换是解题的关键，相似三角形的证明是重点