2022-2023学年福建省三明市大田县九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2022-2023学年福建省三明市大田县九年级上学期数学期末试题及答案，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 如果2是方程x2-3x+k=0的一个根，则常数k的值为（ ）
A. 2B. 1C. -1D. -2
【答案】A
【解析】
【分析】把x=2代入已知方程列出关于k的新方程，通过解方程来求k的值．
【详解】解：∵2是一元二次方程x2-3x+k=0的一个根，
∴22-3×2+k=0，
解得，k=2．
故选：A．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
2. 如图所示几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：从左边看，是一列两个小正方形，
故选：D．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
3. 已知，那么下列比例式中成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由，可得，再利用比例的基本性质逐一分析各选项，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
由可得：，故A不符合题意，
由可得：，故B符合题意；
由可得：故C不符合题意，
由可得：，故D不符合题意，
故选：B
【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握比例的基本性质进行变形是解题的关键．
4. 以下条件中能判定平行四边形为矩形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形的判定定理逐项判断即可．
【详解】当时，平行四边形为菱形，故A选项不符合题意；
为平行四边形的性质，故B选项不符合题意；
当时，平行四边形为菱形，故C选项不符合题意；
当时，平行四边形为矩形，故D选项不符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．
5. 下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出的值，再比较出其与0的大小关系即可解答．
【详解】解：A．，有两个相等的实数根，不符合题意；
B．，没有实数根，不符合题意；
C．，有两个不相等实数根，符合题意；
D．由，则该方程没有实数根，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根．
6. 若抛物线平移后的顶点坐标为，则在平移后的抛物线上的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线平移的性质可得平移后的抛物线的解析式为，然后再逐项判断即可求解．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，且平移后的顶点坐标为，
∴平移后的抛物线的解析式为，
当时，，
∴点在平移后的抛物线上，故A选项符合题意；
当时，，
∴点不在平移后的抛物线上，故B选项不符合题意；
当时，，
∴点不在平移后的抛物线上，故C选项不符合题意；
当时，，
∴点不在平移后的抛物线上，故D选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，根据二次函数平移的性质得到平移后的抛物线的解析式是解题的关键．
7. 如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（ ）
A. 1：3B. 1：4C. 1：5D. 1：9
【答案】D
【解析】
【详解】由位似比可得出相似比，再根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
解：∵OB=3OB′，
∴OB′：OB=1：3，
∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，
∴△A′B′C′∽△ABC，
∴A′B′：AB＝OB′：OB=1：3，
∴.
故选D
8. 如图所示，网格中相似的两个三角形是（ ）
A. ①与②B. ①与③C. ③与④D. ②与③
【答案】B
【解析】
【分析】分别根据网格的特点求得各三角形三边的长，根据三边对应成比例判断两三角形相似即可．
【详解】解：根据网格的特点，①号三角形的三边长分别为：，2，，
②号三角形的三边长分别为：，，3，
③号三角形的三边长分别为：2，，，
④号三角形的三边长分别为：，3，，
，
①与③相似，故B选项正确，符合题意；其他选项不正确
故选：B．
【点睛】本题考查了网格中判断相似三角形，分别求得各三角形的边长是解题的关键．
9. 如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为何？（ ）
A. 50°B. 55°C. 70°D. 75°
【答案】C
【解析】
【分析】由平角的定义求出∠CED的度数，由三角形内角和定理求出∠D的度数，再由平行四边形的对角相等即可得出结果．
【详解】解：∵四边形CEFG正方形，
∴∠CEF=90°，
∵∠CED=180°-∠AEF-∠CEF=180°-15°-90°=75°，
∴∠D=180°-∠CED-∠ECD=180°-75°-35°=70°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D=70°（平行四边形对角相等）．
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形和正方形的性质，由三角形内角和定理求出∠D的度数是解决问题的关键．
10. 已知的面积为，，．若的顶点都在双曲线（）上，且过坐标原点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据，且的面积为，求得，，，的长，设点，，，通过证得∽可得，再根据勾股定理求得A的坐标满足，从而可求得k的值．
【详解】解：如图，
过B点作轴，，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，，
，
的面积为，
，
，
，，
，
，
设点，
由双曲线的对称性可得，，
，，
，
解得：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的综合应用，构建三角形相似是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 如图，转盘中6个扇形的面积都相等．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时（指向两个扇形交线处时，重新转动转盘），事件“指针落在蓝色扇形中”的概率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据概率公式直接求解即可．
【详解】∵转盘被等分成6个面积都相等的扇形，且蓝色扇形有2个，
∴事件“指针落在蓝色扇形中”的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查简单的概率计算．掌握几何概率的求法是解题关键．
12. 若关于的一元二次方程没有实数根，则实数的值可以是______．（写出一个符合题意的值即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据非负数的性质可得当时，一元二次方程没有实数根，于是只要使m的值为负数即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根，
∴，
∴m的值可以是（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，正确理解题意、掌握非负数的性质是解题的关键．
13. 两个相似三角形的周长比是，其中较小三角形的面积为，则较大三角形的面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据相似三角形的性质可得两个相似三角形的边长比是，从而得到两个相似三角形的面积比是，即可求解．
【详解】解：∵两个相似三角形周长比是，
∴两个相似三角形的相似比是，
∴两个相似三角形的面积比是，
∵较小三角形面积为，
∴较大三角形的面积为．
故答案为：16
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
14. 如图，在矩形中，，相交于点，点，分别为，的中点．若，则的长为______．
【答案】8
【解析】
【分析】先根据三角形中位线定理求出，再根据矩形的性质即可得到．
【详解】解：∵点，分别为，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵四边形是矩形，且点O是对角线的交点，
∴，
故答案为；8．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，矩形的性质，熟知矩形对角线相等且互相平分是解题的关键．
15. 如图，为锐角三角形，是边上的高，正方形的一边在上，顶点，分别在，上，已知，，则这个正方形的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】证明，利用高线比等于相似比，列式求出正方形的边长，即可得解．
【详解】解：设交于点，
∵四边形为正方形，是边上的高，
∴，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴正方形的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．熟练掌握相似三角形的对应边上高线比等于相似比，是解题的关键．
16. 如图，对称轴为直线的抛物线与x轴交于，两点，与直线交于，两点，已知点在轴上，点D在x轴下方且横坐标小于3．给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的是_______．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①③④
【解析】
【分析】根据时，一次函数值比二次函数值大可判断①；根据当时，二次函数值小于0可判断②；根据，可判断③；根据当时，二次函数有最大值可判断④．
【详解】∵直线与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，
∴时，一次函数值比二次函数值大，
即，
，
∴，
∴，
解得，所以①正确．
∵当时，二次函数值小于0，抛物线的对称轴为直线，
∴当时，二次函数值小于0，
∴，故②不正确；
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴，
∵对称轴，
∴，
∴，故③正确；
∵当时，二次函数有最大值，
∴，
∴，
即，故④正确；
∴①③④正确，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数图象与系数的关系，数形结合是解答本题的关键．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】解：，
，
解得．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18. 如图，在菱形中，，分别是，中点，连结，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】运用证明即可得到结论
【详解】解：∵，分别是，中点，
∴，．
∵四边形是菱形，
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
19. 已知反比例函数，且当时，随的增大而减小．
（1）若该函数图像经过点，求实数的值；
（2）求实数的取值范围及该函数图像经过的象限．
【答案】（1）
（2），该函数图像经过第一、三象限
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据反比例函数的增减性得出，进而得出经过的象限，即可求解．
【小问1详解】
解：∵该函数图像经过点，
∴，
解得：．
【小问2详解】
解：∵当时，随的增大而减小，
∴．
∴的取值范围是．
∴该函数图像经过第一、三象限．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
20. 如图所示，分别是两棵树及其影子的情形．
（1）请判断图中投影是________投影；（填“中心”或“平行”）
（2）请画出图中表示小丽影长的线段．
【答案】（1）平行 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）作出两树投影的光线，由两光线的公交车关系即可得出结论；
（2）利用光线是平行的作出小丽影长的线段即可．
【小问1详解】
解：如图，
∴图中投影是平行投影；
【小问2详解】
解：如图所示：是表示小丽影长的线段．
【点睛】此题主要考查了平行投影，熟练掌握在平行光线照射下形成的投影叫平行投影是解题关键．
21. 如图，在中，为边上的点，且．
（1）求作点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若，，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法即可求解；
（2）证明，根据相似三角形对应角相等即可证明．
【小问1详解】
解：如图，点为所求．
；
【小问2详解】
证明：∵，
∴．
则．
∴．
又∵，
∴．
∴．
．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握 “两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”．
22. 某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100，并绘制出如图不完整的统计图．
解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 人．
（2）求被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有多少人？并补齐条形统计图．
（3）学校要将D组最优秀的4名学生分成两组，每组2人到不同的社区进行“交通法规”知识演讲．已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求九年级的2名学生恰好分在同一个组的概率．
【答案】（1）80 （2）32人，图见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）用学生成绩在B：70≤x＜80组的人数除以20%，即可求解；
（2）先求出学生成绩在C：80≤x＜90组的人数，即可求解；
（3）把1名来自七年级的学生记为甲，1名来自八年级的学生记为乙，2名九年级学生记为丙、丁，根据题意，画树状图可得共有12种得可能的结果，其中九年级的2名学生恰好分在同一个组的结果有4种，即可求解．
【小问1详解】
解：本次调查的学生共有：16÷20%＝80（人），
故答案为：80；
【小问2详解】
解：被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有：80﹣8﹣16﹣24＝32（人），
补全的条形统计图如下所示：
【小问3详解】
把1名来自七年级的学生记为甲，1名来自八年级的学生记为乙，2名九年级学生记为丙、丁，
根据题意，画树状图如下：
共有12种得可能的结果，其中九年级的2名学生恰好分在同一个组的结果有4种，
∴九年级的2名学生恰好分在同一个组的概率为：．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，用树状图或列表法求概率，明确题意，从统计图中准确获取信息是解题的关键．
23. 如图，正方形是一张边长为的皮革．皮雕师傅想在此皮革两相邻的角落分别切下与后得到一个五边形，其中P，Q，R三点分别在边，，上，且，．
（1）若，将的面积用含x的代数式表示；
（2）五边形的面积是否存在最大值？若存在，请求出该最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）根据条件表示出，从而得到的面积；
（2）分别求出正方形、、的面积，再作差求出五边形的面积，最后确定出取极值时的x值。即可求出最大值．
【小问1详解】
解：依题意，．
的面积．
【小问2详解】
解：设，则，
∴，
，
∴的面积．
，
．
当时，上式取得最大值120，
所以，当时，五边形的面积取得最大值．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，三角形面积的计算、五边形面积计算的方法，计算三角形的面积及利用二次函数顶点式求最值是解题的关键．
24. 已知抛物线（b、c为常数），若此抛物线与某直线相交于，两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线的函数解析式和顶点D的坐标；
（2）若点P是抛物线上位于直线上方一个动点，求的面积的最大值及此时点P的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为，抛物线的顶点D的坐标为（1，4）
（2），P
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点作轴交于点，设，则，，然后根据二次函数的性质可求解
【小问1详解】
解：将，两点代入，
，
解得，
，
，
；
【小问2详解】
解：设的直线解析式为，
，
解得，
，
过点作轴交于点，如图所示：
设，则，
，
，
当时，的面积最大值为，
此时
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
25. 如图，在四边形中，．点在内部，且满足 ，．
（1）证明：；
（2）证明：；
（3）证明：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）先证明，推出，即，再得到，即可证明结论；
（2）由相似三角形的对应角相等得到，延长交于点，由三角形的外角性质即可证明结论；
（3）相似三角形的性质得到和，由勾股定理得到，通过计算即可证明结论．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴．
∴，
即．
∵，
，
∴．
∴；
【小问2详解】
证明：∵，
∴．
延长交于点．
则，
．
故
；
【小问3详解】
证明：∵，
∴，即．
∵，
∴，即．
∵，
∴．
∴

．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，利用“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”证明是解题的关键．