2021年福建省福州市九年级上学期数学期中试卷含答案

这是一份2021年福建省福州市九年级上学期数学期中试卷含答案，共15页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 九年级上学期数学期中试卷
一、单项选择题
1.以下列图形中，是中心对称图形的有〔   〕

A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个
2.以下一元二次方程中，没有实数根的是〔    〕
A. x2＋3x＋2＝0            B. ﹣x2＋x＋2＝0            C. 〔x＋1〕2＋2＝0            D. 3〔x﹣1〕2﹣2＝0
3.将二次函数y＝x2＋2x＋3通过配方可化为y＝a〔x﹣h〕2＋k的形式，结果为〔    〕
A. y＝〔x＋1〕2＋2          B. y＝〔x﹣1〕2＋2          C. y＝〔x＋1〕2﹣2          D. y＝〔x﹣1〕2﹣2
4.如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝38°，那么∠AOB等于〔    〕

A. 52°                                       B. 68°                                       C. 76°                                       D. 86°
5.对于二次函数y＝〔x﹣2〕2＋3的图象，以下说法正确的选项是〔    〕
A. 对称轴是x＝﹣2               B. 开口向下               C. 与x轴有两个交点               D. 顶点坐标是(2，3)
6.一件商品的原价是300元，经过两次提价后的价格为363元．如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的选项是〔    〕
A. 300〔1﹣2x〕＝363                                          B. 300〔1＋x〕＝363
C. 300〔1﹣x〕2＝363                                          D. 300〔1＋x〕2＝363
7.如图，AB是⊙O的直径，O为圆心，C是⊙O上的点，D是 上的点，假设∠D＝120°，那么∠BOC的大小为〔    〕

A. 60°                                       B. 55°                                       C. 58°                                       D. 40°
8.矩形ABCD的一条对角线长为5，边AB的长是方程x2﹣6x＋8＝0的一个根，那么矩形ABCD的面积为〔    〕
A. 12                                  B. 20                                  C. 2                                   D. 12或2
9.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．假设将△ABC以某点为旋转中心，旋转得到△A'B'C'，那么旋转中心的坐标是〔    〕

A. (1，1)                              B. (1，﹣1)                              C. (0，0)                              D. (1，﹣2)
10.当﹣1＜k＜3时，那么直线y＝k与函数y＝ 交点个数有〔    〕
A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个
二、填空题
11.点P〔1，﹣3〕关于原点对称的点的坐标是________．
12.方程x(x﹣1)=0的根是________.
13.假设二次函数y＝2〔x﹣1〕2＋1的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到函数的解析式为________．
14.△ACB中，∠ACB＝90°，以AB为直径作⊙O，那么点C在⊙O________〔填内、上或外〕．
15.抛物线y＝〔x﹣m〕2＋n与x轴交于点(1，0)，(4，0)，那么关于x的一元二次方程〔x﹣m﹣3〕2＋n＝0的解是________．
16.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点F在边AC上，并且CF＝1，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，那么点P到边AB距离的最小值是________.

三、解答题
17.解方程：x2﹣3x﹣4＝0．
18.关于x的一元二次方程x2＋4x＋m﹣2＝0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．
19.二次函数y＝0.5x2＋bx＋c中的x，y满足下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
2.5
0
﹣1.5
﹣2
﹣1.5
0
2.5
…

〔1〕求这个二次函数的解析式；
〔2〕利用上表，在平面直角坐标系画出这条抛物线；
〔3〕直接写出，当x取何值时，y随x的增大而增大．
20.如图，正方形OABC点A，C分别在x，y轴的正半轴上，将正方形OABC绕点O逆时针旋转30°得正方形OA'B'C'，B'A'与CB相交于点D，连接OD．

〔1〕求证：△OA′D≌△OCD〔提示：“HL〞〕；
〔2〕假设OD＝4，求正方形OABC的边长．
21.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，半径OD⊥AC，DE⊥AB于点E，交弦AC于点F，连接BD，AD

〔1〕假设∠ABD＝25°，求∠DAC的度数〔提示：半径OD⊥AC，可根据垂径定理解题〕；
〔2〕求证：DF＝AF．
22.：如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线 经过点A，BD⊥ 于点D，连接CD．

〔1〕.证明A，C，B，D四个点在同一个圆上并画出圆〔提示：取AB中点O〕；
〔2〕.求证：∠ADC＝45°
〔3〕.以点C为旋转中心，把△CDB逆时针方向旋转90°，画出旋转后的图形．
23.如图，一段长为45m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，墙长为27m，设花园的面积为sm2 ， 平行于墙的边为xm．假设x不小于17m，

〔1〕求出s关于x的函数关系式；
〔2〕求s的最大值与最小值．
24.如图，⊙O的直径BC＝4 ， ＝ ＝ ，点P是射线BD上的一个动点．

〔1〕如图1，求BD的长；
〔2〕如图1，假设PB＝8，连接PC，求证PC为⊙O的切线；
〔3〕如图2，连接AP，点P在运动过程中，求AP＋ PB的最小值．
25.直线 ：y1＝x﹣1，抛物线c：y2＝〔x﹣h〕2＋k．
〔1〕假设h＝0，k＝﹣1，求直线 与抛物线c的交点坐标；
〔2〕假设k＝﹣1时，求当x〔可用含h的代数式表示〕为何值时，y2＞y1；
〔3〕假设k＝h2＋1，设直线 与x，y轴与分别交于点A，B，抛物线c的顶点为P，当点A，B，P三点构成的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 B
【解析】【解答】解：第一个图形是中心对称图形；
第二个图形不是中心对称图形；
第三个图形是中心对称图形；
第四个图形不是中心对称图形.
故共2个中心对称图形.
故答案为：B.
【分析】把一个平面图形，沿着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可一一判断得出答案.
2.【答案】 C
【解析】【解答】解：A．x2＋3x＋2＝0中，△＝32﹣4×1×2＝1＞0，有两个不相等实数根；
B．﹣x2＋x＋2＝0中，△＝12﹣4×〔﹣1〕×2＝9＞0，有两个不相等实数根；
C．〔x＋1〕2＋2＝0中，△＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，没有实数根；
D．3〔x﹣1〕2﹣2＝0中，△＝〔﹣6〕2﹣4×3×1＝24＞0，有两个不相等实数根．
故答案为:C．

【分析】利用根的判别式逐项判定即可。
3.【答案】 A
【解析】【解答】解：y＝x2＋2x＋3＝〔x2＋2x＋1〕＋2＝〔x＋1〕2＋2，
即y＝〔x＋1〕2＋2．
故答案为：A．
【分析】利用配方法的计算方法求解即可。
4.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝38°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝76°．
故答案为：C．
【分析】根据圆周角定理得出∠AOB＝2∠ACB，据此计算即得.
5.【答案】 D
【解析】【解答】解：A．由函数表达式知，抛物线的对称轴为x＝2，故A不符合题意；
B．a＝1＞0，故抛物线开口向上，故B不符合题意；
C．令y＝〔x﹣2〕2＋3＝0，该方程无解，故C不符合题意；
D．抛物线的顶点为(2，3)，故D符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据二次函数图象与系数的关系及二次函数顶点式的性质逐项判定即可。
6.【答案】 D
【解析】【解答】解：设平均每次提价的百分率为x，
根据题意得：300〔1＋x〕2＝363，
故答案为：D．

【分析】设平均每次提价的百分率为x，用含x的表达式表示出两次提价后的价格，列方程求解即可。
7.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵∠D＝120°，
∴∠B＝60°，
∵CO＝BO，
∴△COB是等边三角形，
∴∠COB＝60°，
故答案为：A．

【分析】根据圆内接四边形的性质可知：∠B＝60°，即可得到△COB是等边三角形，所以∠COB＝60°。
8.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵边AB的长是方程x2﹣6x＋8＝0的一个根，
∴x2﹣6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4，
当AB＝2时，利用勾股定理可得相邻的边为 ＝ ，此时矩形ABCD的面积为2× ＝2 ；
当AB＝4时，利用勾股定理可得相邻的边为 ＝3，此时矩形ABCD的面积为3×4＝12；
故答案为:D．
【分析】先求出方程的根，再分当AB＝2时，当AB＝4时两种情况，利用勾股定理求出矩形的另一条边长，再利用矩形面积计算公式计算即可。
9.【答案】 A
【解析】【解答】解：如图点O′即为旋转中心，坐标为O′(1，1) ．

故答案为:A．
【分析】先找两组对应点，分别做两组是对应点连线的垂直平分线，交点即是旋转中心。
10.【答案】 D
【解析】【解答】解：画出函数y＝ 的图象如图：

由图象可知，直线y＝k与函数y＝ 交点个数有4个，
故答案为：D．

【分析】画出函数图象，再结合函数图象求解即可。
二、填空题
11.【答案】 〔-1，3〕
【解析】【解答】解：∵关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，
∴点P〔1，-3〕关于原点的对称点的坐标为〔-1，3〕．
故答案为：〔-1，3〕．
【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数可知：点P〔1，-3〕关于原点的对称点的坐标．
12.【答案】 x1=0,x2=1
【解析】【解答】解：∵x(x﹣1)=0，
∴x=0或x-1=0，
解得：x1=0，x2=1，
故答案为x1=0，x2=1.

【分析】利用因式分解法求解即可。
13.【答案】 y＝2〔x＋1〕2﹣1
【解析】【解答】解：将抛物线y＝2〔x﹣1〕2＋1向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到y＝2〔x﹣1＋2〕2＋1﹣2．故得到抛物线的解析式为y＝2〔x＋1〕2﹣1．
故答案为：y＝2〔x＋1〕2﹣1．

【分析】利用函数平移的性质：左加右减，上加下减求解即可。
14.【答案】 上
【解析】【解答】解：∵AB为直径作⊙O，
∴OA＝OB，
∵O是直角三角形斜边AB的中点，
∴OA＝OB＝OC，
∴点C在⊙O上．
故答案为：上．

【分析】根据圆周角的性质可知点C在圆上。
15.【答案】 x1＝4，x2＝7
【解析】【解答】解：抛物线y＝〔x﹣m〕2＋n与x轴交于点(1，0)，(4，0)，
将抛物线y＝〔x﹣m〕2＋n向右平移3个单位得到y＝〔x﹣m﹣3〕2＋n，
那么平移后的抛物线与x轴的交点为：(4，0)、(7，0)；
故一元二次方程〔x﹣m﹣3〕2＋n＝0的解是：x1＝4，x2＝7，
故答案为：x1＝4，x2＝7．

【分析】将此题转换成二次函数图象平移的性质求解：左加右减，因为-3，所以应该往右平移3个单位。
16.【答案】
【解析】【解答】如图，延长FP交AB于M，

当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小，
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，〔勾股定理〕
∵∠A＝∠A，∠AMF＝∠C＝90°，
∴△AFM∽△ABC，
∴  ,即
解得，FM＝ ，
由折叠的性质可知，FP＝FC＝1，
∴PM＝ ，
故答案为： .

【分析】如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，根据点到直线的距离，垂线段最短可知：点P到AB的距离最小，根据勾股定理算出AB的长，进而判断出△AFM∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例得出， 根据比例式算出FM的长，由折叠的性质可知，FP＝FC＝1，进而根据线段的和差算出答案。
三、解答题
17.【答案】 解：∵原方程可化为：〔x+1〕〔x﹣4〕＝0，
∴x+1＝0或x﹣4＝0，
解得，x1＝4，x2＝﹣1．
【解析】【分析】利用十字相乘法求解即可。
18.【答案】 解：∵一元二次方程x2＋4x＋m﹣2＝0有两个相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝42﹣4×1×〔m﹣2〕＝24﹣4m＝0，
解得：m＝6，
∴x2+4x＋4＝0，
∴〔x+2〕2＝0，
∴x1＝x2＝-2．
【解析】【分析】利用一元二次方程根的判别式列出方程求解即可。
19.【答案】 〔1〕解：把点(﹣1，0)，(0，﹣1.5)分别代入y＝0.5x2＋bx＋c中，得
，
解得： ，
∴这个二次函数的关系式为：y＝0.5x2﹣x﹣1.5．

〔2〕解：描点、连线画出函数图象如图：


〔3〕解：由图象可知，当x＞1时，y随x的增大而增大．
【解析】【分析】〔1〕利用待定系数法求解二次函数即可；〔2〕利用“五点作图法〞作图即可；〔3〕结合函数图象求解即可。
20.【答案】 〔1〕证明：∵四边形OABC是正方形，
∴OA＝OC，∠OCD＝90°，
∵OA＝OA′，
∴OC＝OA′，
∵∠OCD＝∠A′＝90°，OD＝OD，
∴Rt△OA′D≌Rt△OCD〔HL〕．


〔2〕解：∵∠AOA′＝30°，∠AOC＝90°，
∴∠COA′＝60°，
∵Rt△OA′D≌Rt△OCD〔HL〕，
∴∠A′OD＝∠COD＝30°，
∵OD＝4，
∴CD＝ OD＝2，
∴OC＝ ＝ ＝2 ，
∴正方形OABC的边长为2 ．
【解析】【分析】(1)利用JL证明三角形全等即可；〔2〕证明∠COD=30°，利用直角三角形30°角的性质求出CD，再利用勾股定理求出OC即可。
21.【答案】 〔1〕解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝25°，
∴∠DAB＝65°，∠DOA＝50°，
∵OD⊥AC，
∴∠EAF＝40°，
∴∠DAC＝65°﹣40°＝25°；

〔2〕证明：∵DE⊥AB于点E，
∴∠DEO＝90°，
∴∠EDB＋∠B＝90°，
∵∠ADB＝90°，
∴∠ADE＋∠BDE＝90°，
∴∠B＝∠ADE，
∵OD⊥AC，
∴ ＝ ，
∴∠B＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠ADE，
∴AF＝DF．
【解析】【分析】〔1〕利用圆周角定理可得∠ADB=90°，然后在计算出∠DAO的度数，再利用直角三角形的性质得出答案；〔2〕利用直角三角形的性质推出∠DAC=∠ADE，再利用等角对等边即可得结论。
22.【答案】 〔1〕证明：取AB的中点O，连接OD，OC．

∵∠ACB＝∠ADB＝90°，OB＝OA，
∴OA＝OB＝OD＝OC，
∴A，B，C，D四个点在同一个圆上；

〔2〕证明：在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ADC＝∠ABC＝45°；

〔3〕解：如下列图：△ACD′，即为所求．

【解析】【分析】〔1〕取AB的中点O，连接OC、OD，只要证明OA=OB=OC=OD即可；〔2〕根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可证出结论；〔3〕利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案。
23.【答案】 〔1〕解：平行于墙的边为xm，矩形菜园的面积为ym2 ．
那么垂直于墙的一面长为 〔45﹣x〕m，
根据题意得：S＝ x〔45﹣x〕＝﹣ x2＋ x〔17≤x≤27〕；

〔2〕解：∵S＝﹣ x2＋ x＝﹣ 〔x2﹣45〕＝﹣ 〔x﹣ 〕2＋ 〔17≤x≤27〕，
∵17≤x≤27，a＝﹣ ＜0，
∴当x＝ m时，S取得最大值，此时S＝ m2 ，
∵|27﹣ |＜|17﹣ |，
∴x＝17m时，S取得最小值，此时S＝ m2 ，
答：S的最大值是 m2 ， 最小值是 m2 ．
【解析】【分析】〔1〕利用矩形的面积计算方法列出表达式即可；〔2〕利用配方法将函数化成顶点式即可求出最大值。
24.【答案】 〔1〕解：∵BC是直径， ＝ ＝ ，那么 、 、 均为60°的弧，

那么∠DBC＝30°，连接OA交BD于点H，
∵BC＝4 ，那么BO＝CO＝2 ，
在Rt△BOH中，BH＝BOcos∠DBC＝2 × ＝3，
那么BD＝2BH＝6；

〔2〕解：在Rt△BCD中，BC＝4 ，∠DBC＝30°，那么CD＝ CB＝2 ，
PD＝PB﹣BD＝8﹣6＝2，
在Rt△CDP中，PC2＝CD2＋PD2＝4＋〔2 〕2＝16，
在△BCP中，BC2＝〔4 〕2＝48，BP2＝64，
那么PB2＝CB2＋PC2 ，
故△BPC为直角三角形，故PC⊥CB，
故PC为⊙O的切线；

〔3〕解：过点A作AH⊥BC交BD于点P，

在Rt△PBH中，∠DBC＝30°，那么PH＝ PB，
即AP＋ PB＝AP＋PH＝AH为最小，
∵ 、 均为60°的弧，那么∠ABO＝60°，
而AO＝BO，
故△ABO为边长为2 的等边三角形，
那么AH＝ABsin60°＝2 × ＝3，
即AP＋ PB的最小值为3．
【解析】【分析】〔1〕在Rt△BOH中，， 那么BD=2BH=6；〔3〕过点A作AH⊥BC交BD于点P，那么点P为所求点，进而求解。
25.【答案】 〔1〕解：假设h＝0，k＝﹣1，那么y2＝x2﹣1．
联立两个函数表达式
 
整理得：x2﹣x＝0，解得x＝0或1，
当x＝0时 =-1；当x=1时 =0
故交点坐标为(0，﹣1)和(1，0)；

〔2〕解：联立y1＝x﹣1和y2＝〔x﹣h〕2﹣1并整理得：x2﹣〔2h＋1〕x＋h2＝0，
解得x＝ ，
由抛物线的表达式知，抛物线开口向上，
那么当x＜ 或x＞ 时，y2＞y1；

〔3〕解：由抛物线的表达式知，抛物线的顶点坐标为P(h，h2＋1)，即点P在抛物线y＝x2＋1上，如以下列图，画出过点A、B、O的圆和抛物线的图象，

①当∠PAB为直角时，
从图象看，点P的坐标为(0，1)；
②当∠ABP为直角时，
从图象看，直线P′B不可能与y＝x2＋1相交，故点P′不存在；
③当∠ABP″为直角时，
那么ABOP″四点共圆，
那么点P″是抛物线与圆的交点，
从图象看，抛物线和圆不可能相交，故点P″不存在，
故点P的坐标为(0，1)．
【解析】【分析】〔1〕 假设h＝0，k＝﹣1，那么y2＝x2﹣1，联立两个函数表达式得到： 整理得：x2﹣x＝0，解得x＝0或1，即可得到结论；
〔2〕联立一次函数与二次函数表达式，整理 解得：x＝   ，  根据抛物线的表达式知：抛物线开口向上，即可求解；
〔3〕根据抛物线的表达式知：抛物线的顶点坐标P，画出过点AB的圆和抛物线的图象，利用数形结合的方法求解即可。