2021年福建省龙岩九年级上学期数学期中试卷含答案

这是一份2021年福建省龙岩九年级上学期数学期中试卷含答案，共16页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 九年级上学期数学期中试卷
一、单项选择题
1.以下选项的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是〔    〕
A.                      B.                      C.                      D. 
2.某校在一次科普知识抢答比赛中，7名选手的得分分别为：8，7，6，5，5，5，4，那么这组数据的众数是〔    〕
A. 5                                           B. 6                                           C. 7                                           D. 8
3.一组数据17，35，18，50，36，99的中位数为〔    〕
A. 18                                        B. 35                                        C. 35.5                                        D. 50
4.一元二次方程3x2－x＝2的二次项系数、一次项系数和常数项分别是〔    〕
A. 3，－1，－2                     B. 3，－1，2                     C. －3，1，－2                     D. －3，－l，2
5.方程x2+6x﹣5＝0的左边配成完全平方后所得方程为〔   〕
A. 〔x+3〕2＝14                 B. 〔x﹣3〕2＝14                 C. =                  D. 〔x+3〕2＝4
6.将抛物线 向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为〔    〕.
A. ；      B. ；      C. ；      D. .
7.关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有实数根，那么实数k的取值范围是〔    〕
A. k≤1                              B. k＜1                              C. k≤1且k≠0                              D. k＜1且k≠0
8.某二次函数，当x＜1时，y随x的增大而减小；当x>1时，y随x的增大而增大，那么该二次函数的解析式可以是〔    〕
A. y＝〔x＋1〕2             B. y＝2〔x－1〕2             C. y＝－2〔x＋1〕2             D. y＝－2〔x－1〕2
9.关于x的二次函数y＝﹣2x2+4x+m2+2m ， 以下说法正确的选项是〔   〕
A. 该二次函数的图象与x轴始终有两个交点             B. 当x＞0时，y随x的增大而增大
C. 当该二次函数的图象经过原点时，m＝﹣2          D. 该二次函数的顶点的纵坐标无最小值
10.如图，在平面直角坐标系中，将正方形 绕点 逆时针旋转45°后得到正方形 ，依此方式，绕点 连续旋转2021次得到正方形 ，如果点 的坐标为〔1，0〕，那么点 的坐标为〔    〕

A. (﹣1，1)                         B.                          C. (﹣1，﹣1)                         D. 
二、填空题
11.假设一组数据1，2，x，4的众数是1，那么这组数据的方差为       ．

12.平面直角坐标系中，点P(3，1-a)与点Q(b+2，3)关于原点对称，那么a+b=________．
13.假设抛物线 的顶点在 轴的正半轴上，那么 的值为________.
14.设 是方程 的两个实数根，那么 的值是________.
15.如图，在 中， ，将 绕点 按逆时针方向旋转得到 ．假设点 恰好落在 边上，且 ，那么 的度数为________．

16.设二次函数 的图象顶点为 ，与 轴交点为 、 ，当 为等边三角形时， 的值为________．
三、解答题
17.解以下方程：
〔1〕x2＋4x－6＝0〔用配方法解〕；
〔2〕〔3x－2〕〔x＋2〕＝28〔用公式法解〕
18.抛物线y＝－(x－1)2＋3．

〔1〕抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________．
〔2〕选取适当的数值填入下表，并在如下列图的直角坐标系中描点画出该抛物线的图像．

…







…

…







…
〔3〕说明该抛物线与抛物线y＝－x2有什么关系．
19.定义新运算“⊕〞如下：当a≥b时，a⊕b＝ab－a；当a＜b时，a⊕b＝ab＋a
〔1〕计算：〔-2〕⊕〔 〕；
〔2〕假设2x⊕〔x＋1〕＝8，求x的值
20.如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC ， 连接OD ， OA ．

〔1〕求∠ODC的度数；
〔2〕假设OB＝2，OC＝3，求AO的长．
21.孔明同学对本校学生会组织的“为贫困山区献爱心〞自愿捐款活动进行抽样调查，得到了一组学生捐款情况的数据.如图是根据这组数据绘制的统计图，图中从左到右各长方形的高度之比为3：4：5：10：8，又知此次调查中捐款30元的学生一共16人.

〔1〕孔明同学调查的这组学生共有________人；
〔2〕这组数据的众数是________元，中位数是________元；
〔3〕假设该校有2000名学生，都进行了捐款，估计全校学生共捐款多少元？
22.关于x的一元二次方程 ．
〔1〕求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
〔2〕假设等腰△ABC的一边长a＝6，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长？
23.某养鸡专业户用篱笆及一面墙〔该墙可用最大长度为36米〕围成一个矩形场地ABCD来供鸡室外活动，该场地中间隔有一道与AB平行的篱笆〔EF〕，如图，BE、EF上各留有1米宽的门〔门不需要篱笆〕，该养鸡专业户共用篱笆58米，设该矩形的一边AB长x米，AD＞AB，矩形ABCD的面积为S平方米．

〔1〕求出S与x的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围；
〔2〕假设矩形ABCD的面积为252平方米，求AB的长．
24.综合与实践
问题情境：
如图①，点 为正方形 内一点， ，将 绕点 按顺时针方向旋转 ，得到 〔点 的对应点为点 〕，延长 交 于点 ，连接 ．
猜想证明：

〔1〕试判断四边形 的形状，并说明理由；
〔2〕如图②，假设 ，请猜想线段 与 的数量关系并加以证明；
解决问题：
〔3〕如图①，假设 ， ，请直接写出 的长．
25.二次函数y＝﹣x2+〔m﹣2〕x+3〔m+1〕与x轴交于AB两点〔A在B左侧〕，与y轴正半轴交于点C ．
〔1〕当m≠﹣4时，说明这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；
〔2〕假设OA•OB＝6，求点C的坐标；
〔3〕在〔2〕的条件下，在x轴下方的抛物线上找一点P ， 使S△PAC的面积为15，求P点的坐标．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 D
【解析】【解答】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
2.【答案】 A
【解析】【解答】解：数据8，7，6， 4各出现1次，数据5出现3次，出现的次数最多，
所以，5是这组数据的众数．
故答案为：A
【分析】根据众数的意义答复即可
3.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵将这组数据从小到大排列为： ， ， ， ， ，
∴最中间的两个数为 ，
∴这组数据的中位数是： ．
故答案为：C
【分析】中位数是将一组数据从小到大〔或从大到小〕重新排列后，最中间的那个数〔最中间的两个数〕的平均数，叫做这组数据的中位数．
4.【答案】 A
【解析】【解答】解：把 化为一般形式为：
所以：二次项系数、一次项系数和常数项分别是
故答案为：A
【分析】先把 化为一般形式为： 再判断各项系数即可得到答案．
5.【答案】 A
【解析】【解答】由原方程移项，得x2＋6x＝5，等式两边同时加上一次项系数一半得平方，即32 ， 得x2＋6x＋9＝5＋9，∴(x＋3)2＝14.故答案为：A.
【分析】配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边.
把二次项的系数化为1.
等式两边同时加上一次项系数一半的平方.
6.【答案】 B
【解析】【解答】解：将抛物线 向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ，
故答案为：B．
【分析】根据抛物线图像的平移规律“左加右减，上加下减〞即可确定平移后的抛物线解析式.
7.【答案】 C
【解析】【解答】一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根，那么代表着系数a不为零，且b2-4ac≥0，
可解出k≤1且k≠0
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程的定义以及根与系数的关系，可得出k的取值范围。
8.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而减小
∴抛物线开口向上，对称轴为直线
∴可设二次函数的解析式为 ， 其中
∴抛物线 满足条件．
故答案为：B
【分析】先利用二次函数图象的性质得到抛物线开口向上，对称轴为直线 ，然后对各选项进行判断即可得解．
9.【答案】 A
【解析】【解答】解：A．由题意得：△＝42﹣4×〔﹣2〕×〔m2+2m〕＝8〔m+1〕2+8＞0，所以该二次函数的图象与x轴始终有两个交点，符合题意；
B．函数的对称轴为直线x＝﹣ ，且抛物线开口向下，所以当x＜1时，y随x的增大而增大，不符合题意；
C．当该二次函数的图象经过原点时，即x＝0时，y＝m2+2m＝0，解得：m＝0或﹣2，不符合题意；
D．函数的对称轴为直线x＝1，此时y＝m2+2m+2＝〔m+1〕2+1≥1，即顶点的纵坐标最小值为1，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系，只要计算当y=0时对应的方程的判别式的值即可判断A项，根据二次函数的性质即可判断B、D两项，把点〔0，0〕代入二次函数的解析式可得关于m的方程，解方程即可判断C项，进而可得答案．
10.【答案】 C
【解析】【解答】解：如图，

∵四边形OABC是正方形，且OA=1，
∴B〔1，1〕，
连接OB，
由勾股定理得：OB= ，
由旋转得：OB=OB1=OB2=OB3=…= ，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1 ，
相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45°，
∴B1〔0， 〕，B2〔-1，1〕，B3〔- ，0〕，B4〔-1，-1〕，…，
发现是8次一循环，所以2021÷8=252…4，
∴点B2021的坐标为〔-1，-1〕
故答案为：C．
【分析】根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1 ， 相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论．
二、填空题
11.【答案】 1.5　
【解析】【解答】解：∵数据1，2，x，4的众数是1，

∴x=1，
∴平均数是〔1+2+1+4〕÷4=2，
那么这组数据的方差为[〔1﹣2〕2+〔2﹣2〕2+〔1﹣2〕2+〔4﹣2〕2]=1.5；
故答案为：1.5．
【分析】根据众数的定义先求出x的值，再根据方差的计算公式S2=[〔x1﹣〕2+〔x2﹣〕2+…+〔xn﹣〕2]进行计算即可．
12.【答案】 ﹣1
【解析】【解答】∵点P〔3，1-a〕与点Q〔b+2，3〕关于原点对称，
∴3=-〔b+2〕，1-a=-3，
解得：a=4，b=-5，
∴a+b=-1．
故答案为-1．
【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
13.【答案】 -4
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+4的顶点在x轴的正半轴上，
∴
解得：b=-4。
故答案为：-4。
【分析】根据抛物线的顶点坐标公式及x轴正半轴上点的坐标特点〔+，0〕即可列出混合组，求解即可。
14.【答案】 2021
【解析】【解答】∵a、b是方程x2+x-2021=0的两个不等实根，
∴a2+a-2021=0，a+b=-1，
∴a2+a=2021，
∴a2+2a+b=〔a2+a〕+〔a+b〕=2021-1=2021.
故答案为2021.
【分析】利用一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2+a=2021，a+b=-1，再将其代入a2+2a+b=〔a2+a〕+〔a+b〕中即可求出结论.
15.【答案】 24°
【解析】【解答】解：设 =x°.
根据旋转的性质，得∠C=∠ = x°， =AC, =AB.
∴∠ =∠B.
∵ ，∴∠C=∠CA =x°.
∴∠ =∠C+∠CA =2x°.
∴∠B=2x°.
∵∠C+∠B+∠CAB=180°， ，
∴x+2x+108=180.
解得x=24.
∴ 的度数为24°.
故答案为24°.
【分析】根据旋转的性质得出边和角相等，找到角之间的关系，再根据三角形内角和定理进行求解，即可求出答案．
16.【答案】
【解析】【解答】解：令y=0，可得 ，令方程两根为x1＜x2 ， 那么，
BC= x2-x1= ，
那么tan60°= ，解得a= .
【分析】令y=0，那么可得 ，利用韦达定理可求解其两根之差，即为BC的长度；再由二次函数性质可得A〔-a， 〕，那么运用特殊角60°的正切可得到关于a的等式并求解a的值.
三、解答题
17.【答案】 〔1〕解：移项：x2＋4 x＝6，
配方：x2＋4 x+4＝6+4  ，
即： ，
开方： ，
∴x1＝－2＋ ，x2＝－2－

〔2〕解：原方程可化简为： ，
那么a=3，b=4，c=﹣32，
∴△=b2﹣4ac=42﹣4×3×〔﹣32〕=400，
∴ ，
∴x1＝﹣4，x2＝ ．
【解析】【分析】〔1〕根据配方法解一元二次方程的步骤：移项、配方、开平方求解即可；〔2〕根据公式法解一元二次方程的步骤：化一般式、判断△的符号、代入公式求解即可．
18.【答案】 〔1〕直线x＝1；〔1，3〕
〔2〕解：列表：
  
…
-2
-1
0
1
2
3
4
…

…
-6
-1
2
3
2
-1
-6
…
描点，连线，如以下列图所示，


〔3〕解：抛物线y＝－(x－1)2＋3与抛物线y＝－x2的形状、开口方向完全相同，
抛物线y＝－(x－1)2＋3的顶点坐标为〔1，3〕，抛物线y＝－x2的顶点坐标为〔0，0〕
而〔0，0〕到〔1，3〕的平移方式为：向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度
∴把抛物线y＝－x2向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线y＝－(x－1)2＋3
【解析】【解答】解：〔1〕抛物线y＝－(x－1)2＋3的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是〔1，3〕；
故答案为：直线x＝1；〔1，3〕；
【分析】〔1〕根据抛物线的顶点式y＝a(x－h)2＋k的对称轴为直线x=h，顶点坐标为〔h，k〕即可得出结论；〔2〕根据顶点式给x赋值，求出对应的y的值，然后描点、连线即可；〔3〕先求出两个抛物线的顶点坐标，然后根据顶点坐标的平移方式即可得出抛物线的平移方式．
19.【答案】 〔1〕解：∵
∴
∴


．

〔2〕解：①∵当 ，即 时，有
∴
∵
∴ ；
②∵当 ，即 时，有
∴ ，
∵
∴ ．
∴综上所述， 的值为 或 ．
【解析】【分析】〔1〕首先认真分析条件找到规律，再将 转化成我们熟悉的有理数的混合运算，进而计算即可得解；〔2〕首先分 和 两种情况进行讨论，再分别解出 的取值范围，同时转化出相应的一元二次方程，并解方程，最后确定符合条件的 的值．
20.【答案】 〔1〕解：由旋转的性质得：CD=CO，∠ACD=∠BCO．
∵∠ACB=60°，∴∠DCO=60°，∴△OCD为等边三角形，∴∠ODC=60°

〔2〕解：由旋转的性质得：AD=OB=2．
∵△OCD为等边三角形，∴OD=OC=3．
∵∠BOC=150°，∠ODC=60°，∴∠ADO=90°．
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO
【解析】【分析】〔1〕根据旋转的性质得到三角形ODC为等边三角形即可求解；〔2〕在Rt△AOD中，由勾股定理即可求得AO的长．
21.【答案】 〔1〕60
〔2〕20；20
〔3〕解： 2000=38000〔元〕，∴估算全校学生共捐款38000元.
【解析】【解答】解：〔1〕设捐5元、10元、15元、20元和30元的人数分别为3x、4x、5x、10x、8x，那么8x=16，解得：x=2，∴3x+4x+5x+10x+8x=30x=30×2=60〔人〕；
〔 2 〕捐5元、10元、15元、20元和30元的人数分别为6，8，10，20，16.
∵20出现次数最多，∴众数为20元；
∵共有60个数据，第30个和第31个数据落在第四组内，∴中位数为20元；

【分析】〔1〕根据各小组的比值和捐款30元的学生一共16人可列方程求解；
〔2〕众数是指出现次数最多的数据；中位数是指将一组数据从小到大排列，如果有偶数个数据，中间两位数的平均数即为这组数据的中位数。根据定义即可判断求解；
〔3〕由题意先计算这组数据的平均数，再用样本估计总体即可求解。
22.【答案】 〔1〕证明：∵一元二次方程x2﹣〔3k+1〕x+2k2+2k＝0，
∴△＝〔3k+1〕2﹣4〔2k2+2k〕＝9k2+6k+1﹣8k2+8k＝k2﹣2k+1＝〔k﹣1〕2≥0，
∴无论k取何实数值，方程总有实数根；

〔2〕解：∵△ABC为等腰三角形，
∴有a＝b＝6、a＝c＝6或b＝c三种情况，
①当a＝b＝6或a＝c＝6时，可知x＝6为方程的一个根，
∴62﹣6〔3k+1〕+2k2+2k＝0，解得k＝3或k＝5，
当k＝3时，方程为x2﹣10x+24＝0，解得x＝4或x＝6，
∴三角形的三边长为4、6、6，
当k＝5时，方程为x2﹣16x+60＝0，解得x＝6或x＝10，
∴三角形的三边长为6、6、10，
②当b＝c时，那么方程有两个相等的实数根，
∴△＝0，即〔k﹣1〕2＝0，解得k1＝k2＝1，
∴方程为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，
此时三角形三边为6、2、2，不满足三角形三边关系，舍去，
综上可知三角形的三边为4、6、6或6、6、10．
【解析】【分析】〔1〕计算方程的判别式大于等于0即可；〔2〕由等腰三角形的性质有a＝b＝6、a＝c＝6或b＝c三种情况，当b＝6或c＝6时，可知x＝2为方程的一个根，代入可求得k的值，那么可求得方程的根，可求得三边长；当b＝c时，可知方程有两个相等的实数根，由判别式等于0可求得k ， 同样可求得方程的两根，可求得三角形的三边长
23.【答案】 〔1〕解：由题意得：BC﹣1＝58﹣x﹣x﹣〔x﹣1〕，
∴BC＝60﹣3x，
∴ABCD的面积：S＝x〔60﹣3x〕＝﹣3x2+60x
∵60﹣3x 36，60﹣3x>x
∴8≤x15

〔2〕解：由题意得：S＝﹣3x2+60x＝252，
解得：x＝14或6〔舍去6〕， 
故AB长为14米
【解析】【分析】〔1〕根据题意可得BC-1=58-x-x-〔x-1〕，求出BC的长即可列出S与x函数关系式；〔2〕利用〔1〕所得函数解析式，即可求解．
24.【答案】 〔1〕四边形 是正方形
理由：由旋转可知： ， ，
又 ，

四边形 是矩形．
∵ ．
四边形 是正方形；

〔2〕．
证明：如图，过点 作 ，垂足为 ，
那么 ，

．
四边形 是正方形，
， ．


，
．
．


∵ ，

；


〔3〕如图：过E作EG⊥AD
∴GE//AB
∴∠1=∠2
设EF=x，那么BE=FE＇=EF=BE＇=x，CE＇=AE=3+x
在Rt△AEB中，BE=x，AE=x+3，AB=15
∴AB2=BE2+AE2 ， 即152=x2+〔x+3〕2 ， 解得x=-12〔舍〕，x=9
∴BE=9,AE=12
∴sin∠1= ,cos∠1=
∴sin∠2= ,cos∠2=
∴AG=7.2,GE=9.6
∴DG=15-7.2=7.8
∴DE= ．

【解析】【分析】〔1〕由旋转可知： ， ,再说明 可得四边形 是矩形，再结合 即可证明；〔2〕过点 作 ，垂足为 ，先根据等腰三角形的性质得到 ，再证 可得 ，再结合 、 即可解答；〔3〕过E作EG⊥AD，先说明∠1=∠2，再设EF=x、那么BE=FE＇=EF=BE＇=x、CE＇=AE=3+x，再在Rt△AEB中运用勾股定理求得x，进一步求得BE和AE的长，然后运用三角函数和线段的和差求得DG和EG的长，最后在Rt△DEG中运用勾股定理解答即可．
25.【答案】 〔1〕解：∵m≠﹣4，
∴△＝〔m﹣2〕2﹣4×〔﹣1〕×3〔m+1〕＝〔m+4〕2＞0，
∴当m≠﹣4时，二次函数y＝﹣x2+〔m﹣2〕x+3〔m+1〕的图象与x轴必有两个交点；

〔2〕解：令y＝﹣x2+〔m﹣2〕x+3〔m+1〕＝0，
解得x1＝m+1，x2＝﹣3，
∵二次函数y＝﹣x2+〔m﹣2〕x+3〔m+1〕与x轴交于AB两点〔A在B左侧〕，与y轴正半轴交于点C，
∴A〔﹣3，0〕，B〔m+1，0〕，m+1＞0，
∵OA•OB＝6，
∴3〔m+1〕＝6，
解得m＝1，
∴二次函数y＝﹣x2﹣x+6，
当x＝0时，y＝6，
∴点C的坐标为〔0，6〕；

〔3〕解：设P点的坐标为〔a，﹣a2﹣a+6〕，
如图一所示，

当P在y轴左边时， ,并且有：
那么有：
即： ，
解得a＝﹣5，a＝2〔不合题意，舍去〕，
∴P点的坐标为〔﹣5，﹣14〕；
如图二所示，

当P在y轴右边， ,并且有：
那么有：
即： ，
解得a＝﹣5〔不合题意，舍去〕，a＝2，
∴P点的坐标为〔2，0〕；
故P点的坐标为〔﹣5，﹣14〕或〔2，0〕．
【解析】【分析】〔1〕当m≠﹣4时，先得出判别式大于零，再判断出这个二次函数的图象与x轴必有两个交点．〔2〕根据抛物线y＝﹣x2+〔m﹣2〕x+3〔m+1〕，求出x1和x2的值，可求OA ． 〔3〕可设P点的坐标为〔a ， ﹣a2﹣a+6〕，根据S△PAC的面积为15，分P在y轴左边或右边两种情况讨论，列出方程可求P点的坐标．