初中数学冀教版九年级上册第28章 圆28.5 弧长和扇形面积课后练习题

28.5弧长和扇形面积的计算同步练习冀教版初中数学九年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 有一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚如图，那么B点从开始至结束所走过的路径长度为   

A.  B.  C. 4 D.

2. 扇形的圆心角为，半径是18，则扇形的弧长为   

A.  B.  C.  D.

3. 已知圆锥的母线长为6，将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为，则该扇形的面积是

A.  B.  C.  D.

4. 已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的侧面积是

A.  B.  C.  D.

5. 如图，点C为扇形OAB的半径OB上一点，将沿AC折叠，点O恰好落在上的点D处，且：：表示的长，若将此扇形OAB围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为

A. 1：3 B. 1： C. 1：4 D. 2：9

6. 如图，四个三角形拼成一个风车图形，若，当风车转动，点B运动路径的长度为

A.
B.
C.
D.

7. 如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知，圆锥的侧面积为，则的值为

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是结果保留

A.
B.
C.
D.

9. 一个扇形的半径为6，圆心角为，则该扇形的面积是

A.  B.  C.  D.

10. 已知某圆锥的底面半径为3cm，母线长5cm，则它的侧面展开图的面积为

A. 30  B. 15  C.   D.  

11. 如图，在扇形OAB中，，D，E分别是半径OA，OB上的点，以OD，OE为邻边的▱ODCE的顶点C在上，若，，则阴影部分图形的面积是结果保留

A.
B.
C.
D.

12. 如图，AB是的直径，CD是弦，，，则阴影部分的面积是

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 如图，圆锥的侧面展开图的弧长为，若该圆锥的高为12，则该圆锥的母线长AB为          ．
    
    
    
    
     

14. 圆锥的底面半径为3，侧面积为，则这个圆锥的母线长为______．
15. 如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且，，，过点D作于点C，则阴影部分的面积是______．
     

16. 如图，在扇形AOB中，，，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为时，则阴影部分的面积为______．
     

17. 一个扇形的面积是，半径是6cm，则此扇形的圆心角是______度．
18. 如图，矩形ABCD中，对角线相交于O，以D为圆心，CD长为半径画弧，交AD于F，点O在圆弧上，若，则阴影部分的面积为______．
     

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 在扇形AOB中，，半径，点P为AO上任一点不与A、O重合．
    如图1，Q是OB上一点，若，求证：．
    如图2，将扇形沿BP折叠，得到O的对称点．
    若点落在上，求的长．
    当与扇形AOB所在的圆相切时，求折痕的长．注：本题结果不取近似值

20. 如图，在中，，的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的经过点D．
    求证：是的切线；
    ；
    若点F是劣弧AD的中点，且，试求阴影部分的面积．

21. 如图，AB是的直径，弦于点E，连接AC，BC．
    
    求证：；
    若，，求扇形阴影部分的面积．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，在中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC上一点，连接BD，AD，OC，．
    求的度数；
    若弦，求图中劣弧BC的长．
    
     

23. 如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，把绕点C逆时针旋转后得到C.
    
    画出；
    求在旋转过程中，CA所扫过的面积．
    
    
    
    
    
    
     
24. 把直角三角形ABC沿着直角边AB和直角边BC分别旋转一周，得到两个圆锥沿着哪条边旋转得到的圆锥体积大大多少单位：cm，取
    
    
    
     

25. 如图，等边内接于，P是上任一点点P与点A、B重合，连接AP、BP，过点C作交PA的延长线于点M．
    求和的度数；
    求证：≌；
    若，，求四边形PBCM的面积；
    在的条件下，求的长度．
     

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：由题意知，
，
点从开始至结束所走过的路径长度为，
故选B．
 

2.【答案】C
 

【解析】解：．
故选C．
 

3.【答案】C
 

【解析】解：该扇形的面积．
故选：C．
利用圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

4.【答案】B
 

【解析】【试题解析】

解：这个圆锥的侧面积
故选：B．
利用圆锥的侧面积公式计算即可．
本题考查了圆锥的侧面积公式，属于基础题．

5.【答案】D
 

【解析】解：连接OD交OC于M．

由折叠的知识可得：，，
，
，
且：：3，

设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
，
：：9．
故选：D．
连接OD，能得的度数，再利用弧长公式和圆的周长公式可求解．
本题运用了弧长公式和轴对称的性质，关键是运用了转化的数学思想．
 

6.【答案】A
 

【解析】解：由题意可得：点B运动路径的长度为，
故选：A．
由题意可得点B的轨迹是以A为圆心，AB长为半径的弧，利用弧长公式可求解．
本题考查了轨迹，弧长公式，掌握弧长公式是本题的轨迹．
 

7.【答案】C
 

【解析】解：设圆锥的母线长为R，由题意得
，
解得．
圆锥的高为4，
，
故选：C．
先根据扇形的面积公式求出母线长，再根据锐角三角函数的定义解答即可．
本题考查圆锥侧面积公式的运用，注意一个角的正弦值等于这个角的对边与斜边之比．
 

8.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积．
根据计算即可．
【解答】
解：，
故选：C．  

9.【答案】C
 

【解析】解：，
故选：C．
根据扇形的面积公式计算即可．
本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式是解题的关键．
 

10.【答案】D
 

【解析】解：底面半径为3cm，则底面周长，侧面面积．
故选：D．
圆锥的侧面积底面周长母线长．
本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
 

11.【答案】A
 

【解析】解：如图，连接OC，

，四边形ODCE是平行四边形，
▱ODCE是矩形，
．
，，
，
阴影部分图形的面积．
故选：A．
连接OC，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得到▱ODCE是矩形，由矩形的性质得到根据勾股定理得到，根据扇形的面积公式和矩形的面积公式即可得到结论．
本题考查了扇形的面积的计算，矩形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

12.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查扇形面积的计算、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
根据圆周角定理可以求得的度数，然后根据扇形面积公式即可解答本题．
【解答】
解：，
，
是的直径，CD是弦，，
阴影部分的面积是：，
故选：B．  

13.【答案】13
 

【解析】解：根据题意得，
所以，
所以．
故答案为13．
 

14.【答案】4
 

【解析】解：，
，
．
即这个圆锥的母线长为4．
故答案为：4．
根据圆锥的侧面积公式：即可进行计算．
本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是掌握圆锥侧面积公式．
 

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
连接OA，易求得圆O的半径为8，扇形的圆心角的度数，然后根据即可得到结论．
【解答】
解：连接OA，

，，
是等边三角形，
，
的半径为8，
，
，
，
，
，
，
于点C，
，，
，


．
故答案为．  

16.【答案】
 

【解析】解：在扇形AOB中，且，
，
，
阴影部分的面积扇形BOC的面积三角形ODC的面积

．
故答案为：．
连结OC，根据勾股定理可求OC的长，根据题意可得出阴影部分的面积扇形BOC的面积三角形ODC的面积，依此列式计算即可求解．
考查了正方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键是得到扇形半径的长度．
 

17.【答案】130
 

【解析】解：设这个扇形的圆心角为，
，
解得，，
故答案为：130．
根据扇形面积公式，即可求得这个扇形的圆心角的度数．
本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确扇形面积计算公式．
 

18.【答案】
 

【解析】解：四边形ABCD是矩形，
，，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
故答案为．
根据矩形的性质得到，，，推出是等边三角形，得到，求得，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查扇形的面积公式，矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用扇形的面积公式以及三角形的面积公式，本题属于中等题型．
 

19.【答案】证明：，，，
≌．
．
解：如图1，点落在上，连接，

将扇形沿BP折叠，得到O的对称点，
，
，
是等边三角形，
．
，
．
的长为．
与扇形AOB所在的圆相切时，如图2所示，

．
．
过点O作于点C，
，，
．
又，，
，
．
．
折痕的长为．
 

【解析】根据SAS可证明≌，则结论得证；
可得是等边三角形，则求出，由弧长公式则可得出答案；
过点O作于点C，求出OC的长，求出，求出BP长，则答案可得出．
本题是圆的综合题，考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，切线的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，弧长公式等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：连接OD，

是的平分线，，
，，
，
，而，
，
是的切线；
连接DE，
是的切线，，
，∽，
，
；
连接DF、OF，设圆的半径为R，
点F是劣弧AD的中点，是DA中垂线，
，，
，，
，
，
四边形AODF是平行四边形，
又，
，
、是等边三角形，
，
，
，而，
，
．
 

【解析】此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的知识，相似三角形的判断与性质，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
证明，即可求解；证明CDE∽，即可求解；
证明、是等边三角形，，即可求解．
 

21.【答案】证明：，
，
．
解：直径弦CD，
，         
，
             
，，
，
设，则，
由勾股定理得
取正值得，
，
，，
是等边三角形，
 
．
 

【解析】本题考查的是勾股定理，圆心角，弧，弦，垂径定理有关知识．
根据得出，即可解答；
根据直径弦CD得出，设，则，然后再利用勾股定理求出x，最后再利用扇形的面积计算公式进行解答即可．
 

22.【答案】解：连接OB，
，
，
，
由圆周角定理得，，
；
，
，
在中，，
，
劣弧BC的长．
 

【解析】连接OB，根据垂径定理得到，得到，根据圆周角定理解答；
根据垂径定理求出BE，根据正弦的定义求出OB，根据弧长公式计算，得到答案．
本题考查的是弧长的计算、垂径定理，掌握垂径定理和弧长公式是解题的关键．
 

23.【答案】解：则为所求作的图形．

，，
在旋转过程中，CA所扫过的面积为：
．
 

【解析】本题考查旋转变换，扇形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
根据要求画出图形即可；
利用扇形的面积公式计算即可．
 

24.【答案】解：以AB为轴旋转所成圆锥的体积是：


立方厘米；
以BC为轴旋转所成圆锥的体积是：


立方厘米，
，
立方厘米
答：沿BC为轴旋转得到的圆锥的体积比较大，大立方厘米．
 

【解析】本题考查的是圆锥的计算．
已知直角三角形的两条直角边的长度分别是3厘米、6厘米，以AB为轴旋转得到的圆锥底面半径是3厘米，高是6厘米；以BC为轴旋转得到的圆锥的底面半径是6厘米，高是3厘米；利用圆锥的体积公式， ，计算出它们的体积进行比较即可．
 

25.【答案】解：是等边三角形，
，
，，
，；
证明：，
，
，
，
，
，
，
又、P、B、C四点共圆，
，


，
在和中，
，
≌；
，
四边形PBCM为梯形，
作于H，
≌，
，，
又，
为等边三角形，
，
在中，，
，
；

过点B作，交AP的延长线于点Q，过点A作于点N，连接OB，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
为等边三角形，
经过圆心O，
，
，
在中，设，则，
，
解得：，
，
的长度为．
 

【解析】根据等边三角形的性质得到，根据圆周角定理即可得到，；
根据平行线的性质得到，，求得，根据圆周角定理得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
作于H，根据全等三角形的性质得到，，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到结论；
过点B作，交AP的延长线于点Q，过点A作于点N，连接OB，求得，得到，根据勾股定理得到，，根据弧长公式即可得到结论．
本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．