冀教版九年级上册28.3 圆心角和圆周角一课一练

28.3圆心角和圆周角同步练习冀教版初中数学九年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，是的内接三角形，，，AD是直径，，则AC的长为   

A. 4
B.
C.
D.

2. 如图，在中，，，则的度数为   

A.
B.
C.
D.

3. 如图，AB是的直径，BC、CD、DA是的弦，且，则等于   

A.
B.
C.
D.

4. 有一题目：“已知：点O为的外心，，求A.”嘉嘉的解答：画以及它的外接圆O，连接OB，OC，如图所示由，得而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值”下列判断正确的是   

A. 淇淇说的对，且的另一个值是
B. 淇淇说的不对，就得
C. 嘉嘉求的结果不对，应得
D. 两人都不对，应有3个不同值

5. 如图，AB为的直径，点C，点D是上的两点，连接CA，CD，若，则的度数是

A.
B.
C.
D.

6. 如图，点A，B，C在圆O上，若，则的度数是

A.
B.
C.
D.

7. 如图，已知AB是的直径，CD是弦，若，则等于

A.
B.
C.
D.

8. 如图，点A在上，BC为的直径，，，D是的中点，CD与AB相交于点P，则CP的长为

A.
B.
C.
D.

9. 如图，已知BC是的直径，半径，点D在劣弧AC上不与点A，点C重合，BD与OA交于点设，，则

A.
B.
C.
D.

10. 如图，是的内接三角形，AC是的直径，，的平分线交于点D，则的度数是

A.
B.
C.
D.

11. 如图，A，B，C，D是上的点，则图中与相等的角是

A.
B.
C.
D.

12. 如图，已知的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是，COD，若与互补，弦，则弦AB的长为

A. 6
B. 8
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 下列图形如图中的角，图          中的角是圆心角，图          中的角是圆周角填序号

14. 如图，圆内接四边形ABCD的内角，则          ．
    
    
     

15. 如图，的外接圆的直径为4，，则BC的长为          ．
    
    
     

16. 如图，在同圆中，，则AB          填“”“”或“”
    
    
     

17. 如图，四边形ABCD内接于，若，，则______
    
    
     

18. 如图，是的外接圆，，，则的直径为______．
    
     

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 如图，，于D，于E，求证：．
    
    
     

20. 如图，在中，点C是的中点，D、E分别是半径OA和OB的中点，求证：．
    
     

21. 如图，的直径AB交弦不是直径于点P，且，求证：．
    
    
     

22. 如图，的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F．
    若时，求证：；
    若时，求的度数．
    
     

23. 圆内接四边形ABCD中，、、的度数的比是2：3：求该四边形各内角的大小．
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，CD是圆O的直径，点A在DC的延长线上，，AE交圆O于点B，且求的度数．
     

25. 如图，线段MN是周长为36cm的圆的直径圆心为，动点A从点M出发，以的速度沿顺时针方向在圆周上运动，经过点N时，其速度变为，并以这个速度继续沿顺时针方向运动之点M后停止．在动点A运动的同时，动点B从点N出发，以的速度沿逆时针方向在圆周上运动，绕一周后停止运动．设点A、点B运动时间为．
    连接OA、OB，当时，______，在整个运动过程中，当时，点A运动的路程为______第2空结果用含t的式子表示；
    当A、B两点相遇时，求运动时间t．
    连接OA、OB，当时，请直接写出所有符合条件的运动时间t．

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：如图，连接CD，
，
，
，
四边形ABCD内接于，
，
是的直径，
，
，故选B．

2.【答案】D
 

【解析】解：如图，连接OA，OC，
，，
，，
，
，
，
故选D．

3.【答案】C
 

【解析】解：连接OC、OD，
，
，
，
，
又，
是等边三角形，
，
同理，，
．
故选C．
 

4.【答案】A
 

【解析】解：如图所示，还应有另一个不同的值，
易知与互补，故．
故选A．

5.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
连接BC，利用圆周角定理得到，结合则，然后利用圆的内接四边形的性质求的度数．
【解答】
解：如图，连接BC，

为的直径，
，
，
，
．
故选：B．  

6.【答案】C
 

【解析】解：．
故选：C．
直接利用圆周角定理求解．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

7.【答案】A
 

【解析】解：是的直径，
，
，
．
故选：A．
根据AB是的直径，可得，根据同弧所对圆周角相等可得，进而可得的度数．
本题考查了圆周角定理，解决本题的关键是掌握圆周角定理．
 

8.【答案】D
 

【解析】解：如图作于H．

，
，
是直径，
，
，，
，设，
，
≌，
，
，
，
在中，，
，
解得，
，
故选：D．
如图作于首先证明，设，根据勾股定理构建方程即可解决问题；
本题考查圆周角定理、勾股定理、圆心角、弧、弦的关系、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

9.【答案】D
 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
根据直角三角形两锐角互余性质，用表示，进而由圆心角与圆周角关系，用表示，最后由角的和差关系得结果．
本题主要考查了圆周角定理，直角三角形的性质，关键是用表示．
 

10.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查的是三角形的外接圆和圆周角定理，掌握圆周角定理、三角形内角和定理是解题的关键．
根据圆周角定理得到，，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．
【解答】
解：是的直径，
，
平分，
，
由圆周角定理得，，
，
故选：B．  

11.【答案】D
 

【解析】解：与都是所对的圆周角，
．
故选：D．
直接利用圆周角定理进行判断．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

12.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题主要考查圆心角定理，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理．
延长AO交于点E，连接BE，由知，据此可得，在中利用勾股定理求解可得．
【解答】

解：如图，延长AO交于点E，连接BE，

则，
又，
，
，
为的直径，
，
，
故选B．

13.【答案】

【解析】直接根据圆周角和圆心角的定义判断．
 

14.【答案】90
 

【解析】解： 圆内接四边形的对角互补，，

，

设，，，，

，

，

．

15.【答案】2
 

【解析】解：如图，作直径CD，连接BD．

是的直径，

．

又，，

．

16.【答案】
 

【解析】 解：如图，取的中点E，连接AE、BE，
则，
，
，
，
，
．

17.【答案】58
 

【解析】解：，，
，
，
，
故答案为：．
由圆内接四边形的性质求出，再由等腰三角形的性质即可得出答案．
本题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握圆内接四边形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
 

18.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了圆周角定理的运用以及等腰直角三角形的性质．
连接OB，OC，利用圆周角定理得出是等腰直角三角形，即可得到，进而得出的直径为．
【解答】
解：如图，连接OB，OC，

，
，
是等腰直角三角形，
又，
，
的直径为，
故答案为：．  

19.【答案】证明  ，

，

，，

．

【解析】见答案
 

20.【答案】证明：连接CO，如图所示，

，且D、E分别是半径OA和OB的中点，
，
又点C是的中点，
，
，
在和中，
，
≌，
．
 

【解析】连接OC，构建全等三角形和；然后利用全等三角形的对应边相等证得．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及全等三角形的判定与性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
 

21.【答案】证明：连接AC、BC，如图，
，，
∽，
：：PD，
，
，
，
为直径，
．
 

【解析】连接AC、BC，如图，根据圆周角定理得到，，则可判断∽，利用相似比得到，利用得到，然后根据垂径定理得到结论．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了圆周角定理和垂径定理．
 

22.【答案】证明：由三角形的外角性质可知，，，
，，
；
解：由知，
四边形ABCD是的内接四边形，
，
，
，
．
 

【解析】根据三角形的外角性质、对顶角相等证明；
根据圆内接四边形的性质、结合的结论得到，根据直角三角形的性质计算即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质、三角形的外角性质，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．
 

23.【答案】解：设、、的度数分别为2x、3x、6x，
四边形ABCD是圆内接四边形，
，
解得，，
，，，．
 

【解析】设、、的度数分别为2x、3x、6x，根据圆内接四边形的对角互补列方程求解即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
 

24.【答案】解：连接OB，如图，

，
，
，
，
而，得，
，
而，
，
．
 

【解析】连接OB，由，得到，则，于是，而，得，由，根据，即可得到的度数．
本题考查了三角形内角和定理，圆周角定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

25.【答案】20 
 

【解析】解：如图1，当时，
点A的运动路程为：，，
点B的运动路程为：，，
；
当点A运动6s时，路程为，为周长的一半，
当时，运动路程为，
故答案为：20，；

如图，当A、B两点第一次相遇时，
，
；
如图，当A、B两点第二次相遇时，
，
，
综上所述，当A、B两点相遇时，运动时间t为或；

，
如图，当A、B两点第一次运动至使时，
，
即，
；
如图，当A、B两点第二次运动至使时，
，
即，
；
如图，当A、B两点第三次运动至使时，
，
即，
；
如图，当A、B两点第四次运动至使时，
，
即，
，
综上所述，当时，符合条件的运动时间t的值有3，，12，．
如图1，当时，分别求出点A，点B的运动路程及旋转角度，即可求出的度数；当点A运动6s时，路程为，为周长的一半，所以当时，运动路程为；
分情况讨论，如图，，当A、B两点相遇时，根据路程速度时间公式可求出t的值；
先求出角所对的弧长，分情况讨论，如图，，，，当A、B两点运动至使时，根据路程速度时间公式可求出t的值．
本题考查了圆上双动点及旋转的角度问题，解题关键是能够根据题意画出图形，并注意分类讨论思想的运用．