初中数学北师大版九年级上册5 相似三角形判定定理的证明优秀精练

4.5相似三角形判定定理的证明同步练习北师大版初中数学九年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，AD是中BC边上的中线，当，时，BC的长为
    

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

2. 如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F为CD边的两个三等分点，连接AF，BE交于点G，则   

A.  B.  C.  D.

3. 在中，点D，E分别是AB，AC的中点，若的面积是，则四边形BDEC的面积为  

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在中，D，E分别是AB，AC边上的点，，若，，，则BC等于

A.  5 B.  6 C.  7 D.  8

5. 如图，在中，点D，E分别在AB，AC边上，，，若，，则线段CD的长为   

A.  
B.
C.  
D.  5

6. 如图，点P为的平分线上一点，的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，绕点P旋转时始终满足，若，则的度数为   

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，CD的中点，CE，BF交于点G，连接AG，则

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在中，点分别在上，，若，则DE的长为    

A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

9. 如图，，AD与BC相交于点O，那么在下列比例式中，正确的是

A.
B.
C.
D.

10. 如图，已知D是AB上一点，如果，，点E，F分别在AC，BC上，那么下列比例式中正确的是   

A.
B.
C.
D.

11. 如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知，则线段AE的长度为   

A. 6 B. 8 C. 10 D. 12

12. 如图，中，，且，则下列结论一定正确的是

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，在矩形ABCD中，，E是BC边上的一个动点，连接AE，过点D作于F，连接CF，当为等腰三角形时，则BE的长是________________．
    
     

14. 如图，中，点D、E分別在AB、AC上，，AD：：2，则与的面积的比为______．
    
     

15. 如图，直角三角形纸片ABC中AC边的长为10cm，现从下往上依次裁剪宽为4cm的矩形纸条，若剪得的第二张矩形纸条恰好是正方形，那么BC的长度是          cm．
16. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AC边上，且，，则________．
    
     

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 如图将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，
    求证：∽．
    若∽，求AB与BC的数量关系．
    
    
     

18. 如图，，AC与BD交于点E，且，，．
    求CD的长；
    求证：∽．
    
     

19. 已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图，在中，，，，以点C为圆心，以任意长为半径作AD，再分别以点A和点D为圆心，大于长为半径作弧，交EF于点B，．
    求证：四边形ACDB为的亲密菱形；
    求四边形ACDB的面积．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧不含对称轴沿x轴正方向移动到B点。
    求出二次函数和BC所在直线的表达式；
    在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；
    连接CP，CD，在动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由。
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，在中，，D为AC延长线上一点，，，过D作，交BC的延长线于点H．
    
    求证：∽．
    求DH长度．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的处，点D落在点处，交线段AE于点G．
    

求证：

若是AB的中点，，，求AG的长．






 

23. 如图，正方形ABCD中，点E，F分别为AB，AD的中点，以AE，AF为边作正方形AEGF．
    在图1中，线段DF与CG之间的数量关系是______，DF与CG所在直线所夹锐角的度数为______；
    在图2中，将正方形AEGF绕点A顺时针旋转一定角度旋转角小于后，得到正方形，连接，，则线段与之间的数量关系及与所夹锐角的度数是否仍然成立，请说明理由．

24. 如图，正方形ABCD在边长为5cm，用一块三角板，使它的一直角边始终经过点A，直角顶点E在BC上移动，另一直角边交CD于点F，如果，试用x的代数式表示不需要写出x的范围

25. 在中，，，E是线段BC的中点，D在边AC上，线段BD和AE交于点F．
    如图1，时，求的值；
    如图2，时，求的正切值．

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】

【分析】考查了相似三角形的判定与性质，注意利用相似三角形的知识解题时，一定要找准对应边角由已知条件判定∽，结合该相似三角形的对应边成比例解答．

【解答】

解：，，

∽，

．

又AD是中BC边上的中线，

．

即．

，

．
故选D．

2.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查平行四边形的性质、相似三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方即可解决问题．
【解答】
解：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
：：3，
，
∽，
，
故选：C．  

3.【答案】B
 

【解析】解：如图，
在中，点D、E分别是AB、AC的中点，
，且，
∽，
的面积：的面积：4，
的面积：四边形BDEC的面积：3，
的面积是，
四边形BDEC的面积是，
故选：B．
由D，E都是中点，可得DE是的中位线，则，则∽，且相似比是1：2，则的面积和的面积比是1：4，则的面积：四边形BDEC的面积：3，结合已知条件，可得结论．
本题主要考查三角形中位线的性质与判定，相似三角形的性质与判定，结合背景图形，找到已知和所求面积的关系是解题关键．
 

4.【答案】B
 

【解析】解：，
∽，
，
即，
解得：，
故选：B．
由平行线得出∽，得出对应边成比例，即可得出结果．
本题考查了相似三角形的判定与性质；证明三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．
 

5.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
设，，所以，易证∽，利用相似三角形的性质可求出DE的长度，以及，再证明∽，利用相似三角形的性质即可求出得出，从而可求出CD的长度．
【解答】
解：设，，
，
，
∽，
，
，
，，
，
，
，
，
∽，
，
设，，
，
，
，
，
故选：C．  

6.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查的是旋转的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义等有关知识由已知条件得到，由于，得到∽，根据相似三角形的性质得到，从而根据三角形内角和定理得出，即可得到结论．
【解答】
解：，
，
点P为的平分线上一点，，
，
∽，
，
，
．
故选A．  

7.【答案】A
 

【解析】解：延长CE、BA交于P，

在和中
，
≌，
，
，
．
，
∽，
，
，
：：8．
故选：A．
延长CE、BA交于P，证明≌，可得，进而可以求证∽，可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
 

8.【答案】B
 

【解析】解：，
：：：2，
．
：：2，
：：5，
：：5，
，
：：5，
解得．
故选：B．
运用，可得出AD：AE的值，由，求出CE：AE，可得出AE：AC即DE：BC，利用，即可求出DE的长．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是求出DE：BC．
 

9.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的判定和相似三角形的性质，对应边的比不要搞错．根据三角形的对应边成比例，找出对应边比则可．注意：对应角所对的边是对应边．
【解答】
解：，
，，，
∽，
：：OC，
其它三项均不正确．
故选C．  

10.【答案】B
 

【解析】解：，，
∽，∽，
，故A错误；
，故B正确；
，，故C错误；
，故D错误；
故选：B．
由相似三角形的判定，可得∽，∽；又由相似三角形的对应边成比例与平行线分线段成比例定理，可得B正确．
本题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题；解题的关键是找准对应线段，准确列出比例式，科学推理论证．
 

11.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键．
根据正方形的性质可得出，进而可得出∽，根据相似三角形的性质可得出，结合可求出AF、AG的长度，由、可得出CG为的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．
【解答】
解：四边形ABCD为正方形，
，，

，，
∽，，
，．
，，
为的中位线，
．
故选D．  

12.【答案】D
 

【解析】

【分析】
此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题关键．根据相似三角形的判定可得∽，列出比例式即可得出结论．
【解答】
解：，
∽，
，
AD：AB：5，故D正确；
无法判断AD：DE和AD：AE的值，故A、C不一定正确；
AD：BD：2，故B错误．
故选：D．  

13.【答案】1或或
 

【解析】

【分析】
本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．过点C作，垂足为点M，判断是等腰三角形，要分类讨论，；；，根据相似三角形的性质进行求解．
【解答】
解：时，过点C作，垂足为点M，
则，，
延长CM交AD于点G，
，
，，
四边形AECG是平行四边形，
，
当时，是等腰三角形．
时，则，
，，
，

则
当时，是等腰三角形；
时，则点F在CD的垂直平分线上，故F为AE中点．
，，
，
，
∽，
，
，
，
解得：或舍弃，
当时，是等腰三角形．
综上，当、、时，是等腰三角形．
故答案为：1或或．  

14.【答案】1：9
 

【解析】解：，
∽，
：：2，
：：3，
：：9．
故答案为：1：9．
根据得到∽，再结合相似比是AD：：3，因而面积的比是1：9，问题得解．
本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
 

15.【答案】20
 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及正方形的性质，根据矩形的性质结合相似三角形的判定定理找出∽是解题的关键．根据矩形的性质，可知：，进而可得出∽，根据相似三角形的性质即可求出BC的长度．
【解答】
解：剪得的第二张矩形纸条恰好是正方形，如图所示．

根据矩形的性质，可知，
 ∽， 
，
 ．
故答案为20．  

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是利用三角形外角的性质得出，另外要熟练掌握相似三角形的对应边成比例．由，可证得∽；根据题意表示出DC的长，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得EC的长．
【解答】
解：，，，
，
，
又，
∽，
，
即，
解得：．
故答案为．  

17.【答案】解：将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，
，
，
矩形ABCD，
，
，
，
又，
∽．

∽，
，
∽，
，

由折叠可知：≌，
，，
即，
在中，，
，
，

 

【解析】根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明．
利用相似三角形的性质证明即可解决问题．
本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

18.【答案】解：，
；
，
∽；
，
；
证明：
，，
，
，
∽．
 

【解析】根据相似三角形的判定和性质解答即可；
利用相似三角形的判定解答即可．
此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明∽．
 

19.【答案】证明：由已知得：，，
由已知尺规作图痕迹得：BC是的角平分线，
，
又，
，
，
，
又，，
，
四边形ACDB是菱形，
与中的重合，它的对角顶点在EF上，
四边形ACDB为的亲密菱形；

解：设菱形ACDB的边长为x，
四边形ACDB是菱形，
，
，，
∽
，
即，
解得：，
过A点作于H点，

在中，，，，
，
四边形ACDB的面积为：．
 

【解析】根据折叠和已知得出，，，求出，根据菱形的判定得出即可；
根据相似三角形的性质得出比例式，求出菱形的边长和高，根据菱形的面积公式求出即可．
本题考查了菱形的性质和判定，解直角三角形，相似三角形的性质和判定等知识点，能求出四边形ACDB是菱形是解此题的关键．
 

20.【答案】解：将点，，代入
得：
解得：
二次函数的表达式为：
当时，

设BC所在直线的表达式为：
将、代入
得：
解得：
所在直线的表达式为：
轴，轴

只要，四边形DEFP即为平行四边形

点D的坐标为
将代入，即
点E的坐标为

设点P的横坐标为t
则，

由得：
解得：不合题意舍去，
当时，
点P的坐标为
存在，理由如下：
如图2所示，由得：

又与有共同的顶点C，且在的内部

只有时，∽

、

由得：，，F的坐标为




解得
当时，
点P的坐标为。
 

【解析】由题意得出方程组，求出二次函数的解析式为，则，由待定系数法求出BC所在直线的表达式即可；
证，只要，四边形DEFP即为平行四边形，由二次函数解析式求出点D的坐标，由直线BC的解析式求出点E的坐标，则，设点P的横坐标为t，则P的坐标为：，F的坐标为：，由得出方程，解方程进而得出答案；
由平行线的性质得出，当时，∽，则，得出方程，解方程即可。
 

21.【答案】证明：，
，
，
，
，
∽；
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
．
 

【解析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
先利用平行线的性质可得，再根据等量代换可得，然后利用相似三角形的判定定理即可得出结论；
先利用平行线分线段成比例的性质可得，再根据已知条件可得，然后利用相似三角形的性质可得出结论．
 

22.【答案】证明：由题意可知，

，，

，．

解：是AB的中点，，．

由勾股定理得，解得．

由得，

，即，．

【解析】

【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、翻折变化，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似和勾股定理解答．
根据题意和图形可以找出∽的条件，从而可以解答本题；
根据勾股定理和中的结论可以求得AG的长．  

23.【答案】 
 

【解析】解：延长EG交DC于点H，连结AG，

四边形ABCD为正方形，四边形AEGF为正方形，
，，，
四边形FDHG是矩形，
，
点E，F分别为AB，AD的中点，
，
为等腰直角三角形，
设，则在中，，
，
四边形AEGF为正方形，AG为四边形AEGF的对角线，
，
和正方形ABCD的对角线AC在同一条直线上，
为正方形ABCD对角线，
，即DF与CG夹角为，
故答案为：，；
，与所在直线所夹锐角的度数为，结论仍然成立．
理由：如图，连接AC，，延长交AC于点K，交的延长线于点H．

在正方形ABCD中，，，
在正方形中，，．
．
，即，
∽．
，．
．
在中，，在中，，
，
．
与所在直线所夹锐角的度数为．
延长EG交DC于点H，连结AG，证明为等腰直角三角形，设，由勾股定理得出，由正方形的性质求出DF与CG所在直线所夹锐角的度数，则可得出答案；
连接AC，，延长交AC于点K，交的延长线于点证明∽由相似三角形的性质得出，求出则可得出答案．
本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，证明∽是解题的关键．
 

24.【答案】解：，
；
又，
∽，
；
而，，
，即
．
 

【解析】易证∽，由相似三角形的对应边成比例可以得出关于x、y的函数关系式：，即．
本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质．根据相似三角形得出线段的比例关系是解题的关键．
 

25.【答案】解：，
是AC的中点，

是的中位线，，
，
；
作，于P，

，
，
，
设，则，
，
，
，∽，
，
，
，，
，
在中，．
 

【解析】根据题意可以求得EF：AF的值，即可解题；
作，于P，可分别求得的值，即可计算的正切值．
本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比值相等的性质．