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    初中数学北师大版九年级上册5 相似三角形判定定理的证明优秀精练

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    这是一份初中数学北师大版九年级上册5 相似三角形判定定理的证明优秀精练,共29页。试卷主要包含了0分),则EC=________.,【答案】B,【答案】C,【答案】A等内容,欢迎下载使用。

     

    4.5相似三角形判定定理的证明同步练习北师大版初中数学九年级上册

    一、选择题(本大题共12小题,共36.0分)

    1. 如图,ADBC边上的中线,当时,BC的长为
       

    A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

    1. 如图,四边形ABCD为平行四边形,EFCD边的两个三等分点,连接AFBE交于点G,则   

    A.  B.  C.  D.

    1. 中,点DE分别是ABAC的中点,若的面积是,则四边形BDEC的面积为  

    A.  B.  C.  D.

    1. 如图,在中,DE分别是ABAC边上的点,,若,则BC等于


    A.  5 B.  6 C.  7 D.  8

    1. 如图,在中,点DE分别在ABAC边上,,若,则线段CD的长为   

    A.  
    B.
    C.  
    D.  5

    1. 如图,点P的平分线上一点,的两边分别与射线OMON交于AB两点,绕点P旋转时始终满足,若,则的度数为   

    A.  B.  C.  D.

    1. 如图,在正方形ABCD中,EF分别为ADCD的中点,CEBF交于点G,连接AG,则

    A.
    B.
    C.
    D.

    1. 如图,在中,点分别在上,,则DE的长为    

    A. 3
    B. 4
    C. 5
    D. 6

    1. 如图,ADBC相交于点O,那么在下列比例式中,正确的是

    A.
    B.
    C.
    D.

    1. 如图,已知DAB上一点,如果,点EF分别在ACBC上,那么下列比例式中正确的是   

    A.
    B.
    C.
    D.

    1. 如图所示,在正方形ABCD中,GCD边中点,连接AG并延长交BC边的延长线于E点,对角线BDAGF点.已知,则线段AE的长度为   


    A. 6 B. 8 C. 10 D. 12

    1. 如图,中,,且,则下列结论一定正确的是

    A.
    B.
    C.
    D.

    二、填空题(本大题共4小题,共12.0分)

    1. 如图,在矩形ABCD中,EBC边上的一个动点,连接AE过点DF连接CF为等腰三角形时,BE的长是________________

       

     

    1. 如图,中,点DE分別在ABAC上,AD2,则的面积的比为______

       

     

    1. 如图,直角三角形纸片ABCAC边的长为10cm,现从下往上依次裁剪宽为4cm的矩形纸条,若剪得的第二张矩形纸条恰好是正方形,那么BC的长度是          cm
    2. 如图,在等边三角形ABC中,点DE分别在BCAC边上,且________

       

     

     

    三、解答题(本大题共9小题,共72.0分)

    1. 如图将矩形ABCD沿CM折叠,使点D落在AB边上的点E处,
      求证:
      ,求ABBC的数量关系.


       

     








     

    1. 如图,ACBD交于点E,且
      CD的长;
      求证:

       

     








     

    1. 已知菱形的一个角与三角形的一个角重合,然后它的对角顶点在这个重合角的对边上,这个菱形称为这个三角形的亲密菱形,如图,在中,,以点C为圆心,以任意长为半径作AD,再分别以点A和点D为圆心,大于长为半径作弧,交EF于点B
      求证:四边形ACDB的亲密菱形;
      求四边形ACDB的面积.






       
    2. 如图,二次函数的图象与x轴交于点,与y轴交于点C,抛物线的顶点为D,其对称轴与线段BC交于点E,垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F,动直线l在抛物线的对称轴的右侧不含对称轴沿x轴正方向移动到B点。
      求出二次函数BC所在直线的表达式;
      在动直线l移动的过程中,试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标;
      连接CPCD,在动直线l移动的过程中,抛物线上是否存在点P,使得以点PCF为顶点的三角形与相似?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由。






       
    3. 如图,在中,DAC延长线上一点,,过D,交BC的延长线于点H

      求证:
      DH长度.






       
    4. 如图,将矩形ABCD沿EF折叠,使顶点C恰好落在AB边的处,点D落在点处,交线段AE于点G

    求证:

    AB的中点,,求AG的长.






     

    1. 如图,正方形ABCD中,点EF分别为ABAD的中点,以AEAF为边作正方形AEGF
      在图1中,线段DFCG之间的数量关系是______DFCG所在直线所夹锐角的度数为______
      在图2中,将正方形AEGF绕点A顺时针旋转一定角度旋转角小于后,得到正方形,连接,则线段之间的数量关系及所夹锐角的度数是否仍然成立,请说明理由.









     

    1. 如图,正方形ABCD在边长为5cm,用一块三角板,使它的一直角边始终经过点A,直角顶点EBC上移动,另一直角边交CD于点F,如果试用x的代数式表示不需要写出x的范围









     

    1. 中,E是线段BC的中点,D在边AC上,线段BDAE交于点F
      如图1时,求的值;
      如图2时,求的正切值.










    答案和解析

    1.【答案】D
     

    【解析】

    【分析】考查了相似三角形的判定与性质,注意利用相似三角形的知识解题时,一定要找准对应边由已知条件判定,结合该相似三角形的对应边成比例解答.

    【解答】

    解:

    ADBC边上的中线,


    故选D

      

    2.【答案】C
     

    【解析】

    【分析】
    本题考查平行四边形的性质、相似三角形的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方即可解决问题.
    【解答】
    解:四边形ABCD是平行四边形,


    3



    故选:C  

    3.【答案】B
     

    【解析】解:如图,
    中,点DE分别是ABAC的中点,
    ,且

    的面积:的面积4
    的面积:四边形BDEC的面积3
    的面积是
    四边形BDEC的面积是
    故选:B
    DE都是中点,可得DE的中位线,则,则,且相似比是12,则的面积和的面积比是14,则的面积:四边形BDEC的面积3,结合已知条件,可得结论.
    本题主要考查三角形中位线的性质与判定,相似三角形的性质与判定,结合背景图形,找到已知和所求面积的关系是解题关键.
     

    4.【答案】B
     

    【解析】解:



    解得:
    故选:B
    由平行线得出,得出对应边成比例,即可得出结果.
    本题考查了相似三角形的判定与性质;证明三角形相似得出对应边成比例是解题的关键.
     

    5.【答案】C
     

    【解析】

    【分析】
    本题考查相似三角形,解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定,本题属于中等题型.
    ,所以,易证,利用相似三角形的性质可求出DE的长度,以及,再证明,利用相似三角形的性质即可求出得出,从而可求出CD的长度.
    【解答】
    解:设

















    故选:C  

    6.【答案】A
     

    【解析】

    【分析】
    本题考查的是旋转的性质,相似三角形的判定与性质,角平分线的定义等有关知识由已知条件得到,由于,得到,根据相似三角形的性质得到,从而根据三角形内角和定理得出,即可得到结论.
    【解答】
    解:

    P的平分线上一点,





    故选A  

    7.【答案】A
     

    【解析】解:延长CEBA交于P











    8
    故选:A
    延长CEBA交于P,证明,可得,进而可以求证,可得出结论.
    本题考查了全等三角形的判定与性质,正方形的性质,相似三角形的判定与性质,正确作出辅助线是解题的关键.
     

    8.【答案】B
     

    【解析】解:
    2

    2
    5
    5

    5
    解得
    故选:B
    运用,可得出ADAE的值,由,求出CEAE,可得出AEACDEBC,利用,即可求出DE的长.
    本题主要考查了相似三角形的判定与性质,解题的关键是求出DEBC
     

    9.【答案】C
     

    【解析】

    【分析】
    本题考查了相似三角形的判定和相似三角形的性质,对应边的比不要搞错.根据三角形的对应边成比例,找出对应边比则可.注意:对应角所对的边是对应边.
    【解答】
    解:


    OC
    其它三项均不正确.
    故选C  

    10.【答案】B
     

    【解析】解:

    ,故A错误;
    ,故B正确;
    ,故C错误;
    ,故D错误;
    故选:B
    由相似三角形的判定,可得;又由相似三角形的对应边成比例与平行线分线段成比例定理,可得B正确.
    本题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题;解题的关键是找准对应线段,准确列出比例式,科学推理论证.
     

    11.【答案】D
     

    【解析】

    【分析】
    本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线,利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键.
    根据正方形的性质可得出,进而可得出,根据相似三角形的性质可得出,结合可求出AFAG的长度,由可得出CG的中位线,再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度,此题得解.
    【解答】
    解:四边形ABCD为正方形,






    的中位线,

    故选D  

    12.【答案】D
     

    【解析】

    【分析】
    此题考查的是相似三角形的判定及性质,掌握相似三角形的判定及性质是解题关键.根据相似三角形的判定可得,列出比例式即可得出结论.
    【解答】
    解:


    ADAB5,故D正确;
    无法判断ADDEADAE的值,故AC不一定正确;
    ADBD2,故B错误.
    故选:D  

    13.【答案】1
     

    【解析】

    【分析】
    本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型.过点C,垂足为点M,判断是等腰三角形,要分类讨论,,根据相似三角形的性质进行求解.
    【解答】
    解:时,过点C,垂足为点M

    延长CMAD于点G


    四边形AECG是平行四边形,

    时,是等腰三角形.
    时,则




    时,是等腰三角形;
    时,则点FCD的垂直平分线上,故FAE中点.







    解得:舍弃
    时,是等腰三角形.
    综上,当时,是等腰三角形.
    故答案为:1  

    14.【答案】19
     

    【解析】解:

    2
    3
    9
    故答案为:19
    根据得到,再结合相似比是AD3,因而面积的比是19,问题得解.
    本题考查的是相似三角形的判定与性质,熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键.
     

    15.【答案】20
     

    【解析】

    【分析】
    本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及正方形的性质,根据矩形的性质结合相似三角形的判定定理找出是解题的关键.根据矩形的性质,可知:,进而可得出,根据相似三角形的性质即可求出BC的长度.
    【解答】
    解:剪得的第二张矩形纸条恰好是正方形,如图所示.

    根据矩形的性质,可知
      

     
    故答案为20  

    16.【答案】
     

    【解析】

    【分析】
    此题考查了相似三角形的判定与性质,解答本题的关键是利用三角形外角的性质得出,另外要熟练掌握相似三角形的对应边成比例.由,可证得;根据题意表示出DC的长,进而根据相似三角形的对应边成比例,求得EC的长.
    【解答】
    解:






    解得:
    故答案为  

    17.【答案】解:将矩形ABCD沿CM折叠,使点D落在AB边上的点E处,


    矩形ABCD











    由折叠可知:


    中,



     

    【解析】根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明.
    利用相似三角形的性质证明即可解决问题.
    本题考查翻折变换,相似三角形的判定和性质,矩形的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
     

    18.【答案】解:





    证明:




     

    【解析】根据相似三角形的判定和性质解答即可;
    利用相似三角形的判定解答即可.
    此题考查相似三角形的判定和性质,关键是根据相似三角形的判定证明
     

    19.【答案】证明:由已知得:
    由已知尺规作图痕迹得:BC的角平分线,







    四边形ACDB是菱形,
    中的重合,它的对角顶点在EF上,
    四边形ACDB的亲密菱形;

    解:设菱形ACDB的边长为x
    四边形ACDB是菱形,





    解得:
    A点作H点,

    中,

    四边形ACDB的面积为:
     

    【解析】根据折叠和已知得出,求出,根据菱形的判定得出即可;
    根据相似三角形的性质得出比例式,求出菱形的边长和高,根据菱形的面积公式求出即可.
    本题考查了菱形的性质和判定,解直角三角形,相似三角形的性质和判定等知识点,能求出四边形ACDB是菱形是解此题的关键.
     

    20.【答案】解:将点,代入
    得:
    解得:
    二次函数的表达式为:
    时,

    BC所在直线的表达式为:
    代入
    得:
    解得:
    所在直线的表达式为:
    轴,

    只要,四边形DEFP即为平行四边形

    D的坐标为
    代入,即
    E的坐标为

    设点P的横坐标为t


    得:
    解得:不合题意舍去
    时,
    P的坐标为
    存在,理由如下:
    如图2所示,由得:

    有共同的顶点C,且的内部

    只有时,



    得:F的坐标为




    解得
    时,
    P的坐标为
     

    【解析】由题意得出方程组,求出二次函数的解析式为,则,由待定系数法求出BC所在直线的表达式即可;
    ,只要,四边形DEFP即为平行四边形,由二次函数解析式求出点D的坐标,由直线BC的解析式求出点E的坐标,则,设点P的横坐标为t,则P的坐标为:F的坐标为:,由得出方程,解方程进而得出答案;
    由平行线的性质得出,当时,,则,得出方程,解方程即可。
     

    21.【答案】证明:
















     

    【解析】本题考查了平行线的性质,相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例的性质,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.
    先利用平行线的性质可得,再根据等量代换可得,然后利用相似三角形的判定定理即可得出结论;
    先利用平行线分线段成比例的性质可得,再根据已知条件可得,然后利用相似三角形的性质可得出结论.
     

    22.【答案】证明:由题意可知

    解:AB的中点,

    由勾股定理得,解得

    ,即


     

    【解析】

    【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、翻折变化,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用三角形的相似和勾股定理解答.
    根据题意和图形可以找出的条件,从而可以解答本题;
    根据勾股定理和中的结论可以求得AG的长.  

    23.【答案】 
     

    【解析】解:延长EGDC于点H,连结AG

    四边形ABCD为正方形,四边形AEGF为正方形,

    四边形FDHG是矩形,

    EF分别为ABAD的中点,

    为等腰直角三角形,
    ,则在中,

    四边形AEGF为正方形,AG为四边形AEGF的对角线,

    和正方形ABCD的对角线AC在同一条直线上,
    为正方形ABCD对角线,
    ,即DFCG夹角为
    故答案为:
    所在直线所夹锐角的度数为,结论仍然成立.
    理由:如图,连接AC,延长AC于点K,交的延长线于点H

    在正方形ABCD中,
    在正方形中,

    ,即



    中,,在中,


    所在直线所夹锐角的度数为
    延长EGDC于点H,连结AG,证明为等腰直角三角形,设,由勾股定理得出,由正方形的性质求出DFCG所在直线所夹锐角的度数,则可得出答案;
    连接AC,延长AC于点K,交的延长线于点证明由相似三角形的性质得出,求出则可得出答案.
    本题考查了正方形的性质,等腰三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,证明是解题的关键.
     

    24.【答案】解:





    ,即

     

    【解析】易证,由相似三角形的对应边成比例可以得出关于xy的函数关系式:,即
    本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质.根据相似三角形得出线段的比例关系是解题的关键.
     

    25.【答案】解:
    AC的中点,

    的中位线,


    P




    ,则







    中,
     

    【解析】根据题意可以求得EFAF的值,即可解题;
    P,可分别求得的值,即可计算的正切值.
    本题考查了相似三角形的判定,考查了相似三角形对应边比值相等的性质.
     

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