初中数学北师大版九年级上册5 相似三角形判定定理的证明优秀精练
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4.5相似三角形判定定理的证明同步练习北师大版初中数学九年级上册
一、选择题(本大题共12小题,共36.0分)
- 如图,AD是中BC边上的中线,当,时,BC的长为
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
- 如图,四边形ABCD为平行四边形,E,F为CD边的两个三等分点,连接AF,BE交于点G,则
A. B. C. D.
- 在中,点D,E分别是AB,AC的中点,若的面积是,则四边形BDEC的面积为
A. B. C. D.
- 如图,在中,D,E分别是AB,AC边上的点,,若,,,则BC等于
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
- 如图,在中,点D,E分别在AB,AC边上,,,若,,则线段CD的长为
A.
B.
C.
D. 5
- 如图,点P为的平分线上一点,的两边分别与射线OM,ON交于A,B两点,绕点P旋转时始终满足,若,则的度数为
A. B. C. D.
- 如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,CD的中点,CE,BF交于点G,连接AG,则
A.
B.
C.
D.
- 如图,在中,点分别在上,,若,则DE的长为
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
- 如图,,AD与BC相交于点O,那么在下列比例式中,正确的是
A.
B.
C.
D.
- 如图,已知D是AB上一点,如果,,点E,F分别在AC,BC上,那么下列比例式中正确的是
A.
B.
C.
D.
- 如图所示,在正方形ABCD中,G为CD边中点,连接AG并延长交BC边的延长线于E点,对角线BD交AG于F点.已知,则线段AE的长度为
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
- 如图,中,,且,则下列结论一定正确的是
A.
B.
C.
D.
二、填空题(本大题共4小题,共12.0分)
- 如图,在矩形ABCD中,,E是BC边上的一个动点,连接AE,过点D作于F,连接CF,当为等腰三角形时,则BE的长是________________.
|
- 如图,中,点D、E分別在AB、AC上,,AD::2,则与的面积的比为______.
|
- 如图,直角三角形纸片ABC中AC边的长为10cm,现从下往上依次裁剪宽为4cm的矩形纸条,若剪得的第二张矩形纸条恰好是正方形,那么BC的长度是 cm.
- 如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在BC,AC边上,且,,则________.
|
三、解答题(本大题共9小题,共72.0分)
- 如图将矩形ABCD沿CM折叠,使点D落在AB边上的点E处,
求证:∽.
若∽,求AB与BC的数量关系.
|
- 如图,,AC与BD交于点E,且,,.
求CD的长;
求证:∽.
|
- 已知菱形的一个角与三角形的一个角重合,然后它的对角顶点在这个重合角的对边上,这个菱形称为这个三角形的亲密菱形,如图,在中,,,,以点C为圆心,以任意长为半径作AD,再分别以点A和点D为圆心,大于长为半径作弧,交EF于点B,.
求证:四边形ACDB为的亲密菱形;
求四边形ACDB的面积.
- 如图,二次函数的图象与x轴交于点,,与y轴交于点C,抛物线的顶点为D,其对称轴与线段BC交于点E,垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F,动直线l在抛物线的对称轴的右侧不含对称轴沿x轴正方向移动到B点。
求出二次函数和BC所在直线的表达式;
在动直线l移动的过程中,试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标;
连接CP,CD,在动直线l移动的过程中,抛物线上是否存在点P,使得以点P,C,F为顶点的三角形与相似?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由。
- 如图,在中,,D为AC延长线上一点,,,过D作,交BC的延长线于点H.
求证:∽.
求DH长度.
- 如图,将矩形ABCD沿EF折叠,使顶点C恰好落在AB边的处,点D落在点处,交线段AE于点G.
求证:
若是AB的中点,,,求AG的长.
- 如图,正方形ABCD中,点E,F分别为AB,AD的中点,以AE,AF为边作正方形AEGF.
在图1中,线段DF与CG之间的数量关系是______,DF与CG所在直线所夹锐角的度数为______;
在图2中,将正方形AEGF绕点A顺时针旋转一定角度旋转角小于后,得到正方形,连接,,则线段与之间的数量关系及与所夹锐角的度数是否仍然成立,请说明理由.
- 如图,正方形ABCD在边长为5cm,用一块三角板,使它的一直角边始终经过点A,直角顶点E在BC上移动,另一直角边交CD于点F,如果,试用x的代数式表示不需要写出x的范围
- 在中,,,E是线段BC的中点,D在边AC上,线段BD和AE交于点F.
如图1,时,求的值;
如图2,时,求的正切值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】考查了相似三角形的判定与性质,注意利用相似三角形的知识解题时,一定要找准对应边角由已知条件判定∽,结合该相似三角形的对应边成比例解答.
【解答】
解:,,
∽,
.
又AD是中BC边上的中线,
.
即.
,
.
故选D.
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查平行四边形的性质、相似三角形的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方即可解决问题.
【解答】
解:四边形ABCD是平行四边形,
,,
,
::3,
,
∽,
,
故选:C.
3.【答案】B
【解析】解:如图,
在中,点D、E分别是AB、AC的中点,
,且,
∽,
的面积:的面积:4,
的面积:四边形BDEC的面积:3,
的面积是,
四边形BDEC的面积是,
故选:B.
由D,E都是中点,可得DE是的中位线,则,则∽,且相似比是1:2,则的面积和的面积比是1:4,则的面积:四边形BDEC的面积:3,结合已知条件,可得结论.
本题主要考查三角形中位线的性质与判定,相似三角形的性质与判定,结合背景图形,找到已知和所求面积的关系是解题关键.
4.【答案】B
【解析】解:,
∽,
,
即,
解得:,
故选:B.
由平行线得出∽,得出对应边成比例,即可得出结果.
本题考查了相似三角形的判定与性质;证明三角形相似得出对应边成比例是解题的关键.
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查相似三角形,解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定,本题属于中等题型.
设,,所以,易证∽,利用相似三角形的性质可求出DE的长度,以及,再证明∽,利用相似三角形的性质即可求出得出,从而可求出CD的长度.
【解答】
解:设,,
,
,
∽,
,
,
,,
,
,
,
,
∽,
,
设,,
,
,
,
,
故选:C.
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查的是旋转的性质,相似三角形的判定与性质,角平分线的定义等有关知识由已知条件得到,由于,得到∽,根据相似三角形的性质得到,从而根据三角形内角和定理得出,即可得到结论.
【解答】
解:,
,
点P为的平分线上一点,,
,
∽,
,
,
.
故选A.
7.【答案】A
【解析】解:延长CE、BA交于P,
在和中
,
≌,
,
,
.
,
∽,
,
,
::8.
故选:A.
延长CE、BA交于P,证明≌,可得,进而可以求证∽,可得出结论.
本题考查了全等三角形的判定与性质,正方形的性质,相似三角形的判定与性质,正确作出辅助线是解题的关键.
8.【答案】B
【解析】解:,
:::2,
.
::2,
::5,
::5,
,
::5,
解得.
故选:B.
运用,可得出AD:AE的值,由,求出CE:AE,可得出AE:AC即DE:BC,利用,即可求出DE的长.
本题主要考查了相似三角形的判定与性质,解题的关键是求出DE:BC.
9.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定和相似三角形的性质,对应边的比不要搞错.根据三角形的对应边成比例,找出对应边比则可.注意:对应角所对的边是对应边.
【解答】
解:,
,,,
∽,
::OC,
其它三项均不正确.
故选C.
10.【答案】B
【解析】解:,,
∽,∽,
,故A错误;
,故B正确;
,,故C错误;
,故D错误;
故选:B.
由相似三角形的判定,可得∽,∽;又由相似三角形的对应边成比例与平行线分线段成比例定理,可得B正确.
本题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题;解题的关键是找准对应线段,准确列出比例式,科学推理论证.
11.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线,利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键.
根据正方形的性质可得出,进而可得出∽,根据相似三角形的性质可得出,结合可求出AF、AG的长度,由、可得出CG为的中位线,再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度,此题得解.
【解答】
解:四边形ABCD为正方形,
,,
,,
∽,,
,.
,,
为的中位线,
.
故选D.
12.【答案】D
【解析】
【分析】
此题考查的是相似三角形的判定及性质,掌握相似三角形的判定及性质是解题关键.根据相似三角形的判定可得∽,列出比例式即可得出结论.
【解答】
解:,
∽,
,
AD:AB:5,故D正确;
无法判断AD:DE和AD:AE的值,故A、C不一定正确;
AD:BD:2,故B错误.
故选:D.
13.【答案】1或或
【解析】
【分析】
本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型.过点C作,垂足为点M,判断是等腰三角形,要分类讨论,;;,根据相似三角形的性质进行求解.
【解答】
解:时,过点C作,垂足为点M,
则,,
延长CM交AD于点G,
,
,,
四边形AECG是平行四边形,
,
当时,是等腰三角形.
时,则,
,,
,
则
当时,是等腰三角形;
时,则点F在CD的垂直平分线上,故F为AE中点.
,,
,
,
∽,
,
,
,
解得:或舍弃,
当时,是等腰三角形.
综上,当、、时,是等腰三角形.
故答案为:1或或.
14.【答案】1:9
【解析】解:,
∽,
::2,
::3,
::9.
故答案为:1:9.
根据得到∽,再结合相似比是AD::3,因而面积的比是1:9,问题得解.
本题考查的是相似三角形的判定与性质,熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键.
15.【答案】20
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及正方形的性质,根据矩形的性质结合相似三角形的判定定理找出∽是解题的关键.根据矩形的性质,可知:,进而可得出∽,根据相似三角形的性质即可求出BC的长度.
【解答】
解:剪得的第二张矩形纸条恰好是正方形,如图所示.
根据矩形的性质,可知,
∽,
,
.
故答案为20.
16.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了相似三角形的判定与性质,解答本题的关键是利用三角形外角的性质得出,另外要熟练掌握相似三角形的对应边成比例.由,可证得∽;根据题意表示出DC的长,进而根据相似三角形的对应边成比例,求得EC的长.
【解答】
解:,,,
,
,
又,
∽,
,
即,
解得:.
故答案为.
17.【答案】解:将矩形ABCD沿CM折叠,使点D落在AB边上的点E处,
,
,
矩形ABCD,
,
,
,
又,
∽.
∽,
,
∽,
,
由折叠可知:≌,
,,
即,
在中,,
,
,
【解析】根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明.
利用相似三角形的性质证明即可解决问题.
本题考查翻折变换,相似三角形的判定和性质,矩形的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
18.【答案】解:,
;
,
∽;
,
;
证明:
,,
,
,
∽.
【解析】根据相似三角形的判定和性质解答即可;
利用相似三角形的判定解答即可.
此题考查相似三角形的判定和性质,关键是根据相似三角形的判定证明∽.
19.【答案】证明:由已知得:,,
由已知尺规作图痕迹得:BC是的角平分线,
,
又,
,
,
,
又,,
,
四边形ACDB是菱形,
与中的重合,它的对角顶点在EF上,
四边形ACDB为的亲密菱形;
解:设菱形ACDB的边长为x,
四边形ACDB是菱形,
,
,,
∽
,
即,
解得:,
过A点作于H点,
在中,,,,
,
四边形ACDB的面积为:.
【解析】根据折叠和已知得出,,,求出,根据菱形的判定得出即可;
根据相似三角形的性质得出比例式,求出菱形的边长和高,根据菱形的面积公式求出即可.
本题考查了菱形的性质和判定,解直角三角形,相似三角形的性质和判定等知识点,能求出四边形ACDB是菱形是解此题的关键.
20.【答案】解:将点,,代入
得:
解得:
二次函数的表达式为:
当时,
设BC所在直线的表达式为:
将、代入
得:
解得:
所在直线的表达式为:
轴,轴
只要,四边形DEFP即为平行四边形
点D的坐标为
将代入,即
点E的坐标为
设点P的横坐标为t
则,
由得:
解得:不合题意舍去,
当时,
点P的坐标为
存在,理由如下:
如图2所示,由得:
又与有共同的顶点C,且在的内部
只有时,∽
、
由得:,,F的坐标为
解得
当时,
点P的坐标为。
【解析】由题意得出方程组,求出二次函数的解析式为,则,由待定系数法求出BC所在直线的表达式即可;
证,只要,四边形DEFP即为平行四边形,由二次函数解析式求出点D的坐标,由直线BC的解析式求出点E的坐标,则,设点P的横坐标为t,则P的坐标为:,F的坐标为:,由得出方程,解方程进而得出答案;
由平行线的性质得出,当时,∽,则,得出方程,解方程即可。
21.【答案】证明:,
,
,
,
,
∽;
,
,
,
,
,
,
,
∽,
,
,
.
【解析】本题考查了平行线的性质,相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例的性质,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.
先利用平行线的性质可得,再根据等量代换可得,然后利用相似三角形的判定定理即可得出结论;
先利用平行线分线段成比例的性质可得,再根据已知条件可得,然后利用相似三角形的性质可得出结论.
22.【答案】证明:由题意可知,
,,
,.
解:是AB的中点,,.
由勾股定理得,解得.
由得,
,即,.
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、翻折变化,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用三角形的相似和勾股定理解答.
根据题意和图形可以找出∽的条件,从而可以解答本题;
根据勾股定理和中的结论可以求得AG的长.
23.【答案】
【解析】解:延长EG交DC于点H,连结AG,
四边形ABCD为正方形,四边形AEGF为正方形,
,,,
四边形FDHG是矩形,
,
点E,F分别为AB,AD的中点,
,
为等腰直角三角形,
设,则在中,,
,
四边形AEGF为正方形,AG为四边形AEGF的对角线,
,
和正方形ABCD的对角线AC在同一条直线上,
为正方形ABCD对角线,
,即DF与CG夹角为,
故答案为:,;
,与所在直线所夹锐角的度数为,结论仍然成立.
理由:如图,连接AC,,延长交AC于点K,交的延长线于点H.
在正方形ABCD中,,,
在正方形中,,.
.
,即,
∽.
,.
.
在中,,在中,,
,
.
与所在直线所夹锐角的度数为.
延长EG交DC于点H,连结AG,证明为等腰直角三角形,设,由勾股定理得出,由正方形的性质求出DF与CG所在直线所夹锐角的度数,则可得出答案;
连接AC,,延长交AC于点K,交的延长线于点证明∽由相似三角形的性质得出,求出则可得出答案.
本题考查了正方形的性质,等腰三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,证明∽是解题的关键.
24.【答案】解:,
;
又,
∽,
;
而,,
,即
.
【解析】易证∽,由相似三角形的对应边成比例可以得出关于x、y的函数关系式:,即.
本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质.根据相似三角形得出线段的比例关系是解题的关键.
25.【答案】解:,
是AC的中点,
是的中位线,,
,
;
作,于P,
,
,
,
设,则,
,
,
,∽,
,
,
,,
,
在中,.
【解析】根据题意可以求得EF:AF的值,即可解题;
作,于P,可分别求得的值,即可计算的正切值.
本题考查了相似三角形的判定,考查了相似三角形对应边比值相等的性质.
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