数学九年级上册7 相似三角形的性质优秀练习

4.7相似三角形的性质同步练习北师大版初中数学九年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 已知∽，且，，分别为AB，DE边上的高，则   

A. 2 B.  C. 3 D.

2. 若∽，且对应中线比为，则与的周长比为   

A.  B.  C.  D.

3. 如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，∽，，，，则EF的长是

A. 3 B. 5 C.  D.

4. 如图，在等腰三角形ABC中，，图中所有的三角形均相似，其中最小的三角形的面积为1，的面积为42，则四边形DBCE的面积为   

A. 20
B. 22
C. 24
D. 26

5. 如图，已知∽，，则下列等式一定成立的是   

A.  B.
C.  D.

6. 下列说法中不正确的是

A. 相似多边形对应边的比等于相似比
B. 相似多边形对应角平分线的比等于相似比
C. 相似多边形周长的比等于相似比
D. 相似多边形面积的比等于相似比

7. 如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则与的面积比为

A.
B.
C.
D.

8. 如图，∽，AD和分别是和的高，若，，则与的面积的比为

A. 4：9 B. 9：4 C. 2：3 D. 3：2

9. 已知与相似且对应周长的比为2：3，则与的面积比为

A. 2：3 B. 16：81 C. 9：4 D. 4：9

10. 如图，点D、E分别在的两边BA、CA的延长线上，下列条件能判定的是

A.
B.
C.
D.
 

11. 如图，已知∽，且，则AD：

A. AE：AC
B. DE：BC
C. AE：BC
D. DE：AB

12. 如图，在正方形网格上有两个相似三角形和，则的度数为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 四边形ABCD∽四边形，他们的面积比为，四边形ABCD的周长是24，则四边形的周长为          ．
14. 如图，在矩形ABCD中，，，连接AC，以对一角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形，再连接，以对角线为边作矩形的相似矩形，按此规律继续下去，则矩形的面积为          ．

15. 的三边长分别为5，12，13，与它相似的的最小边长为15，则的周长为______，面积为______．
16. 若两个相似三角形的面积比是9：25，则对应边上的中线的比为______．

三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）

17. 设四边形ABCD与四边形是相似的图形，且A与、B与、C与是对应点，已知，，，，，求四边形的周长．
    
    
    
    
    
    
     
18. 在中，，P是线段AC的中点．
    如图，当，且点M，N分别在线段AB，BC上时，，写出线段PM与PN的比值，并给予证明；
    如图，当，且点M，N分别在线段AB，BC的延长线上时，，线段PM与PN的比值等于______．

19. 如图，矩形ABCD中，，，E是边CD的中点，连接AE，过B作交AE于点F，求BF的长．
    
     

20. 两个相似多边形的最长边分别为6cm和8cm，它们的周长之和为56cm，面积之差为，求较小相似多边形的周长与面积．
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共5小题，共40.0分）

21. 如图，在钝角三角形ABC中，，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止，点D运动的速度为，点E运动的速度为，如果两点同时开始运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是多少秒？

22. 如图，在菱形ABCD中，点M，N分别是边BC，DC上的点，，连接AM，AN，延长AN交线段BC延长线于点E．
    求证：≌；
    若，则ME的长是______．

23. 如图，AD，BE是的两条高．
     

求证：．

若，，求的值．






 

24. 如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，与BD相交于点G，与AD相交于点F，．
    求证：；
    若，求AE的长；
    如图2，连接AG，求证：．

25. 如图，某校计划对一块形状为锐角三角形的空地进行生态环境改造已知的边BC为120米，高AD为80米，学校计划将它分割成，，和矩形EFGH四部分，其中矩形EFGH的一边EF在边BC上，两个顶点H，G分别在边AB，AC上现计划在上种草，在，上种花，在矩形EFGH上建喷泉当FG为多少米时，种草的面积与种花的面积相等并求出此面积．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】略
 

2.【答案】B
 

【解析】略
 

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题主要考查相似三角形的性质，勾股定理，由∽，，，，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得DF的长，然后利用勾股定理，求得EF的长．
【解答】
解：∽，
：：DF，
，，，
：：DF，
解得：，
四边形ABCD是矩形，
，

故选C．  

4.【答案】D
 

【解析】如图所示，
 

根据题意得∽，

，

设，则，

，解得．

．

四边形DBCE的面积为．

易错警示：本题易忽略相似三角形性质的适用条件而致错．

5.【答案】D
 

【解析】略
 

6.【答案】D
 

【解析】解：若两个多边形相似可知：相似多边形对应边的比等于相似比；
相似多边形对应角平分线的比等于相似比
相似多边形周长的比等于相似比，
对应面积的比等于相似比的平方，
故选：D．
根据相似多边形的性质判断即可．
本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形对应边的比相等、应面积的比等于相似比的平方．
 

7.【答案】C
 

【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，
，，
∽，
与的面积比，
故选：C．
根据平行四边形的性质得到，根据相似三角形的判定定理得到∽，根据相似三角形的性质计算．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
 

8.【答案】A
 

【解析】解：∽，AD和分别是和的高，，，
，
与的面积的比，
故选：A．
根据相似三角形对应高的比等于相似比求出相似比，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．
本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
 

9.【答案】D
 

【解析】解：与相似且对应周长的比为2：3，
两三角形的相似比等于2：3，
：：9．
故选：D．
直接根据相似三角形对应周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行解答．
本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形对应周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
 

10.【答案】D
 

【解析】

【分析】
根据平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理判断即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理，掌握相关的判定定理是解题的关键．
【解答】
解：，
当，
即，
，
故选：D．  

11.【答案】B
 

【解析】解：∽，，
：：BC．
故选：B．
已知了∽，且和是对应角，因此AD、AC与AE、AB对应成比例．
本题主要考查了相似三角形的性质，找准相似三角形的对应边是解题的关键．
 

12.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查相似三角形的性质．由图可得和，再根据相似三角形的性质得，再由网格求出的度数即可．
【解答】
解：易知，
，
又，
，
故选D．  

13.【答案】16
 

【解析】略
 

14.【答案】
 

【解析】略
 

15.【答案】90；270
 

【解析】解：，
是直角三角形，
周长，
面积，
与相似的的最小边长为15，
与的相似比为，
的周长，
面积．
故答案为：90；270．
先求出相似比以及的面积，再根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．
本题考查对相似三角形性质的理解．相似三角形周长的比等于相似比．相似三角形面积的比等于相似比的平方．相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
 

16.【答案】3：5
 

【解析】【试题解析】

解：两个相似三角形的面积比是9：25，
两个相似三角形的相似比是3：5，
对应边上的中线的比为3：5，
故答案为：3：5．
根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形的性质求出答案．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．

17.【答案】解：四边形ABCD与四边形是相似的图形

又，，，，

，，
四边形的周长．
 

【解析】四边形ABCD与四边形是相似的图形，则根据相似多边形对应边的比相等，就可求得的其它边的长，就可求得周长．
本题考查相似多边形的性质，相似多边形对应边之比相等．
 

18.【答案】
 

【解析】解：．
证明：如图1，过点P作于点E，于点F，

，
，，
四边形PEBF是矩形，
，
是AC的中点，
，F分别是线段AB，BC的中点，
，，
，

，，
，
∽，
，
如图2，过点P作于点D，于点Q，

则四边形PDBQ是矩形，
，
，
，，
，
，
∽，
，
，
．
故答案为：．
过点P作于点E， 于点F，得到四边形PEBF是矩形，根据矩形的性质得到，，根据三角形的中位线的性质得到，，证明∽，根据相似三角形的性质即可得到结论；
过点P作于点D，于点Q，由和可以得到，，进而得到，得到，证明∽，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了矩形的判定和性质，三角形的中位线的性质，相似三角形的判定和性质以及锐角三角函数的定义等知识，正确作出辅助线，构造相似三角形是解题的关键．
 

19.【答案】解：在矩形ABCD中，，，，
是边CD的中点，
，
，
，
，
，
∽，
，
即，
．
 

【解析】根据矩形的性质得到，，，求得，根据勾股定理得到，证明∽，列比例式即可解得答案．
本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：设较小相似多边形的周长为x，面积为y，则较大相似多边形的周长为，面积，
根据题意得，，
解得，，
所以较小相似多边形的周长为24cm，面积为．
 

【解析】设较小相似多边形的周长为x，面积为y，则较大相似多边形的周长为，面积，根据相似多边形的性质得到，，然后利用比例的性质求解即可．
本题考查了相似多边形的性质：对应角相等；对应边的比相等；两个相似多边形周长的比等于相似比；两个相似多边形面积的比等于相似比的平方．
 

21.【答案】解：当运动的时间是t秒时，以点A、E、D为顶点的三角形与相似，
当时，，；
当时，，；
综上所述，当t为3秒或秒时，
以点A、D、E为顶点的三角形与相似．
 

【解析】根据题意，可分为、两种情况来研究，列出关系式，代入数据可得答案．
本题考查的是相似三角形的性质，解答此类题目要根据实际问题具体分析，锻炼了学生从多个角度思考问题的能力．
 

22.【答案】证：四边形ABCD为菱形，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，

 

【解析】解：见答案
四边形ABCD为菱形，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据菱形的性质可得，，根据，，可得，利用SAS即可证明；
根据菱形的性质可证明∽，根据相似的性质可求得CE的长度，进而可求ME．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定和性质，通过菱形的性质得到∽是关键．
 

23.【答案】解：证明：，BE是的两条高，
．
又
∽．
．
即．

由知，．
变形得．
又，
∽．
．

【解析】见答案
 

24.【答案】证明：四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，
，
又，，
，
，
，
即，
故BD，
解：四边形ABCD是矩形，
，
∽，
，
即，
设，则有，化简得，
解得或舍去，
．
如图，在线段EG上取点P，使得，

在与中，，，，
，
，，
，
为等腰直角三角形，
．
 

【解析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

证明，得出，证得，则结论得出；
证明∽，得出，即，设，则有，化简得，解方程即可得出答案；
在线段EG上取点P，使得，证明，得出，，证得为等腰直角三角形，可得出结论．

25.【答案】解：设米，则米．
∽．
．
米，米，
．
．
．
种草的面积与种花的面积相等，
，解得．
米，米．
平方米．
答：当FG为40米时，种花的面积和种草的面积相等，均为1200平方米．
 

【解析】见答案