初中数学北师大版九年级上册5 相似三角形判定定理的证明随堂练习题

*5　相似三角形判定定理的证明

　　　　　　　　　　 必备知识·基础练

(打“√”或“×”)

1．相似三角形判定定理的证明依据是相似三角形的定义和平行线分线段成比例定理．(　√　)

2．相似三角形判定定理的证明思路是作垂直，证明三角形相似．(　×　)

3．证明命题的步骤：①根据文字命题画图；②根据图形和文字命题写出已知和求证；③写出证明过程．(　√　)

知识点　相似三角形的判定定理

1．下列条件中可以判定△ABC∽△A′B′C′的是(　C　)

A．＝

B．＝，∠B＝∠B′

C．＝，∠A＝∠A′

D．＝

【解析】A，D中只有对应边成比例，夹角相等不确定，A，D错；B中∠B不是AB，AC的夹角，所以B错；C中对应边成比例，且夹角相等，所以C可判定其相似，C正确．

2．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为点B，D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为点F.则下列结论错误的是(　A　)

A．＝    B．＝

C．＝    D．＝

【解析】∵AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD，

∴AB∥CD∥EF，

∴△ABE∽△DCE，

∴＝，故选项B正确，

∵EF∥AB，

∴＝，＝，

∴＝，故选项C，D正确．

3．(概念应用题)(2021·长沙期中)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中能判断△ABC∽△AED的是(　B　)

①∠AED＝∠B；②∠ADE＝∠C；③＝；

④＝.

A．①②       B．①②③

C．①②④      D．①②③④

【解析】∵∠A＝∠A，

∴∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C时，△ABC∽△AED.

∵＝，∴＝.

∵∠A＝∠A，

∴△ABC∽△AED，

故①②③可以判断三角形相似．

4．(2021·杭州期中)如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝a，AD＜BC，在边AB上取点P，使得△PAD，△PBC与△PDC两两相似，则AP长为__a__．(结果用含a的代数式表示)

【解析】如图，过点P作PT⊥CD于T.

∵△PAD，△PBC与△PDC两两相似，且AD＜BC，

∴∠ADP＝∠PDC，∠BCP＝∠PCD，

∵∠A＝∠PTD＝90°，∠B＝∠PTC＝90°，PD＝PD，PC＝PC，

∴△PDA≌△PDT，△PCB≌△PCT，

∴PA＝PT，PB＝PT，

∴PA＝PB＝AB＝a.

5．(2021·张家界期中)如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，连接AE，过顶点D作DF⊥AE，垂足为F，求证：△ABE∽△DFA.

【证明】∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠B＝90°，

∴∠DAE＝∠AEB，

又∵∠B＝∠DFA＝90°，

∴△ABE∽△DFA.

6．求证：三边成比例的两个三角形相似．

如图：已知在△ABC和△A′B′C′中，＝＝，求证：△ABC∽

△A′B′C′.

【证明】在线段AB(或它的延长线)上截取AD＝A′B′，过点D作DE∥BC，交AC于点E，

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴＝＝，

又＝＝，AD＝A′B′，

∴＝，＝，

∴DE＝B′C′，AE＝A′C′，

在△ADE和△A′B′C′中

∴△ADE≌△A′B′C′(SSS)，

∴△ABC∽△A′B′C′.

7．(2021·扬州质检)如图，在正方形ABCD中，点E在AD上，EF⊥BE交CD于点F.

(1)求证：△ABE∽△DEF；

(2)连接BF，若△ABE∽△EBF，试确定点E的位置并说明理由．

【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A＝∠D＝90°.∴∠AEB＋∠ABE＝90°.

∵EF⊥BE，

∴∠AEB＋∠DEF＝90°.∴∠ABE＝∠DEF.

在△ABE和△DEF中，∠ABE＝∠DEF，∠A＝∠D，∴△ABE∽△DEF；

(2)∵△ABE∽△DEF，∴＝.

∵△ABE∽△EBF，∴＝.∴＝.

∴DE＝AE.

∴点E为AD的中点．

关键能力·综合练

 1．如图，在5×6的方格纸中，画有格点△EFG，下列选项中的格点，与E，G两点构成的三角形中和△EFG相似的是(　D　)

A．点A    B．点B    C．点C    D．点D

【解析】观察图形可得△EFG中，直角边的比为＝，观察各选项，＝＝，只有D选项三角形与所给图形的三角形相似．

2．如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，小妍、小凤、小蕾、小强四位同学用无刻度的直尺在网格中各画了一个钝角三角形，其中会相似的三角形是(　D　)

A．①和②    B．②和③    C．①和③    D．①和④

【解析】根据题意可知：

小长方形的长是宽的2倍，

设小长方形的宽为a，则长为2a，大正方形的边长为4a，

∴图①中三角形的三条边的长度分别为：2a，＝2a，＝2a；图②中三角形的三条边的长度分别为：2a，a，5a；

图③中三角形的三条边的长度分别为：2a，2a，4a；

图④中三角形的三条边的长度分别为：a，a，5a；

∵＝＝＝，

∴四个三角形中是相似三角形的是图①与图④.

3．如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．

(1)填空：∠ABC＝________，BC＝________；

(2)判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．

【解析】(1)∠ABC＝90°＋45°＝135°，

BC＝＝2；

答案：135°　2

(2)△ABC∽△DEF.

证明：∵在4×4的正方形方格中，

∠ABC＝135°，∠DEF＝90°＋45°＝135°，

∴∠ABC＝∠DEF.

∵AB＝2，BC＝2，FE＝2，DE＝，

∴＝＝，＝＝.

∴△ABC∽△DEF.

4．(2021·大庆质检)如图，在△ABC和△ADE中，＝＝，点B，D，E在一条直线上，求证：△ABD∽△ACE.

【证明】∵在△ABC和△ADE中，＝＝，

∴△ABC∽△ADE，

∴∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAD＝∠CAE，

∵＝，

∴＝，

∴△ABD∽△ACE.

5．(素养提升题)(2021·泰安期中)从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．

(1)如图1，在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且AD＝CD，求∠ACB的度数．

(2)如图2，在△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，找出CD与BD的关系．

【解析】(1)∵AD＝CD，∴∠ACD＝∠A＝48°，

∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，

∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝96°.

(2)结论：CD＝BD.

∵△BCD∽△BAC，

∴＝，∴＝＝，∴CD＝BD.

易错点　对应关系不明确导致漏解．

【案例】(2021·邓州期中)在△ABC中，BC＝10 cm，AC＝6 cm，点P从点B出发，沿BC方向以2 cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，沿CA方向以1 cm/s的速度向点A移动，若P，Q同时出发，设运动时间为t s，则△CPQ能否与△CBA相似？若能，求t的值；若不能，请说明理由．

【解析】设运动时间为t s，则BP＝2t cm，CP＝(10－2t)cm，CQ＝t cm，

∵∠PCQ＝∠ACB＝90°，

∴当△CPQ和△CAB相似时，∠CPQ＝∠B或∠CPQ＝∠A，

当∠CPQ＝∠B时，＝，

∴＝，解得t＝.

当∠CPQ＝∠A时，＝，

∴＝，解得t＝.

综上所述，t的值为或.

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