高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换练习
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5.5三角恒等变换同步练习人教 A版（2019）高中数学必修一
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
- 若，，，，则
A. B. C. D.
- 若，则
A. B. C. D.
- 的内角A，B，C的对边分别为a，b，已知，，，则
A. B. C. D.
- 已知，则
A. B. C. D.
- 已知，则
A. B. C. D.
- 在中，若，则的形状一定是
A. 等边三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 不含角的等腰三角形
- 已知，则的值为
A. B. C. D.
A. B. C. D.
- 若点在角的终边上，则
A. B. C. D.
- 若，则
A. B. C. D.
- 若，的值为
A. B. C. D.
- 已知，是方程的两根，且，，则的值为
A. B. C. 或 D. 或
二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）
- 在锐角三角形ABC中，若，则tanAtanBtanC的最小值是 ．
- 已知，则的值是 ．
- 若，则的值为 ．
三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）
- 函数的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．
- 已知为第二象限角，且，则 ， ．
- 已知，则 ， ．
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
- 已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点
求的值；
若角满足，求的值．
- 已知，，且，．
求的值；
求的值．
- 设函数．
求的最小正周期和单调递增区间；
当时，求函数的最大值和最小值．
- 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点
求的值；
若函数，求函数在区间上的值域．
- 已知函数．
求的周期和单调区间；
若，，求的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了三角函数的恒等变换及化简求值．关键是根据，巧妙利用两角和公式进行求解．
先利用同角三角函数的基本关系分别求得和的值，进而利用通过余弦的两角和公式求得答案．
【解答】
解：，，
，，
，，
，
故选：C．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查二倍角的余弦值的求法，考查运算求解能力，是基础题．
根据能求出结果．
【解答】
解：，
．
故选B．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查了正弦定理，两角和与差的三角函数公式在求解三角形中的应用，属于基础试题．
由已知结合正弦定理可求B，然后结合两角和与差的三角函数公式即可求解．
【解答】
解：因为，，，
由正弦定理可得，，
故，
因为，故C，所以，
则．
故选：A．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查两角和的正弦公式和辅助角公式，属于基础题．
根据两角和的正弦公式展开 ，再整理利用辅助角公式即可得答案．
【解答】
解： ，
，
得，
故选：B．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了二倍角公式，属于基础题．
由条件，两边平方，根据二倍角公式和同角三角函数的平方关系即可求出．
【解答】解：，
，
，
故选A．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查三角形形状的判断，熟悉两角和差公式是解答本题的关键，属于中档题．
利用三角形的内角和，结合两角和差的正弦公式，即可得出结论．
【解答】
解：，
，
，，
，，三角形为直角三角形．
故选B．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查二倍角公式的应用，诱导公式的应用，属于基础题．
根据二倍角公式得到，再利用诱导公式得到，即可得解．
【解答】
解：
，
所以
，
故选D．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查诱导公式和简单的三角恒等变换．
根据诱导公式、同角的三角函数公式、两角差的余弦公式化简求值即可．
【解答】
解：
，
故选C．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义及倍角公式的应用，属于基础题．
利用任意角的三角函数的定义求得，的值，再由倍角公式求的值．
【解答】解：点在角的终边上，
，
则，，
．
故选B．
10.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查三角函数的二倍角公式，诱导公式，属于基础题．
利用诱导公式化，再利用二倍角的余弦公式代值可得答案．
【解答】
解：，
．
故选D．
11.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查了诱导公式和二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．
由已知利用诱导公式及二倍角公式求得的值．
【解答】
解：，
．
故选：A．
12.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了两角和的正切公式以及一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题注意角的范围．
由一元二次方程根与系数的关系得，，再根据结合角的范围可求出的值．
【解答】
解：由一元二次方程根与系数的关系得，，
，．
．
又，，且，，
，
．
故选B．
13.【答案】8
【解析】
【分析】
本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性．
结合三角形关系和式子可推出，进而得到，则，换元结合函数特性可求得最小值．
【解答】
解：由
，
因为，
可得，
由三角形ABC为锐角三角形，则，，
在式两侧同时除以cosBcosC可得
，
又
，
则，
由可得
，
令，由A，B，C为锐角，
可得，，，
由式得，解得，
，
又，
由得，，
因此tanAtanBtanC的最小值为8．
故答案为8．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二倍角公式，考查计算能力，属于基础题．
根据二倍角公式即可求出．
【解答】
解：因为，则，
解得，
故答案为：
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了余弦二倍角公式与诱导公式的应用问题，是中档题．
根据角的变换和公式的应用逐步求解即可．
【解答】
解：，
，
，
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．
由三角函数公式化简可得，易得最小正周期，解不等式可得函数的单调递减区间．
【解答】
解：化简可得
，
原函数的最小正周期为，
由
可得，
函数的单调递减区间为
故答案为；
17.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式的相关知识．
由已知可解出和的值，利用和角公式可解得和，从而可得，再次利用差角公式可解得和，从而得．
【解答】
解：为第二象限角，且，
．
又，
，，
，
．
．
，
，
．
故答案为：；．
18.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了两角和与差的三角函数公式、二倍角公式的应用，属于基础题．
由，由两角差的正切公式可解得，进而运用二倍角公式可将化简，代入可得结果．
【解答】解：因为，
所以，
解得，
所以
，
故答案为3；．
19.【答案】解：
角的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点
，，，
；
由，，，
得，，
又由，
得
，
则
，
或
．
的值为或．
【解析】本题考查了任意角的三角函数的定义，考查了三角函数的诱导公式的应用，考查了两角差的余弦函数公式，是中档题．
由已知条件即可求r，则的值可得；
由已知条件即可求，，，再由，代值计算得答案．
20.【答案】解：因为，
所以，即．
又，
所以，即．
所以．
由且，得，
所以．
由知，所以．
又因为，，
所以，
所以，且．
因为
，
所以．
【解析】本题考查同角关系式，二倍角公式以及和差角公式，关键是求角的取值范围是难点，属中档题．
由已知利用同角关系得，然后利用二倍角公式求值；
先求得，，且利用正弦得差角公式即可求得．
21.【答案】解：
，
所以的最小正周期是，
由，，解得，，
所以的单调递增区间为，．
当时，，
此时，可得，
综上，最大值为，最小值为．
【解析】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．
利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，利用正弦函数的周期公式可求的最小正周期，利用正弦函数的单调性可求函数的单调递增区间；
由已知可求，利用正弦函数的性质即可求解．
22.【答案】解：角的终边经过点，，
，，．
．
，
，
，
．
，
，
故函数在区间上的值域是．
【解析】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式，辅助角公式与两角和差的三角函数公式，正弦函数的定义域和值域．
利用任意角的三角函数的定义，求得、、的值，由二倍角的正弦公式求得的值．
利用两角和的余弦公式化简，利用诱导公式，二倍角公式与两角和差的三角函数公式求得，根据正弦函数的性质即可求解值域．
23.【答案】解：
，
所以的周期为；
令，，
解得，；
令，，
解得，．
所以的单调递增区间为，；
单调递减区间为，；
若，则，
因为，所以，
所以
，
所以
．
【解析】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查三角函数的图象和性质，属于中档题．
利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化简，由周期公式求周期，进而由正弦函数的性质，可得单调区间；
若，则，，从而根据，利用两角差的余弦公式可得答案．
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