高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行复习练习题

课后素养落实(三十)　平面与平面平行

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．下列命题正确的有(　　)

①如果两个平面(不重合)不相交，那么它们平行；②如果一个平面内有无数条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行；③空间两个相等的角所在的平面平行．

A．0个　　　B．1个　　　C．2个　　　D．3个

B　[对①，由两个平面平行的定义知正确；对②，若这无数条直线都平行，则这两个平面可能相交，②错误；对③，这两个角可能在同一平面内，故③错误．]

2．平面α∥平面β，点A，C在平面α内，点B，D在平面β内，若AB＝CD，则AB，CD的位置关系是(　　)

A．平行   B．相交

C．异面   D．以上都有可能

D　[夹在两个平行平面间的平行线段相等，但夹在两个平行平面间的相等线段可以平行、相交或异面．]

3．设平面α∥平面β，点A∈α，点B∈β，C是AB的中点，当点A，B分别在平面α，β内运动时，那么所有的动点C(　　)

A． 不共面

B．不论A，B如何移动，都共面

C．当且仅当A，B分别在两直线上移动时才共面

D．当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面

B　[如图，不论点A，B如何移动，点C都共面，且所在平面与平面α、平面β平行．

]

4．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′． 若PA′∶AA′＝2∶5，则△A′B′C′与△ABC的面积比为(　　)

A．2∶5   B．2∶7

C．4∶49   D．9∶25

C　[因为平面α∥平面ABC，A′B′⊂α，AB⊂平面ABC，

所以A′B′∥AB． 所以A′B′∶AB＝PA′∶PA．

又PA′∶AA′＝2∶5，所以A′B′∶AB＝2∶7．

同理B′C′∶BC＝2∶7，A′C′∶AC＝2∶7，

所以△A′B′C′∽△ABC，所以S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶49．]

5．如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为(　　)

A．   B．

C．   D．

B　[取C1D1，B1C1的中点为P，Q，连接B1D1，NP．易知MN∥B1D1∥BD，AD綊NP，所以四边形ANPD为平行四边形，所以AN∥DP．又BD和DP为平面DBQP内的两条相交直线，所以平面DBQP∥平面AMN，则四边形DBQP的面积即为所求．因为PQ∥DB，PQ＝BD＝，所以四边形DBQP为梯形，其高为h＝＝ ．所以梯形DBQP的面积为(PQ＋BD)h＝×× ＝．故选B．]

二、填空题

6．如图，四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是________．

平行四边形　[因为平面AC∥α，平面AA1B1B∩α＝A1B1，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，所以AB∥A1B1，同理可证CD∥C1D1．又A1B1∥C1D1，所以AB∥CD．同理可证AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形．]

7．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．

平行四边形　[∵平面ABFE∥平面DCGH，平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，

∴EF∥HG．同理，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．]

8．如图所示是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：

①平面EFGH∥平面ABCD；

②PA∥平面BDG；

③EF∥平面PBC；

④FH∥平面BDG；

⑤EF∥平面BDG．

其中正确结论的序号是________．

①②③④　[先把图形还原为一个四棱锥，再根据直线与平面、平面与平面平行的判定定理判断即可．]

三、解答题

9．如图，在四棱锥P­ABCD中，点E为PA的中点，点F为BC的中点，底面ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O．

求证：平面EFO∥平面PCD．

 [证明]　因为四边形ABCD是平行四边形，AC∩BD＝O，

所以点O为BD的中点．

又因为点F为BC的中点，所以OF∥CD．

又OF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，

所以OF∥平面PCD，

因为点O，E分别是AC，PA的中点，

所以OE∥PC，

又OE⊄平面PCD，PC⊂平面PCD，

所以OE∥平面PCD．

又OE⊂平面EFO，OF⊂平面EFO，且OE∩OF＝O，

所以平面EFO∥平面PCD．

10．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N．

求证：N为AC的中点．

[证明]　∵平面AB1M∥平面BC1N，

平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，

平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，

∴C1N∥AM，又AC∥A1C1，

∴四边形ANC1M为平行四边形，

∵M是A1C1的中点，

∴AN＝C1M＝A1C1＝AC，∴N为AC的中点．

1．棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积为(　　)

A．2    B．4    C．    D．5

C　[如图，由面面平行的性质知截面与平面ABB1A1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，易求MN＝，CD1＝2，MD1＝NC＝，

所以此截面的面积

S＝×(＋2)×＝．]

2．(多选题)如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列命题中，正确的有(　　)

A．BM∥平面DE   B．CN∥平面AF

C．平面BDM∥平面AFN   D．平面BDE∥平面NCF

ABCD　[展开图可以折成如图①所示的正方体．

图①　　　　　　　图②

在正方体中，连接AN，如图②所示．

∵AB∥MN，且AB＝MN，

∴四边形ABMN是平行四边形．

∴BM∥AN．∴BM∥平面DE．同理可证CN∥平面AF，∴A、B正确；

如图③所示，连接NF，BE，BD，DM，CF，可以证明BM∥平面AFN，BD∥平面AFN，则平面BDM∥平面AFN，同理可证平面BDE∥平面NCF，所以C、D正确．]

图③

3．如图，四棱锥P­ABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2，E，F分别是AB，CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，ED与AF相交于点H，则GH＝________．

　[因为ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，

AB＝CD，因为E，F分别是AB，CD的中点，

所以AE＝FD，又∠EAH＝∠DFH，

∠AEH＝∠FDH，所以△AEH≌△FDH，

所以EH＝DH．

因为平面AGF∥平面PEC，平面PED∩平面AGF＝GH，

平面PED∩平面PEC＝PE，所以GH∥PE，

所以G是PD的中点，因为PA＝PB＝AB＝2，

所以PE＝2×sin 60°＝．所以GH＝PE＝．]

4．如图，四边形ABCD为矩形，A，E，B，F四点共面，且△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，∠BAE＝∠AFB＝90°．

求证：平面BCE∥平面ADF．

[证明]　∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD，

又BC⊄平面ADF，AD⊂平面ADF，

∴BC∥平面ADF．

∵△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，

且∠BAE＝∠AFB＝90°，

∴∠BAF＝∠ABE＝45°，∴AF∥BE，

又BE⊄平面ADF，AF⊂平面ADF，

∴BE∥平面ADF．

又BC⊂平面BCE，BE⊂平面BCE，

BC∩BE＝B，

∴平面BCE∥平面ADF．

如图所示，矩形ABCD和矩形ABEF中，AF＝AD，点M，N分别位于AE，DB上(点M异于点A，点N异于点D)，且AM＝DN，矩形ABEF可沿AB任意翻折．

(1)求证：当F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面ADF．

(2)“不管怎样翻折矩形ABEF，线段MN总和线段FD平行．”这个结论对吗？如果对，请证明；如果不对，请说明能否改变个别已知条件使上述结论成立．

[解]　(1)证明：在平面图形中，连接MN，设MN与AB交于点G．∵四边形ABCD和四边形ABEF都是矩形，且AD＝AF，

∴AD∥BE且AD＝BE，

∴四边形ADBE是平行四边形，∴AE＝BD．

又AM＝DN，∴MN∥AD．

翻折之后，如图所示．

∵MG∥AF，NG∥AD，MG∩NG＝G，

∴平面GNM∥平面ADF．

又MN⊂平面GNM，∴MN∥平面ADF．

∴当F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面ADF．

(2)这个结论不对．

要使上述结论成立，M，N应分别为AE，BD的中点．

翻折后连接FB(图略)．

在△BDF中，∵M，N分别为BF，BD的中点，

∴MN∥FD．