人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系综合训练题

课后素养落实(三十一)　直线与直线垂直

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知直线a，b，c，下列三个命题：

①若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；

②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；

③若a⊥b，a⊥c，则b∥c．

其中，正确命题的个数是(　　)

A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3

A　[①不正确如图；②不正确，有可能相交也有可能异面；③不正确．可能平行，可能相交也可能异面．]

2．如图正方体ABCD­A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角为(　　)

A．30°    B．45°    C．60°    D．90°

C　[连接BC1，A1C1(图略)，∵BC1∥AD1，∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角．

在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，∴∠A1BC1＝60°．

故异面直线A1B与AD1所成角为60°．]

3．在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，AB＝BC＝，AA1＝，则异面直线AC1与BB1所成的角为(　　)

A．30°    B．45°    C．60°    D．90°

C　[连接A1C1(图略)，因为BB1∥AA1，所以∠A1AC1为异面直线AC1与BB1所成的角．因为tan∠A1AC1＝＝＝，所以∠A1AC1＝60°，故选C．]

4．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，P为边AB的中点，现将△DAP绕直线DP翻转至△DA′P处，如图所示，若M为线段A′C的中点，则异面直线BM与PA′所成角的正切值为(　　)

A．    B．2    C．    D．4

A　[取A′D的中点N，连接PN，MN．因为M是A′C的中点，所以MN∥CD∥PB，且MN＝PB，所以四边形PBMN为平行四边形，所以MB∥PN，所以∠A′PN为异面直线BM与PA′所成的角．在Rt△NA′P中，tan∠A′PN＝＝，故选A．]

5．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与BC1所成的角的大小是(　　)

A．60°    B．75°    C．90°    D．105°

C　[设BB1＝1，如图，延长CC1至C2，使C1C2＝CC1＝1，连接B1C2，则B1C2∥BC1，所以∠AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角)．连接AC2，因为AB1＝，B1C2＝，AC2＝，所以AC＝AB＋B1C，则∠AB1C2＝90°．即AB1与BC1所成的角为90°，故选C．]

二、填空题

6．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________．

90°　[如图，过点M作ME∥DN交CC1于点E，连接A1E，则∠A1ME为异面直线A1M与DN所成的角(或其补角)．

设正方体的棱长为a，则A1M＝a，ME＝a，A1E＝a，

所以A1M2＋ME2＝A1E2，所以∠A1ME＝90°，则异面直线A1M与DN所成的角为90°．]

7．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN等于________．

5　[取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN为异面直线AC与BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，∴MN＝5．]

8．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：

①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．

以上结论中正确结论的序号为________．

①③　[把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．]

三、解答题

9．如图所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB所成的角．

[解]　如图所示，取BD的中点G，连接EG，FG．

∵E，F分别为BC，AD的中点，AB＝CD，

∴EG∥CD，GF∥AB，且EG＝CD，GF＝AB．

∴∠GFE就是EF与AB所成的角，EG＝GF．

∵AB⊥CD，∴EG⊥GF．∴∠EGF＝90°．

∴△EFG为等腰直角三角形．

∴∠GFE＝45°，即EF与AB所成的角为45°．

10．如图，已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD中点．求证：CD1⊥EF．

[证明]　取CD1的中点G，连接EG，DG，

∵E是BD1的中点，

∴EG∥BC，EG＝BC．

∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC，

∴DF∥BC，DF＝BC，

∴EG∥DF，EG＝DF，

∴四边形EFDG是平行四边形，

∴EF∥DG，

∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角．

又∵A1A＝AB，

∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形．

且G为CD1的中点，∴DG⊥CD1．∴∠D1GD＝90°，

∴异面直线CD1，EF所成的角为90°．

∴CD1⊥EF．

1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是(　　)

A．0°<θ<60°   B．0°≤θ<60°

C．0°≤θ≤60°   D．0°<θ≤60°

D　[如图，连接CD1，AC，因为CD1∥BA1，所以CP与BA1所成的角就是CP与CD1所成的角，即θ＝∠D1CP．当点P从D1向A运动时，∠D1CP从0°增大到60°，但当点P与D1重合时，CP∥BA1，与CP与BA1为异面直线矛盾，所以异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是0°<θ≤60°．]

2．(多选题)如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，则EF与AB所成角的大小可以是(　　)

A．15°   B．30°

C．60°   D．75°

AD　[取AC的中点G，连接EG，FG，则EG∥AB，且EG＝AB，FG∥CD，且FG＝CD，由AB＝CD知EG＝FG．

易知∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角．

∵AB与CD所成的角为30°，∴∠EGF＝30°或150°．

由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，

当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；

当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°．

故EF与AB所成的角为15°或75°．]

3．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，则异面直线EF与B1D1所成的角为________．

60°　[连接BC1，AD1，AB1，

则EF为△BCC1的中位线，

∴EF∥BC1．

又∵ABCDC1D1，

∴四边形ABC1D1为平行四边形．

∴BC1∥AD1，∴EF∥AD1．

∴∠AD1B1为异面直线EF和B1D1所成的角或其补角．

在△AB1D1中，易知AB1＝B1D1＝AD1，

∴△AB1D1为正三角形，∴∠AD1B1＝60°．

∴EF与B1D1所成的角为60°．]

4．如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角为90°，则线段AA1的长为________．

　[连接CD1，AC．

由题意得四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，

∴四边形A1BCD1是平行四边形，

∴A1B∥CD1，

∴∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角．

∵异面直线A1B和AD1所成的角为90°，

∴∠AD1C＝90°．

∵四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，

∴△ACD1是等腰直角三角形，∴AD1＝AC．

∵底面四边形ABCD是菱形，且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，

∴AC＝2×sin 60°×2＝6，AD1＝AC＝3，

∴AA1＝＝＝．]

如图，已知点P在圆柱OO1的底面⊙O上，AA1⊥AB，BP⊥A1P，AB，A1B1分别为⊙O，⊙O1的直径，且AB∥A1B1．

若圆柱OO1的体积V＝12π，OA＝2，∠AOP＝120°，回答下列问题．

(1)求三棱锥A1­APB的体积；

(2)在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为？若存在，请指出点M的位置，并证明；若不存在，请说明理由．

[解]　(1)由题意，得V＝π·OA2·AA1＝4π·AA1＝12π，解得AA1＝3．

由OA＝2，∠AOP＝120°，得∠BAP＝30°，BP＝2，AP＝2，

∴S△PAB＝×2×2＝2，

∴三棱锥A1­APB的体积V＝S△PAB·AA1＝×2×3＝2．

(2)当点M为AP的中点时，异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为．

证明如下：

∵O，M分别为AB，AP的中点，∴OM∥BP，

∴ ∠A1BP就是异面直线OM与A1B所成的角．

∵AA1＝3，AB＝4，AA1⊥AB，∴A1B＝5．

又BP⊥A1P，∴cos∠A1BP＝＝，

∴当点M为AP的中点时，异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为．