高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用课后复习题

8.4.1　平面

课后·训练提升

1.与“直线l上的两点A,B在平面α内”含义不同的是(　　)

A.l⊂α

B.直线l在平面α内

C.直线l上只有点A,B在平面α内

D.直线l上所有的点都在平面α内

答案C

2.下列说法正确的是(　　)

A.若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面

B.若四点不共面,则其中任意三点一定不共线

C.两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点

D.三条平行直线共面

解析对于A,当点A,B,C共线时,点A,B,C,D确定的平面与点A,B,C,E确定的平面不一定重合,此时点A,B,C,D,E不一定共面,故A错误.

对于B,假设有三点共线,则另外一点一定和这条直线在同一个平面内,此时四点共面,与题设矛盾,故B正确.

对于C,两个相交平面交于一条直线,故两个相交平面的公共点一定都在交线上,故C错误.

对于D,三条平行直线可能共面,也可能确定三个平面,故D错误.

答案B

3.在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果EF与HG交于点M,那么(　　)

A.M一定在直线AC上

B.M一定在直线BD上

C.M可能在直线AC上,也可能在直线BD上

D.M既不在直线AC上,也不在直线BD上

答案A

4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论错误的是(　　)

A.A,M,O三点共线

B.A,M,O,A1四点共面

C.A,O,C,M四点共面

D.B,B1,O,M四点共面

解析因为A,M,O三点既在平面AB1D1内,又在平面AA1C1C内,故A,M,O三点共线,从而可知A,B,C均正确.

答案D

5.平面α∩平面β=l,点A,B∈α,点C∈平面β且C∉l,AB∩l=R,设过点A,B,C三点的平面为平面γ,则β∩γ=　　　　　. 

解析根据题意画出图形,如图所示,因为C∈β,且C∈γ,所以C∈β∩γ.

因为R∈AB,所以R∈γ,又R∈β,所以R∈β∩γ,从而β∩γ=CR.

答案CR

6.用文字语言表示下列符号语言,并画图表示(其中P是点,a,b,m是直线,α,β是平面):

α∩β=m,a⊂α,b⊂β,a∩m=P,b∩m=P.

解用文字语言表示为:分别在两个相交平面α,β内的两条直线a和b相交,且交点P在平面α,β的交线m上.图形如图所示.(画法不唯一)

7.如图,AB∥CD,AB∩α=B,CD∩α=D,AC∩α=E.求证:B,E,D三点共线.

证明因为AB∥CD,所以AB,CD确定一个平面β,所以A∈β,B∈β,

C∈β,D∈β,所以AC⊂β.

又E∈AC,所以E∈β.

又AB∩α=B,CD∩α=D,AC∩α=E,

所以B,D,E为平面α与平面β的公共点.

根据基本事实3,可知B,D,E三点共线.

8.求证:如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交,那么这四条直线共面.

解已知:a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.

求证:直线a,b,c和l共面.

证明:如图,因为a∥b,所以直线a与直线b确定一个平面α.

因为l∩a=A,l∩b=B,所以A∈a,B∈b,所以A∈α,B∈α.

又A∈l,B∈l,

所以l⊂α.

因为b∥c,所以直线b与直线c确定一个平面β,同理,l⊂β.

又b⊂α,b⊂β,l∩b=B,

所以平面α与β重合,

故直线a,b,c和l共面.