初中数学人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质综合训练题

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专题12.3 角平分线的性质
典例体系

一、知识点
1.角的平分线的作法；
2.角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；
3.证明一个几何中的命题，一般步骤：
①明确命题中的已知和求证；
②根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
③经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程；
4.性质定理的逆定理：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上；
二、考点点拨与训练
考点1：角平分线性质定理及其应用
典例：（2020·河北省初二期末）如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B，C重合），连结AD

（1）如图1,当点D是BC边上的中点时，则S△ABD:S△ACD=_________（直接写出答案）
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB=m，AC=n，S△ABD:S△ACD=_________ (用含m,n的代数式表示)．
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD=DE,连结BE，如果AC=2,AB=4,S△BDE =6,求△ABC的面积．
【答案】（1）1：1；（2）m∶n；（3）9
【解析】
解：（1）过A作AE⊥BC于E，
∵点D是BC边上的中点，
∴BD=DC，
∴SABD：S△ACD=（×BD×AE）：（×CD×AE）=1：1，
故答案为：1：1；

（2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴DE=DF，
∵AB=m，AC=n，
∴SABD：S△ACD=（×AB×DE）：（×AC×DF）=m：n；

（3）∵AD=DE，
∴由（1）知：S△ABD：S△EBD=1：1，
∵S△BDE=6，
∴S△ABD=6，
∵AC=2，AB=4，AD平分∠CAB，
∴由（2）知：S△ABD：S△ACD=AB：AC=4：2=2：1，
∴S△ACD=3，
∴S△ABC=3+6=9，
故答案为：9．

方法或规律点拨
本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键．
巩固练习
1．（2019·广东省深圳外国语学校初一期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（　　）

A． B． C．3 D．
【答案】D
【解析】解：在AB上取一点G，使AG＝AF
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4
∴AB=5，
∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE
∴△AEF≌△AEG（SAS）
∴FE＝FG
∴CE+EF＝CE+EG
则最小值时CG垂直AB时，CG的长度
CG＝

故选D．
2．（2020·山东省济南外国语学校初二期中）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为用A、B．下列结论中不一定成立的是（ ）

A．PA＝PE B．PO平分∠APB C．AB垂直平分OP D．OA＝OB
【答案】C
【解析】解：∵OP平分，，
∴，选项A正确；
在Rt△AOP和Rt△BOP中，
，
∴Rt△AOPRt△BOP
∴，OA=OB，选项D正确；
∴PO平分∠APB，选项B正确；
由等腰三角形三线合一的性质，OP垂直平分AB，AB不一定垂直平分OP，选项C错误．
故选：C．
3．（2020·辽宁省初三其他）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是 （ ）

A．15 B．30 C．45 D．60
【答案】B
【解析】解：作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝4，
∴△ABD的面积＝AB×DE＝×15×4＝30，
故选：B．

4．（2020·南通市八一中学初一月考）如图，a、b、c三条公路的位置相交成三角形，现决定在三条公路之间建一购物超市，使超市到三条公路的距离相等，则超市应建在（ ）

A．三角形两边高线的交点处 B．三角形两边中线的交点处
C．∠α的平分线上 D．∠α和∠β的平分线的交点处
【答案】D
【解析】∵如图，要建一超市到a、b、c三条公路的距离相等，
∴该超市是△ABC的内心，
∴超市应该建在∠α和∠β的平分线的交点处．
故选：D．
5．（2020·河南省初三二模）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，则的面积是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：由作法得平分，
点到的距离等于的长，即点到的距离为，
所以的面积．
故选：C．
6．（2020·黑龙江省初二期末）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（　 　）

A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】B
【解析】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，
∴EC=DE，
∴AE+DE=AE+EC=3cm．
故选：B．
7．（2019·内蒙古自治区初二期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（　　）

A．11 B．5.5
C．7 D．3.5
【答案】B
【解析】作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，

∵DE=DG，
∴DM=DE，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DE=DN，
∴△DEF≌△DNM，
∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，
∴S△MDG=S△ADG﹣S△AMG=590﹣39=11，
S△DNM=S△DEF=S△MDG==5.5
8．（2019·陕西省交大附中分校初一期末）如图，在△ABC中，E为AC的中点，AD平分∠BAC，BA：CA=2：3，AD与BE相交于点O，若△OAE的面积比△BOD的面积大1，则△ABC的面积是（　　）

A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【解析】解：作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N．

∵AD平分∠BAC，DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，
∴DM=DN，
∴S△ABD：S△ADC=BD：DC=•AB•DN：•AC•DM=AB：AC=2：3，
设△ABC的面积为S．则S△ADC=S，S△BEC=S，
∵△OAE的面积比△BOD的面积大1，
∴△ADC的面积比△BEC的面积大1，
∴S-S=1，
∴S=10，
故选C．
9．（2020·湖北省武汉市江汉区教育局初二月考）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，AC=6.点I为△ABC三条角平分线的交点，则点I到边AB的距离为__________

【答案】2
【解析】∵在△ABC中，∠C=90°，BC=8，CA=6，AB=10，

∵点I为△ABC的三条角平分线的交点，
∴IE=IF=ID，
设IE=x，
∵S△ABC=S△IAB+S△IAC+S△ICB，
∴×6×8=IF×10+IE×6+ID×8，
∴5x+3x+4x=24，
∴x=2，
∴点I到AB的距离等于2．
故答案为：2.
10．（2019·湖北省初二期中）如图，∠B=∠C=90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，CB=8，则点M到BC的距离_______．

【答案】4
【解析】如图，过点M作ME⊥AD于E，

∵AM平分∠DAB，DM平分∠ADC，∠B=∠C=90°，
∴BM=ME，CM=EM，
∴BM=CM，
∵BC=8，
∴，
∴ME=4，
即点M到AD的距离为4．
故答案为：4．
11．（2020·上饶市广信区第七中学初二月考）如图，的三边 的长分别为，其三条角平分线交于点，则=______．

【答案】
【解析】解：过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，

∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，
∴OD=OE=OF，
∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=（AB•OD）：（BC•OF）：（AC•OE）
=AB：BC：AC=40：50：60=．
故答案为：．
12．（2019·眉山东辰国际学校初一期末）如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，BC＝8.若S△ABC＝21，则DE＝________．

【答案】3
【解析】∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF，
∵S△ABC=21，AB=6，BC=8，
∴×6×DE+×8×DF=21，
即7DE=21，
∴DE=3.
故答案为：3.
13．（2019·深圳市明德外语实验学校初二期中）如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF.
（1）求证：CF=EB．
（2）若AF=2,EB=1,求AB的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）4
【解析】（1）证明：∵ AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，

∴ DC=DE，
∵ BD=DF，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL），
∴CF=EB；
（2）由（1）知CF=EB=1，
∴AC=AF+FC=3，
又∵∠C=∠AED=90°，∠CAD=∠EAD，AD=AD，
∴△ACD≌△AED(AAS)
∴AC=AE=3，
∴AB=AE+EB=3+1=4．
14．（2020·凌海市石山镇初级中学初一月考）已知是的平分线，点是射线上一点，点C、D分别在射线、上，连接PC、PD．
（1）发现问题
如图①，当，时，则PC与PD的数量关系是________．
（2）探究问题
如图②，点C、D在射线OA、OB上滑动，且∠AOB=90°，∠OCP＋∠ODP=180°，当时，PC与PD在（1）中的数量关系还成立吗？说明理由．

【答案】（1）PC=PD；（2）PC=PD仍然成立．理由见解析．
【解析】解：（1）∵OM是∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD，
故答案为：PC=PD；
（2）PC=PD仍然成立．理由如下：
过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，

∴∠CFP=∠DEP=90°，
∵OM是∠AOB的平分线，∴PE=PF．
∵∠OCP＋∠ODP=180°，又∠ODP+∠PDE=180°，
∴∠OCP=∠PDE，即∠FCP=∠PDE，
在△CFP和△DEP中，
，
∴△CFP≌△DEP（AAS），
∴PC=PD．
考点2：角平分线性质定理的逆定理及其应用
典例：（2020·四川省初二期中）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的中垂线DE交于点E，过点E作AC边的垂线，垂足为N，过点E作AB延长线的垂线，垂足为M.
(1)求证：BM=CN；
(2)若，AB=2，AC=8，求BM的长.

【答案】(1)证明见解析；（2）3.
【解析】证明：连接BE，CE，如图，

∴DE是BC的垂直平分线，
∴BE=CE，
∵AE是∠BAC的平分线，EM⊥AB，EN⊥AC，
∴EM=EN，
在Rt△BME和Rt△CNE中，
BE＝CEEM＝EN，
∴Rt△BME≌Rt△CNE（HL），
∴BM=CN
(2)由（1）得：EM=EN，
在Rt△AME和Rt△ANE中，
AE＝AEEM＝EN，
∴Rt△AME≌Rt△ANE（HL），
∴AM=AN，又∵AM= AB+BM, AN= AC-CN
∴AB+BM=AC-CN
∴2+ BM=8-CN, 又∵BM=CN
∴BM=CN =3
方法或规律点拨
本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质以及具体的应用．
巩固练习
1．（2020·福州四十中金山分校初二月考）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是(　　)

A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
【答案】A
【解析】如图所示：过两把直尺的交点C作CF⊥BO与点F，由题意得CE⊥AO，

∵两把完全相同的长方形直尺，
∴CE=CF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选A．
2．（2020·湖北省中考真题）如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】解：∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中
AB=AC, ∠BAD=∠CAE,AD=AE
∴△BAD≌△CAE
∴BD=CE
故①正确；
∵△BAD≌△CAE
∴∠ABF=∠ACF
∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF
∴∠ACF+∠BGA=90°,
∴∠BFC=90°
故②正确；

分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分别为M、N
∵△BAD≌△CAE
∴S△BAD=S△CAE,
∴
∵BD=CE
∴AM=AN
∴平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD．
故③错误；

∵平分∠BFE，
∴
故④正确．
故答案为C．
3．（2020·四川省正兴中学初二二模）已知，如图，中，，点为的三条角平分线的交点，垂直，，，点、、分别是垂足，且，，，则__________．

【答案】2cm
【解析】解：连接、、，如图，

点为的三条角平分线的交点，垂直，，，
，
设，则，
，
，解得，
即的长为．
故答案为：．
4．（2020·甘肃省平川区四中初二期中）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D为斜边BC上一点，且BD=BA，过点D作BC的垂线交AC于点E．求证：点E在∠ABC的角平分线上．

【答案】证明见解析．
【解析】证明：连接BE，

∵ED⊥BC，
∴∠BDE=∠A=90°．
在Rt△ABE和Rt△DBE中
∵，
∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL）．
∴∠ABE=∠DBE．
∴点E在∠ABC的角平分线上．
5．（2020·甘州区南关学校初二月考）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求证：AB+AD=2AE.

【答案】详见解析
【解析】（1）证明：∵AC是角平分线，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
∴△BCE≌△DCF；
（2）解：∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴∠F=∠CEA=90°，
在Rt△FAC和Rt△EAC中，，
∴Rt△FAC≌Rt△EAC，
∴AF=AE，
∵△BCE≌△DCF，
∴BE=DF，
∴AB+AD=（AE+BE）+（AF﹣DF）=AE+BE+AE﹣DF=2AE.
6．（2019·云龙县第三中学初二期中）如图，BE⊥AC、CF⊥AB于点E、F，BE与CF交于点D，DE=DF，连接AD．
求证：（1）∠FAD=∠EAD；
（2）BD=CD．

【答案】（1）证明见解析；证明见解析.
【解析】证明：(1)∵BE⊥AC、CF⊥AB，DE=DF，
∴AD是∠BAC的平分线，
∴∠FAD=∠EAD；
(2)∵△ADF与△ADE是直角三角形，DE=DF，AD=AD，
∴Rt△ADF≌Rt△ADE，
∴∠ADF=∠ADE，
∵∠BDF=∠CDE，
∴∠ADF+∠BDF=∠ADF+∠CDE，
即∠ADB=∠ADC，
在△ABD≌△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD，
∴BD=CD.
7．（2018·江苏省初二期中）已知：如图中，，，垂足分别为F、E，交于点D，，求证：D点在的平分线上．

【答案】证明见解析
【解析】
证明：连接AD，

∵，，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在△BDE与△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DE=DF，
∴AD是∠BAC的角平分线，
∴D点在的平分线上．
考点3：与角平分线有关的尺规作图
典例：（2020·河北省中考真题）如图1，已知，用尺规作它的角平分线．
如图2，步骤如下，
第一步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线，于点，；
第二步：分别以，为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点；
第三步：画射线．射线即为所求．
下列正确的是（ ）

A．，均无限制 B．，的长
C．有最小限制，无限制 D．，的长
【答案】B
【解析】第一步：以为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点，；
∴；
第二步：分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点；
∴的长；
第三步：画射线．射线即为所求．
综上，答案为：；的长，
故选：B．
方法或规律点拨
本题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作角平分线的方法．
巩固练习
1．（2020·广西壮族自治区初三其他）如图尺规作业，为的平分线，这样的作法依据是(　　)

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接CE、CD，

在△OEC和△ODC中，
，
∴△OEC≌△ODC（SSS），
故选：A．
2．（2020·河南省初二月考）如图，△ABC 中，点 E，F，G 分别在 BC，AC，AB 上，AE 与 BF 交于点 O，且点 O 在 CG 上，根据尺规作图的痕迹，判断下列说法不正确的是（ ）

A．AE，BF 是△ABC 的角平分线 B．点 O 到△ABC 三边的距离相等
C．CG 也是△ABC 的一条角平分线 D．AO＝BO＝CO
【答案】D
【解析】A、由尺规作图的痕迹可知：AE、BF是△ABC的内角平分线，正确；
B、因为角平分线的点到角两边的距离相等得：点O到△ABC三边的距离相等，正确；
C、根据三角形三条角平分线交于一点，且点O在CG上，所以CG也是△ABC的一条内角平分线，正确
D、三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，所以选项D不正确；
故选D．
3．（2020·新疆维吾尔自治区初三其他）如图，在中，尺规作图如下：在射线、上，分别截取、，使；分别以点和点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点；作射线，连结、.下列结论不一定成立的是( )

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：根据题意，得：OE=OD，CE=CD，OC=OC，∴△OEC≌△ODC（SSS），
∴，，∴B、C、D三项是正确的，而不一定成立．
故选 ：A．
4．（2020·广东省仙田外国语学校初一期中）如图所示，已知∠AOB=40°，现按照以下步骤作图：
①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD=OE；
②分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；
③作射线OC．
则∠AOC的大小为_________．

【答案】20°．
【解析】根据画图的方法可知：OC是∠AOB的角平分线，
∴∠AOC=40°÷2=20°．
故答案是：20°．
5．（2020·内蒙古自治区初二期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO交BC于点D，若CD＝3，P为AB上一动点，则PD的最小值为_____．

【答案】3
【解析】根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．
根据角平分线上的点到角的两边距离相等，又因为点到直线的距离，垂线段最短可得PD最小=CD=3.
故答案为:3.
6．（2020·湖南省中考真题）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：
已知：
求作：的平分线
做法：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N，
（2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C
（3）画射线OC，射线OC即为所求．

请你根据提供的材料完成下面问题：
（1）这种作已知角平分线的方法的依据是__________________(填序号)．
① ② ③ ④
（2）请你证明OC为的平分线．
【答案】（1）①；（2）证明见解析
【解析】（1）根据作图的过程知道：OM=ON，OC=OC，CM=CM，所以由全等三角形的判定定理SSS可以证得△EOC≌△DOC，从而得到OC为的平分线；
故答案为：①；
（2）如图，

连接MC、NC．
根据作图的过程知，
在△MOC与△NOC中，
，
∴△MOC≌△NOC（SSS），
∠AOC=∠BOC，
∴OC为的平分线．
7．（2020·云南省初三二模）如图所示，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点M、N；再以点N为圆心，MN长为半径作弧交前面的弧于点F，作射线BF交AC的延长线于点E．
②以点B为圆心，BA长为半径作弧交BE于点D，连接CD．
请你观察图形，解答下列问题：
（1）求证：△ABC≌△DBC；
（2）若∠A=100°，∠E=50°，求∠ACB的度数．

【答案】（1）见解析；（2）∠ACB=65°．
【解析】（1）如图所示，连接MN，NF，

由作图可得，BM=BF，MN=FN，BN=BN，
∴△BMN≌△BFN（SSS），
∴∠ABC=∠DBC，
又∵AB=DB，BC=BC，
∴△ABC≌△DBC（SAS）；
（2）∵∠A=100°，∠E=50°，
∴∠ABE=30°，
∴∠ABC=∠ABD=15°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-100°-15°=65°．
8．（2019·广西壮族自治区初一期末）如图，平面内有，，，四点，请按要求完成：

（1）尺规作图：连接，作射线，交于点，作射线平分．须保留作图痕迹，且用黑色笔将作图痕迹描黑，不写作法和证明．
（2）在（1）的条件下，若，求的度数．
【答案】（1）作图见解析；（2）
【解析】解：（1）作线段，作射线，

如图，即为所做图形；
（2），射线平分，


9．（2020·佛山市南海外国语学校初三月考）如图，已知在中，点在边上，且．

（1）用尺规作图法，作的平分线，交于点；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）的条件下，连接．求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）如图，射线AP为所求作的图形；

（2）∵CP是∠ACB的平分线，如图：

∴∠1=∠2，
在△ABP和△ADP中，
，
∴△ABP△ADP（SAS），
∴PD=PB．