2021学年4.2 等差数列巩固练习

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4.2.2  等差数列的前n项和（2）

一、单选题

1．等差数列的前n项和为，且=6，=4，则公差d等于（    ）

A．1    B．    C．-2    D．3

【答案】C

【解析】依题意得，，

故选C.

2．已知数列{an}的通项公式为an＝2n－37，则Sn取最小值时n的值为（    ）

A．17    B．18    C．19    D．20

【答案】B

【解析】因为，当时，，当时，，故的最小值为，

故选B.

3．在等差数列中，首项，公差d0，若，则k=（    ）

A．22    B．23    C．24    D．25

【答案】A

【解析】依题意有，由于，故.

故选A.

4．等差数列共有2n+1项，其中，，则n的值为（    ）

A．3    B．5    C．7    D．9

【答案】A

【解析】由，可得，由，可得，，又，.

故选A.

5．已知等差数列中，，那么=（    ）

A．390    B．195    C．180    D．120

【答案】B

【解析】由等差数列性质：，和，原式可以化简：

，

故选B.

6．已知数列中，前项和，则使为最小值的是（    ）

A．7    B．8    C．7或8   D．9

【答案】C

【解析】，

∴数列的图象是分布在抛物线上的横坐标为正整数的离散的点．
又抛物线开口向上，以为对称轴，且|，

所以当时，有最小值．
故选C．

7．等差数列的前项和为25，前项和为100，则它的前项和为（    ）

A．125    B．200    C．225    D．275

【答案】C

【解析】由题可知，，，由成等差数列，即成等差数列，，解得

故选C

8．在数列中，若，且，则这个数列前30项的绝对值之和为（     ）

A．495    B．765    C．46    D．76

【答案】B

【解析】由题意，可知，即，即数列为公差为3的等差数列，

又由，所以，，

可得当时，，当时，，

所以数列前项的绝对值之和为：

，

故选B.

9．设数列是等差数列，且，，是数列的前n项和，则（    ）

A．   B．   C．   D．

【答案】C

【解析】，设公差为，则 ，因此是前项和的最小值.

故选C.

10．已知为等差数列，,,以表示的前项和，则使得达到最大值的是（    ）

A．21    B．20    C．19    D．18

【答案】B

【解析】设等差数列的公差为，则由已知,,得：

，解得：，

，由，得：，

当时，，当时，，

故当时，达到最大值.

故选B．

11．设等差数列的前n项和为，若，则（    ）

A．3    B．4    C．5    D．6

【答案】C

【解析】是等差数列

又，

∴公差，

，

故选C．

12．在等差数列中，，其前项和为，若，则的值等于（    ）

A．2011    B．-2012   C．2014    D．-2013

【答案】C

【解析】等差数列中，即数列是首项为，公差为的等差数列；因为，，所以，，，

所以，，

故选.

二、填空题

13．设等比数列的前项和是，若，则________.

【答案】

【解析】由等比数列前项和的性质，可得成等比数列，

所以.

由得，代入上式可得，

所以，即.

故填

14．数列是等差数列，首项则使前项和0成立的最大自然数是_______.

【答案】4006

【解析】因为数列是等差数列，首项，，，

所以，，

因此，

，

所以的最大值是4006.

故填4006.

15．设为等差数列，则使其前项和0成立的最大自然数是______.

【答案】12

【解析】因为，故，

又，，所以，可知，即最大取12.

故填12.

16．等差数列中，且，为其前项和，则使的的最小值为________.

【答案】20

【解析】因为，，，所以，

因此，，

，

因此n的最小值为20.

故填20.

17．若两个等差数列，的前项和分别为，，若对于任意的都有，则__________．

【答案】

【解析】由等差数列的性质可得：．

对于任意的都有，

则．

故填．

18．已知正项数列满足，且，其中为数列的前项和，若实数使得不等式恒成立，则实数的最大值是________.

【答案】9

【解析】依题意，数列为等差数列，因为，

即，即，因为，

即，因为在时单调递增，

其最小值为9，所以，故实数的最大值为9.

故填9

三、解答题

19．已知等差数列满足，，求数列的通项公式及的最大值．

【解析】由题意可知， ，即数列的通项公式为，，当或8时，取最大值28．

20．已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，试求能使为整数的正整数n的个数．

【解析】

   ，

当时，为正整数，即能使为整数的正整数n的个数为5个.

21．已知数列的前n项和为，，其中λ为常数．

（1）证明：；

（2）当为何值时，数列为等差数列？并求．

【解析】（1）由题设，．

两式相减，得．，

（2）由题设，，可得，由（1）知，，

若数列为等差数列，则．解得，故，

由此得是首项为1，公差为4的等差数列，；

是首项为3，公差为4的等差数列，．

．

因此当时，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，且

22．设数列的前项和为.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求.

【解析】（1）当时，，当时，，所以，当是上式也符合，故数列的通项公式为.令，解得，故为负数，开始数列为正数.故.也即数列的通项公式为.

（2）当时，.

，.

当时，.

综上所述，.